解題技巧：特殊的因式分解法壓軸題四種模型全攻略（解析版）

專題07解題技巧專項：特殊的因式分解法壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一提多項式的公因式的因式分解法】 1【類型二綜合利用提公因式法和公式法因式分解】 3【類型三十字相乘法因式分解】 6【類型四分組分解法因式分解】 13【典型例題】【類型一提多項式的公因式的因式分解法】例題：（2023秋·新疆阿克蘇·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：．【答案】【分析】提公因式分解因式即可．【詳解】解：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用提公因式分解因式等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：．【答案】【分析】分別運(yùn)用提公因式，公式法進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的相關(guān)知識．靈活運(yùn)用提公因式和公式法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．解題時注意，分解一定要徹底，這是易錯點(diǎn)．2．（2023春·山東濟(jì)寧·九年級?？茧A段練習(xí)）分解因式：．【答案】【分析】先變形，再提取公因式，然后再利用平方差公式進(jìn)行分解因式．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．3．（2023春·廣西桂林·七年級統(tǒng)考期中）因式分解：【答案】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解．【詳解】.【點(diǎn)睛】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解決本題的關(guān)鍵．【類型二綜合利用提公因式法和公式法因式分解】例題：（2023春·江蘇蘇州·七年級期末）把下列各式分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用平方差公式分解即可．（2）先提取公因式，后套用公式分解即可．【詳解】（1）解：．（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，提取公因式，完全平方公式分解因式，熟練掌握因式分解的基本步驟和方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·遼寧沈陽·八年級?？计谥校┌严铝懈魇揭蚴椒纸猓?1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先提出公因式，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解，即可求解；（2）先提出公因式，完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握多項式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會結(jié)合多項式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖南懷化·七年級溆浦縣第一中學(xué)?？计谥校┮蚴椒纸猓?1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解；（2）先提取公因式，再利用平方差公式、完全平方公式進(jìn)行因式分解．【詳解】（1）解：（2）解：【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，能夠綜合運(yùn)用提取公因式法和公式法是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·四川巴中·八年級統(tǒng)考期中）因式分解：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，然后根據(jù)平方差公式進(jìn)行計算即可求解；（2）先根據(jù)完全平方公式展開，然后根據(jù)完全平方公式與平方差公式因式分解即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·山東濰坊·七年級統(tǒng)考期末）因式分解(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用提公因式法法分解因式即可；（2）利用提公因式法和平方差公式分解因式即可；（3）利用提公因式法和完全平方公式分解因式即可【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，解答的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)用提公因式法和公式法分解因式的方法步驟．【類型三十字相乘法因式分解】例題：（2023春·安徽阜陽·七年級?？茧A段練習(xí)）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式；．第一步：二次項系數(shù)2可以寫成，常數(shù)項可以寫成或；第二步：如下圖，畫“×”號，將1、2寫在“×”號左邊，將、3或1、寫在“×”號的右邊，共有如下圖的四種情形：

第三步：驗算“交叉相乘兩個積的和”是否等于一次項的系數(shù)：①的系數(shù)為；②的系數(shù)為；③的系數(shù)為；④的系數(shù)為．顯然，第②個“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數(shù)，因此有：．像這樣，通過十字交叉線幫助，把二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．問題：(1)分解因式：；①完善下圖中“×”號右邊的數(shù)使得；“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數(shù)；

②分解因式：_______；(2)分解因式：．①完善橫線上的數(shù)字；

②分解因式：________．【答案】(1)①見解析；②(2)①見解析；②【分析】（1）（2）①根據(jù)“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數(shù)填寫橫線上的數(shù)；②根據(jù)所填數(shù)字，仿照材料分解即可．【詳解】（1）解：①

；②；（2）①

；②．【點(diǎn)睛】本題考查了十字相乘法分解因式，解題的關(guān)鍵是讀懂材料，理解十字相乘法的計算方法．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣西北?！て吣昙壗y(tǒng)考期中）閱讀理解：用“十字相乘法”因式分解例如：求：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題干中解題過程，對二次項系數(shù)、常數(shù)項分別分解，交叉相乘再相加，湊成一次項系數(shù)即可求解；（2）根據(jù)題干中解題過程，對二次項系數(shù)、常數(shù)項分別分解，交叉相乘再相加，湊成一次項系數(shù)即可求解．【詳解】（1）解：如圖，∴（2）解：如圖，∴．【點(diǎn)睛】本題考查十字相乘法因式分解，掌握分解的步驟是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣西梧州·七年級統(tǒng)考期中）閱讀理解題在因式分解中有一種常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，這個方法其實(shí)就是運(yùn)用乘法公式運(yùn)算來進(jìn)行因式分解，基本式子為：，例如：分解因式，，，按此排列：

交叉相乘，乘積相加等于，得到，這就是十字相乘法．利用上述方法解決下列問題：(1)分解因式：；(2)先分解因式，再求值：，其中．【答案】(1)(2)，45【分析】（1）根據(jù)十字相乘法進(jìn)行因式分解即可；（2）先運(yùn)用式子相乘法進(jìn)行因式分解，再代入求解．【詳解】（1）解：；（2）當(dāng)時，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握十字相乘法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·湖南岳陽·七年級統(tǒng)考期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如圖）．第一步：二次項；第二步：常數(shù)項，畫“十字圖”驗算“交叉相乘之和”；

