專題2.1 等式性質與不等式性質（解析版）

專題2.1等式性質與不等式性質1．兩個實數(shù)大小的比較（1）作差法：設a，bR，則，a<b?a?b<0.（2）作商法：設a>0，b>0，則a>b?，a<b?.2．不等式的性質（1）實數(shù)的大小順序與運算性質的關系①a>b?；②；③a<b?.（2）不等式的性質①對稱性：；(雙向性) ②傳遞性：a>b，b>c?；(單向性)③可加性：a>b?a＋c>b＋c；(雙向性) ④a>b，c>d?；(單向性)⑤可乘性：；(單向性)a>b，c<0?ac<bc；(單向性)⑥a>b>0，c>d>0?；(單向性)⑦乘方法則：；(單向性)⑧開方法則：a>b>0?(nN，n≥2)．(單向性)注意：（1）應用傳遞性時，若兩個不等式中有一個帶等號而另一個不帶等號，則等號無法傳遞.（2）可乘性中，要特別注意“乘數(shù)c”的符號.3．重要結論（1）a>b，ab>0?. （2）a<0<b?.（3）a>b>0,0<c<d?. （4）0<a<x<b或a<x<b<0?.（5）若a>b>0，m>0，則；(b?m>0)；；(b?m>0)．一、單選題1．已知且則下列不等式一定成立的是A． B．C． D．【試題來源】河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2021-2022學年高一上學期第一次聯(lián)考【答案】B【分析】利用特值排除法可得答案．【解析】當時，則A不成立；當時，CD不成立；故選B2．若且，則下列不等式成立的是A． B．C． D．【試題來源】寧夏六盤山高級中學2021-2022學年高二上學期第一次月考（文）【答案】D【分析】利用，可判定A、B不正確；由時，可判定D不正確；結合不等式的基本性質，可判定D正確．【解析】對于A中，令，此時滿足，但，所以A項不一定成立；對于B中，令，此時滿足，但，所以B項不一定成立；對于C中，當，可得，所以C項不一定成立；對于D中，因為，根據(jù)不等式的基本性質，可得成立，所以D正確．故選D．3．若，則下列正確的是A． B．C． D．【試題來源】江西省臨川第一中學2021-2022學年高一年級上學期第一次月考【答案】B【分析】用特殊值：判斷A、D的正誤，根據(jù)不等式的性質判斷B、C的正誤．【解析】A：時，不成立，錯誤；B：由，兩邊同時減去，有，正確；C：當時，由則，錯誤；D：時，不成立，錯誤；故選B4．已知，，則，，的大小關系是A． B．C． D．【試題來源】河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2021-2022學年高一上學期第一次聯(lián)考【答案】A【分析】利用作差法可得出、、的大小關系．【解析】因為，所以，所以，因為，所以，故．故選A．5．已知，，則A． B．C． D．【試題來源】金太陽2021-2022學年高一上學期10月月考【答案】C【分析】作差，配方后可得結論．【解析】，則．故選C．6．已知都是實數(shù)，則下列命題中真命題是A．若，則 B．若，則C．若，則； D．若，則【試題來源】上海師范大學第二附屬中學2021-2022學年高一上學期第一次月考【答案】D【分析】當時可判斷A，B；當時可判斷C；利用不等式的性質可判斷D，進而可得正確選項．【解析】對于A：若，，，則即，故選項A不正確；對于B：若，，則即，故選項B不正確；對于C：若，，可得，故選項C不正確；對于D：若，則，所以，所以即，故選項D正確；故選D．7．已知??，那么下列命題中正確的是A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若且，則【試題來源】上海市奉賢中學2020-2021學年高一上學期10月月考【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質，對選項逐一判斷即可．【解析】對于選項A，當為0時不成立；對于選項B，當為負數(shù)是不成立；對于選項C，由且可得，所以故C正確；對于選項D，若且說明同號，當為正數(shù)時不成立．故選C8．如果，，，，那么下列不等式中一定成立的是A． B．C． D．【試題來源】上海市奉賢中學2021-2022學年高一上學期10月月考【答案】D【分析】根據(jù)題意，結合不等式的性質，逐一分析選項，即可得答案．【解析】對于A：因為a、，所以無法確定a和-c的大小，故A不一定正確；對于B：當時，，此時B不成立，對于C：當時，，此時C不成立，對于D：由，可得，且，所以恒成立，故D正確．故選D9．已知，，，，則M與N的大小關系為A． B．C． D．