2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【分類討論】等腰三角形中的分類討論思想（原卷版）

等腰三角形中的分類討論思想知識(shí)方法精講1．三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，容易忽略．2．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．3．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì)．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開(kāi)始，觀察它是哪個(gè)三角形的外角．4．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．5．等腰三角形的判定判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．【簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊】說(shuō)明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來(lái)底邊的高線也可以作未來(lái)頂角的角平分線，但不能作未來(lái)底邊的中線；④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．7.分類討論思想每個(gè)HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有些問(wèn)題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問(wèn)題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問(wèn)題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"字母的取值不同也會(huì)影響問(wèn)題的解決，由上述幾類問(wèn)題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問(wèn)題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想。一．選擇題（共7小題）1．（2021秋?昌平區(qū)期末）如圖，已知中，，，在直線上取一點(diǎn)，使得是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2021秋?綦江區(qū)期末）如圖，正方形的網(wǎng)格中，點(diǎn)，是小正方形的頂點(diǎn)，如果點(diǎn)是小正方形的頂點(diǎn)，且使是等腰三角形，則點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．6 B．7 C．8 D．93．（2021春?鹽湖區(qū)校級(jí)期末）若等腰三角形的一個(gè)角是，則此等腰三角形的頂角為A． B． C．或 D．4．（2021秋?長(zhǎng)春期末）若中剛好有，則稱此三角形為“可愛(ài)三角形”，并且稱作“可愛(ài)角”．現(xiàn)有一個(gè)“可愛(ài)且等腰的三角形”，那么聰明的同學(xué)們知道這個(gè)三角形的“可愛(ài)角”應(yīng)該是A．或 B．或 C．或 D．或或5．（2021秋?洪山區(qū)期末）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱作格點(diǎn)，圖中、在格點(diǎn)上，則圖中滿足為等腰三角形的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．7 B．8 C．9 D．106．（2019秋?蜀山區(qū)期末）在中，與相鄰的外角是，要使為等腰三角形，則的度數(shù)是A． B． C．或 D．或或7．（2020秋?河池期中）已知等腰三角形的一個(gè)外角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角為A． B． C．或 D．二．填空題（共2小題）8．（2021秋?淮南月考）如圖，已知的半徑為2．弦的長(zhǎng)度為2，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，若為等腰三角形，則的長(zhǎng)為．9．（2021秋?鹽池縣期末）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為，另一邊長(zhǎng)為，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為．三．解答題（共10小題）10．（2021?婺城區(qū)模擬）在矩形中，，點(diǎn)是直線上（不與點(diǎn)重合）的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交直線、直線于點(diǎn)、，連結(jié)．（1）如圖，當(dāng)，點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，①若與相似，求的長(zhǎng)．②若是等腰三角形，求的長(zhǎng)．11．（2021?高郵市二模）如圖，是的高，，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與、不重合），于點(diǎn)，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．（1）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則；（2）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，①的值為；②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，線段最??？最小值是多少？③當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．12．（2021秋?南沙區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的半徑為3．（1）試判斷點(diǎn)與的位置關(guān)系，并加以說(shuō)明．（2）若直線與相交，求的取值范圍．（3）若直線與相交于點(diǎn)，．點(diǎn)是軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以，，三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．13．（2020秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在紙片中，，，，按圖所示的方法將沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求折痕長(zhǎng)．（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，．求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出此函數(shù)的定義域．（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．14．（2020秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線軸，且直線分別與反比例函數(shù)和的圖象交于、兩點(diǎn)，，．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若軸上有一點(diǎn)，使得為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．15．（2020秋?沈北新區(qū)校級(jí)期末）如圖1，在中，，，，點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)處沿射線方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）用含的代數(shù)式分別表示線段和的長(zhǎng)度．則，．（2）若為等腰三角形，求值．（3）如圖2，以為對(duì)角線作正方形，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若正方形的一邊恰好落在的一邊上，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的值．16．（2020秋?虹口區(qū)期末）如圖，中，，，的平分線與線段交于點(diǎn)，且有，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（與、不重合），聯(lián)結(jié)，設(shè)，．（1）求的度數(shù)；（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式（無(wú)需寫(xiě)出定義域）；（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．17．（2021秋?雞冠區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的斜邊在軸上，點(diǎn)在軸上，，、的長(zhǎng)分別是一元二次方程的兩個(gè)根，且．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過(guò)點(diǎn)的直線與軸平行，直線交邊或邊于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的長(zhǎng)為，求關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．（2021秋?金牛區(qū)期末）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)，點(diǎn)，，連接．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后立即停止，速度為每秒個(gè)單位，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，求此時(shí)的解析式；（2）在（1）的條件下，若第二象限內(nèi)有一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)時(shí)，同時(shí)有點(diǎn)從出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿直線向上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)也立即停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)