第三步：發(fā)現(xiàn)第③個“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項．即．像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．運(yùn)用結(jié)論：(1)將多項式進(jìn)行因式分解，可以表示為_______________；(2)若可分解為兩個一次因式的積，請畫好“十字圖”，并求整數(shù)的所有可能值．【答案】(1)(2)圖見解析，，，，16【分析】（1）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可；（2）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可．【詳解】（1）解：，常數(shù)項，，，故答案為：；（2）解：，常數(shù)項，畫“十字圖”如下：

，，，16．【點(diǎn)睛】本題考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．例如：（1）；（2）．根據(jù)材料，把下列式子進(jìn)行因式分解．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】根據(jù)進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了十字相乘法分解因式，運(yùn)用十字相乘法分解因式時，要意觀察，嘗試，并體會它實(shí)質(zhì)是二項式乘法的逆過程，注意分解因式一定要徹底．5．（2023春·七年級單元測試）閱讀材料：根據(jù)多項式乘多項式法則，我們很容易計算：；．而因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得：；．通過這樣的關(guān)系我們可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式分解因式．如將式子分解因式．這個式子的二次項系數(shù)是，常數(shù)項，一次項系數(shù)，可以用下圖十字相乘的形式表示為：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次項系數(shù)，然后橫向書寫．這樣，我們就可以得到：．利用這種方法，將下列多項式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）用十字相乘法分解因式即可；（2）用十字相乘法分解因式即可；（3）用十字相乘法分解因式即可；（4）用十字相乘法分解因式即可．【詳解】（1）解：∵，，∴；故答案為：；（2）解：∵，，∴；故答案為：；（3）解：∵，，∴；故答案為：；（4）解：∵，，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了十字相乘法分解因式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握十字相乘法，準(zhǔn)確計算．【類型四分組分解法因式分解】例題：（2023春·陜西西安·八年級高新一中?？计谀读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版》關(guān)于運(yùn)算能力的解釋為：運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力，因此，我們面對沒有學(xué)過的數(shù)學(xué)題時，方法可以創(chuàng)新，但在創(chuàng)新中要遵循法則和運(yùn)算律，才能正確解答，下面介紹一種分解因式的新方法——拆項補(bǔ)項法：把多項式的某一項拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式適合于已學(xué)過的方法進(jìn)行分解．例題：用拆項補(bǔ)項法分解因式．解：添加兩項．原式請你結(jié)合自己的思考和理解完成下列各題：(1)分解因式：；(2)分解因式；(3)分解因式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)例題用拆項補(bǔ)項法分解因；（2）根據(jù)例題用拆項補(bǔ)項法分解因；（3）根據(jù)例題用拆項補(bǔ)項法分解因；【詳解】（1）解：；（2）（3）【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，理解題意，正確的增項是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多項式無法直接使用上述方法分解，如，我們可以把它先分組再分解：，這種方法叫做分組分解法．請解決下列問題：(1)分解因式：；(2)已知a，b，c是的三邊，且滿足，請判斷的形狀，并說明理由，【答案】(1)(2)是等腰三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題干中的方法進(jìn)行分組分解因式即可；（2）利用分組法分解因式，然后得出，即可判斷三角形的形狀．【詳解】（1）；（2）是等腰三角形．理由如下：，，，，是的三邊，，，，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查分組分解因式及提公因式與公式法分解因式，等腰三角形的定義等，理解題意，深刻理解題干中的分組分解法是解題關(guān)鍵．2．（2023春·廣東深圳·八年級深圳市高級中學(xué)校考期中）我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：．②拆項法：例如：．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）；②（拆項法）；(2)已知：a、b、c為的三條邊，，求的周長．【答案】(1)①；②(2)14【分析】（1）仿照題意進(jìn)行分解因式即可；（2）先把所給式子進(jìn)行分組分解因式，然后根據(jù)方非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值，再根據(jù)三角形周長公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：①；②；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∴．∴的周長為14．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分組分解因式，分解因式的應(yīng)用，數(shù)量掌握分組分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇泰州·七年級靖江市靖城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）將一個多項式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等．如“2+2”分法：請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：(1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)分解因式：．【答案】(1)）；(2)；(3)．【分析】利用分組分解法、公式法進(jìn)行因式分解．【詳解】（1）解：=；（2）解：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題考查的是分組分解法因式分解，掌握分組分解法、公式法的一般步驟是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）【問題提出】：分解因式：（1）

（2）【問題探究】：某數(shù)學(xué)“探究學(xué)習(xí)”小組對以上因式分解題目進(jìn)行了如下探究：探究1：分解因式：（1）分析：甲發(fā)現(xiàn)該多項式前兩項有公因式，后兩項有公因式，分別把它們提出來，剩下的是相同因式，可以繼續(xù)用提公因式法分解．解：另：乙發(fā)現(xiàn)該多項式的第二項和第四項含有公因式，第一項和第三項含有公因式，把，提出來，剩下的是相同因式，可以繼續(xù)用提公因式法分解．解：探究2：分解因式：（2）分析：甲發(fā)現(xiàn)先將看作一組應(yīng)用平方差公式，其余兩項看作一組，提出公因式6，則可繼續(xù)再提出因式，從而達(dá)到分解因式的目的．解：【方法總結(jié)】：對不能直接使用提取公因式法，公式法進(jìn)行分解因式的多項式，我們可把被分解的多項式分成若干組，分別按“基本方法”即提取公因式法和公式法進(jìn)行分解，然后，