無法確定【試題來源】福建省三明第一中學2021-2022學年高一上學期第一次月考【答案】C【分析】利用作差法計算與的大小關系，由此判斷出的大小關系．【解析】因為，且，，所以，所以，故選C．10．下列結論正確的是A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．【試題來源】福建省三明第一中學2021-2022學年高一上學期第一次月考【答案】D【分析】利用取特值可判斷ABC，利用作差法及不等式性質可判斷D．【解析】對于A，令，，故A錯誤；對于B，令，，故B錯誤；對于C，令，故C錯誤；對于D，因為，所以，即，故D正確．故選D．11．設且則A． B．C． D．【試題來源】寧夏六盤山高級中學2021-2022學年高二上學期第一次月考（理）【答案】C【分析】結合特殊值，以及函數(shù)的單調性，判斷選項．【解析】A．，，故A錯誤；B．當時，，故B錯誤；C．函數(shù)單調遞增，所以當時，，故C正確；D．當，，所以D錯誤．故選C12．已知記則與的大小關系是A． B．C． D．無法確定【試題來源】寧夏六盤山高級中學2021-2022學年高二上學期第一次月考（理）【答案】A【分析】利用作差法比較大小即可.【解析】，，，，，，，故選A．13．設，則M與N的大小關系是A． B．C． D．不確定【試題來源】寧夏六盤山高級中學2021-2022學年高二上學期第一次月考（文）【答案】A【分析】利用做差法，即可比較大?。窘馕觥?，所以．故選A14．已知，，若，則下列結論正確的是A． B．C． D．【試題來源】山西省運城市教育發(fā)展聯(lián)盟2021-2022學年高一上學期10月月考【答案】D【分析】利用不等式的性質判斷．【解析】因為，當時，，故ABC錯誤；由，得，則，即，故D正確；故選D15．已知，且，則下列不等式一定成立的是A． B．C． D．【試題來源】金太陽2021-2022學年高一上學期10月月考【答案】C【分析】用不等式的性質判斷，不一定成立的不等式可舉反例說明．【解析】由題意可知，．當時，，，則排除A，B；因為，，所以，所以．因為，所以，所以，則C一定成立；因為，，所以，所以．因為，所以，所以，則排除D．故選C．16．若為非零實數(shù)，且，則下列命題成立的是A． B．C． D．【試題來源】江蘇省新實2020-2021學年高二上學期期中【答案】B【分析】通過作差變形，利用不等式的基本性質一一判斷．【解析】因為為非零實數(shù)，且，則，，，對于，，無法判斷正負情況；對于，，故，即不等式成立；對于，，無法判斷正負情況；對于，，無法判斷正負情況．故選B．17．下列命題中，正確的是A．若a>b，c>d，則ac>bd B．若ac>bc，則a<bC．若a>b，c>d，則a﹣c>b﹣d D．若，則a<b【試題來源】福建省福州市閩侯縣第一中學2021-2022學年高一上學期第一次月考【答案】D【分析】運用不等式的性質，結合特殊值法，對選項注逐一判斷正誤即可．【解析】選項A中，若，時，則成立，否則，若，則，顯然錯誤，故選項A錯誤；選項B中，若，，則能推出，否則，若，則，顯然錯誤，故選項B錯誤；選項C中，若，則，顯然錯誤，故選項C錯誤；選項D中，若，顯然，由不等式性質知不等式兩邊同乘以一個正數(shù)，不等式不變號，即．故選D18．若，則下列不等式中不能成立的是A． B．C． D．【試題來源】山東省2021-2022學年高三10月“山東學情”聯(lián)考C【答案】B【分析】對于A，C，D利用不等式的性質分析即可，對于B舉反例即可【解析】對于A，因為，所以，所以，即，所以A成立；對于B，若，則，，此時，所以B不成立；對于C，因為，故，所以，所以C成立；對于D，若，故，即，則，所以D成立；故選B19．已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大）．根據(jù)這個事實，下列不等式中一定不成立的有A． B．C． D．【試題來源】廣東省揭陽普寧市華僑中學2021-2022學年高一上學期第一次月考【答案】C【分析】根據(jù)題意得，進而根據(jù)依次討論各選項即可得答案．【解析】對于A選項，由題意可知，故正確；對于B選項，因為，所以，故正確；對于C選項，由可得，進而得，故錯誤；對于D選項，，故正確．故選C20．如果，，那么下列不等式中正確的是A． B．C． D．【試題來源】上海師范大學第二附屬中學2021-2022學年高一上學期第一次月考【答案】A【分析】利用不等式的性質依次判斷即可【解析】由，，可知，所以選項A正確；由，得，無法比較與的大小，所以與無法比較大小，選項B錯誤；由，，無法比較與的大小，所以也不一定成立，選項C，D錯誤．故選A二、多選題1．下列命題為假命題的是A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【試題來源】海南省海口市海南昌茂花園學校2022屆高三上學期第一次月考【答案】ABC【分析】對選項A：取即可判斷；對選項B：當時，即可判斷；對選項C、D，由不等式的性質即可判斷．【解析】對選項A：取，滿足，但，故選項A錯誤；對選項B：當時，，故選項B錯誤；對選項C：當，時，由不等式的性質有，故選項C錯誤；對選項D：當時，由不等式的性質有，又，則，故選項D正確；故選ABC．2．設a，b，c，d為實數(shù)，且，則下列不等式正確的是A． B．C． D．【試題來源】廣東省揭陽普寧市華僑中學2021-2022學年高一上學期第一次月考【答案】AD【分析】利用作差法比較大小，得到選項AD正確，選項BC的差的符號不能確定，所以錯誤．【解析】A．，所以該選項正確；B．，因為，所以結果的符號不能確定，如：所以，所以該選項錯誤；C．的符號不能確定，如：所以，所以該選項錯誤；D．，所以該選項正確．故選AD3．已知，則下列說法正確錯誤的是A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【試題來源】山東省日照市五蓮縣第一中學2021-2022學年高一上學期10月月考【答案】ABCD【分析】根據(jù)不等式的性質或取特殊值依次討論各選項即可得答案．【解析】對于A選項，當時，顯然不等式不成立，故A選項錯誤；對于B選項，當時，滿足，不滿足，故B選項錯誤；對于C選項，由得同號，當時，，故C選項錯誤；對于D選項，由得同號，故當時，等價于，故，故D選項錯誤．故選ABCD4．若非零實數(shù)，滿足，則下列不等式中不一定成立的是A． B．C． D．【試題來源】浙江省精誠聯(lián)盟2021-2022學年高一上學期10月聯(lián)考【答案】AC【分析】應用特殊值法判斷A、C的正誤，利用不等式的性質判斷B、D的正誤．【解析】A：當時，不成立，錯誤；B：由知，即，正確；C：當時，不成立，錯誤；D：由，則必有，正確．故選AC5．已知，下列命題為真命題的是A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【試題來源】福建省三明第一中學2021-2022學年高一上學期第一次月考【答案】CD【分析】利用作差法可知AD正誤；根據(jù)反例知B錯誤；由不等式性質知C正確．【解析】對于A，當時，，，A錯誤；對于B，若，，則，B錯誤；對于C，若，則，，C正確；對于D，當時，，，D正確．故選CD．6．若，，，，則下列不等式成立的是A． B．C． D．【試題來源】海南觀瀾湖雙優(yōu)實驗學校2021-2022學年高一上學期第一次月考【答案】CD【分析】利用不等式的性質，和通過取特殊值即可得出．【解析】對于A：當，時，滿足，顯然，故A錯誤；對于B：當，時，滿足，顯然，故B錯誤；對于C：因為，所以，因為，所以，故C正確；對于D：因為，所以，所以，因為，所以，故D正確；故選CD7．已知實數(shù)，滿足，，則A． B．C． D．【試題來源】金太陽2021-2022學年高一上學期10月月考【答案】ACD【分析】根據(jù)不等式的性質判斷．【解析】因為，，所以，則A正確．因為，所以，所以，則B錯誤．當時，；當時，；當時，．故，則C正確．因為，所以．當時，；當時，；當時，．故，則D正確．故選ACD．8．已知，則下列結論正確的是A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【試題來源】山東省濟南市章丘區(qū)第四中學2021-2022學年高一上學期第一次質量檢測【答案】CD【分析】利用特殊值代入法排除AB，利用不等式的基本性質可判斷CD，得出結論．【解析】對于A，不妨令，，，，盡管滿足，，但顯然不滿足，故錯誤；對于B，不妨令，，顯然滿足，但不滿足，故錯誤；對于C，由不等式的性質知，若，則，故正確；對于D，若，則，，故正確．故選CD．9．下列不等式恒成立的是A． B．C． D．【試題來源】吉林省長春市第二中學2021-2022學年高一上學期第一次月考【答案】ACD【分析】根據(jù)作差法依次判斷選項即可．【解析】A：，故A成立；B：，當且僅當a=1時等號成立，故B不恒成立；C：，故C成立；D：，當且僅當時等號成立，故D成立．故選ACD10．已知，，，則下列等式不可能成立的是A． B．C． D．【試題來源】2022屆高三數(shù)學一輪復習【答案】ABC【分析】根據(jù)題設條件，應用二次函數(shù)、不等式的性質及基本不等式判斷各選項的正誤即可．【解析】A：由，則，可得，，故錯誤；B：由題設，得，當且僅當時取等號，此時的最大值為，故錯誤；C：由，當且僅當時取等號，故錯誤；D：若，又，解得，顯然滿足條件，故正確．故選ABC．三、填空題1．下列命題中，正確的是____________．①若，，則；②若，則；③若，則；④若，，則；⑤若，，則．【試題來源】上海奉賢區(qū)曙光中學2020-2021學年高一上學期10月月考【答案】②③【分析】根據(jù)不等式的性質，逐項分析判斷即可得解．【解析】對①，舉反例，取不成立，故①錯誤；對②，開三次方根不改變大小關系，故②正確；對③，是不等式的性質，正確；對④，取不成立，故④錯誤；對⑤，明顯錯誤，負數(shù)越小絕對值越大，應該是，故⑤錯誤；故答案為②③2．若，，則m的取值范圍為____________．【試題來源】河北省衡水市武強中學2020-2021學年高一上學期第一次月考【答案】【分析】根據(jù)不等式的基本性質，即可得到結果．【解析】因為，所以，又，，所以，綜上，．故答案為3．已知，，則的取值范圍是____________．【試題來源】廣東省深圳市南山外國語學校2021-2022學年高一上學期9月統(tǒng)考【答案】【分析】直接利用同向不等式相加即可．【解析】因為，，所以，即的取值范圍是．故答案為4．已知，則的取值范圍是____________．【試題來源】云南省峨山彝族自治縣第一中學2021-2022學年高一9月月考【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質可求的取值范圍．【解析】因為，故，而，，故，故答案為．5．若，則與的大小關系為____________．【試題來源】吉林省長春外國語學校2021-2022學年高一上學期第一次月考【答案】【分析】利用差比較法確定兩者的大小關系．【解析】，當時，等號成立．所以．故答案為6．已知，，則的大小關系為____________．【試題來源】新疆皮山縣高級中學2020-2021學年高二5月月考（文）【答案】【分析】先比較的大小，由比較其中根號中的被開方數(shù)大小即得．【解析】，，顯然，因此，所以，又，所以．故答案為．7．已知，，則的取值范圍是____________．【試題來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學2021-2022學年高一上學期10月月考【答案】【分析】設，利用待定系數(shù)法求出的值，再利用不等式的性質即可求解．【解析】設，則，所以，解得，所以，因為，，所以，，所以，即，故答案為．8．與的大小關系為____________．【試題來源】上海交通大學附屬中學2021-2022學年高二上學期開學考試【答案】【分析】運用作差法：．再次作差，能夠得到結果【解析】．．．故答案為9．已知，則的取值范圍是____________．【試題來源】上海市浦東新區(qū)南匯中學2020-2021學年高一上學期10月月考【答案】【分析】根據(jù)給定條件利用不等式性質推理計算即得．【解析】因，則由，即得，而，則，即，所以的取值范圍是．故答案為10．已知，若，則t的取值范圍是____________．【試題來源】重慶市西南大學附屬中學2021-2022學年高一上學期9月第一次定時訓練【答案】．【分析】利用不等式的性質即得【解析】因為，所以，所以，所以即．故答案為．11．已知，，那么與的大小關系是____________．（用“”號連接）【試題來源】云南省楚雄師范學院附屬中學2020-2021學年高一上學期期中考試【答案】【分析】利用作差法比較A與B的大小即可得解．【解析】，．故答案為．12．已知，，則的最大值是____________．【試題來源】河南省鄭州市第二高級中學2021-2022學年高一上學期10月月考【答案】【分析】運用待定系數(shù)法，設，進而求得，，再由不等式的性質，可得所求范圍，即可得出最大值．【解析】設，由，，解得，．則，所以．所以的最大值是．故答案為．13．已知“，”，令，則的取值范圍是____________．【試題來源】河南省豫西名校2021-2022學年高一上學期第一次聯(lián)考【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質即可求解．【解析】設，則，所以，即，因為，，所以，，所以，所以的取值范圍為．故答案為．14．已知則的取值范圍是____________．【試題來源】寧夏六盤山高級中學2021-2022學年高二上學期第一次月考（理）【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質計算可得；【解析】因為，所以，因為，所以，即，故答案為15．已知，，若，則的取值范圍是____________．【試題來源】浙江省桐鄉(xiāng)市茅盾中學20212022學年高一上學期第一次月考【答案】【分析】根據(jù)不等式的基本性質即可求解．【解析】因為，，所以，，所以，所以的取值范圍是，故答案為．16．若，則、、、中最小的是____________．【試題來源】江西省九江市第三中學2021-2022學年高二上學期第一次月考（理）【答案】【分析】利用作商法以及不等式的性質求解即可．【解析】因為，所以，，，因為，，所以，，即，故答案為17．2021年是中國共產(chǎn)黨成立周年，某校為了慶祝建黨周年，組織了一系列活動，其中紅歌會比賽就是其中一項．已知高一年級選手人數(shù)多于高二年級選手人數(shù)，高二年級選手人數(shù)多于高三年級選手人數(shù)，高三年級選手人數(shù)多于教師選手人數(shù)，教師選手人數(shù)的倍多于高一年級選手人數(shù)，則參加紅歌會的選手至少有____________人．【試題來源】河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2021-2022學年高一上學期第一次聯(lián)考【答案】【分析】設高一年級選手人數(shù)?高二年級選手人數(shù)?高三年級選手人數(shù)?教師選手人數(shù)分別為，根據(jù)條件列不等式求解即可．【解析】設高一年級選手人數(shù)?高二年級選手人數(shù)?高三年級選手人數(shù)?教師選手人數(shù)分別為，且為正整數(shù)，則，從而，解得故選手至少有人．18．已知均為正實數(shù)，且，那么的大值為__________．【試題來源】山東濟南十一校2021屆高三4月診斷聯(lián)考【答案】【分析】本題目主要考察不等式的簡單性質，將已知條件進行簡單變形即可【解析】因為均為正實數(shù)，所以由題可得，即，，，三式相加得，所以，所以的最大值為4，故答案為419．若，則下列不等式：①；②；③；④中，正確的不等式序號有____________．【試題來源】北京海淀區(qū)北京一零一中學2020-2021學年高一10月月考【答案】②③④．【分析】①根據(jù)不等式的性質可做出判斷；②③④可通過作差法進行判斷．【解析】因為，所以．①因為，所以，所以若，則，故錯誤；②因為，所以，所以，故正確；③，因為，所以，所以，即，故正確；④，因為，所以，所以，即，故正確．故答案為②③④．20．若實數(shù)滿足，，則的取值范圍為________．【試題來源】2021-2022學年高一數(shù)學舉一反三系列（北師大版2019必修第一冊）【答案】【分析】設，解得，，再由不等式的性質即可求解．【解析】設，解得，所以．又，，，所以．故答案為．【名師點睛】本題考查利用不等式的性質求取值范圍，變形是解題的關鍵，考查學生的運算求解能力，屬于基礎題．四、雙空題1．若，，則的范圍是___________，的范圍是___________．【試題來源】江蘇省黃埭中學2021-2022學年高一上學期十月月考【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質求的范圍和的范圍，同向不等式相加即可求得范圍，求的范圍與同向同正不等式相乘即可求的范圍．【解析】因為，所以，由可得，所以，由可得，因為，所以，所以的范圍是，的范圍是，故答案為；．2．若角滿足，則的取值范圍是___________，的取值范圍是___________．【試題來源】【新東方】雙師（56）【答案】【分析】利用不等式的性質即可求解．【解析】由，則，，且，所以，，所以的取值范圍是，的取值范圍是．故答案為；3．已知，則的取值范圍是___________，的取值范圍是___________．【試題來源】備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學（文）一輪復習考點幫【答案】【分析】由不等式的性質運算即可求得結果．【解析】，即，，，又，，；又，，又，．綜上所述：的取值范圍為；的取值范圍為．故答案為；．4．已知，設，，則m的取值范圍是___________，n的取值范圍是___________．【試題來源】福建省三明第一中學2021-2022學年高一上學期第一次月考【答案】【分析】利用不等式的性質即求．【解析】因為，所以，即，又，所以，又，所以即