專題15利用導(dǎo)數(shù)證明多元不等式-《2023年高考數(shù)學(xué)命題熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展》2

專題15利用導(dǎo)數(shù)證明多元不等式【熱點(diǎn)聚焦】從高考命題看，通過(guò)研究函數(shù)性質(zhì)與最值證明一元不等式，是導(dǎo)數(shù)綜合題常涉及的一類問(wèn)題.而多元不等式的證明則是導(dǎo)數(shù)綜合題的一個(gè)難點(diǎn)，其困難之處是如何構(gòu)造、轉(zhuǎn)化合適的一元函數(shù).【重點(diǎn)知識(shí)回眸】（一）證明一元不等式主要的方法1.方法一：將含的項(xiàng)或所有項(xiàng)均移至不等號(hào)的一側(cè)，將一側(cè)的解析式構(gòu)造為函數(shù)，通過(guò)分析函數(shù)的單調(diào)性得到最值，從而進(jìn)行證明.例如：，可通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出，由此可得到對(duì)于任意的，均有，即不等式.其優(yōu)點(diǎn)在于目的明確，構(gòu)造方法簡(jiǎn)單，但對(duì)于移項(xiàng)后較復(fù)雜的解析式則很難分析出單調(diào)性2.方法二：利用不等式性質(zhì)對(duì)所證不等式進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化成為的形式，若能證明，即可得：，本方法的優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)的項(xiàng)進(jìn)行分割變形，可將較復(fù)雜的解析式拆成兩個(gè)簡(jiǎn)單的解析式.但缺點(diǎn)是局限性較強(qiáng)，如果與不滿足，則無(wú)法證明.（二）證明多元不等式常用方法：（1）消元：①利用條件代入消元②不等式變形后對(duì)某多元表達(dá)式進(jìn)行整體換元（2）變量分離后若結(jié)構(gòu)相同，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性與自變量大小來(lái)證明不等式（3）利用函數(shù)的單調(diào)性將自變量的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的不等關(guān)系，再尋找方法.（三）常見(jiàn)構(gòu)造函數(shù)方法(1)直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題：把證明f(x)＜g(a)轉(zhuǎn)化為f(x)max＜g(a).(2)移項(xiàng)作差構(gòu)造函數(shù)法：把不等式f(x)＞g(x)轉(zhuǎn)化為f(x)－g(x)＞0，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x).(3)構(gòu)造雙函數(shù)法：若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，難以判斷符號(hào)，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不易求得，即函數(shù)單調(diào)性與極值點(diǎn)都不易獲得，可轉(zhuǎn)化不等式為f(x)＞g(x)利用其最值求解.(4)換元法，構(gòu)造函數(shù)證明雙變量函數(shù)不等式：對(duì)于f(x1，x2)≥A的不等式，可將函數(shù)式變?yōu)榕ceq\f(x1,x2)或x1·x2有關(guān)的式子，然后令t＝eq\f(x1,x2)或t＝x1x2，構(gòu)造函數(shù)g(t)求解.(5)適當(dāng)放縮構(gòu)造函數(shù)法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮，二是利用常見(jiàn)的放縮結(jié)論，如lnx≤x－1，ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，lnx＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1).ex≥ex，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)；當(dāng)x≥0時(shí)，ex≥1＋x＋x2,當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)；當(dāng)x≥0時(shí)，ex≥x2＋1,當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)；≤lnx≤x－1≤x2－x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)；當(dāng)x≥1時(shí)，≤lnx≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)．(6)構(gòu)造“形似”函數(shù)：對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)等．把不等式左、右兩邊轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)相同的式子，然后根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”，構(gòu)造函數(shù).(7)賦值放縮法：函數(shù)中對(duì)與正整數(shù)有關(guān)的不等式，可對(duì)已知的函數(shù)不等式進(jìn)行賦值放縮，然后通過(guò)多次求和達(dá)到證明的目的.【典型考題解析】熱點(diǎn)一換元法，構(gòu)造函數(shù)證明雙變量函數(shù)不等式【典例1】（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對(duì)任意的，有．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（a∈R且a≠0）．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求證：．【典例3】（2021·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【典例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)任意正實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，試判斷與的大小關(guān)系并證明【總結(jié)提升】對(duì)于雙變量函數(shù)不等式f(x1，x2)＞A，通過(guò)變量代換，把雙變量變?yōu)橐粋€(gè)主元，再構(gòu)造函數(shù)證明不等式．熱點(diǎn)二構(gòu)造“形似”函數(shù)證明不等式【典例5】已知函數(shù)f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若a≤－2，證明：對(duì)任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.【典例6】（2022·湖北·高三開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若函數(shù)的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【典例7】已知函數(shù)f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)．(1)若曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線與直線x－2y＝0平行，求k的值；(2)若對(duì)于任意x1，x2∈(0,3]，且x1<x2，都有f(x1)＋<f(x2)＋恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【規(guī)律方法】對(duì)雙變量函數(shù)不等式，可根據(jù)條件構(gòu)造“形似”函數(shù)，再判斷此函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明不等式．熱點(diǎn)三利用單調(diào)性變量轉(zhuǎn)換法，證明不等式【典例8】（2022·全國(guó)·高考真題（理））已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．【典例9】（2016·全國(guó)·高考真題（理））已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)x1，x2是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【典例10】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若時(shí)，，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：．【方法總結(jié)】涉及自變量不等式證明問(wèn)題，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值不等關(guān)系的證明.【精選精練】1．（2021·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三開學(xué)考試（理））已知，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)若是上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)正極值點(diǎn)，，證明：.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中m＞0，f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，且恒成立．(1)求m的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x0，函數(shù)f'(x)的極小值點(diǎn)為x1，求證：x0＞x1．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)若對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且．求證：4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.5．（2021·山東·臨沂市蘭山區(qū)教學(xué)研究室高三開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)證明：.(2)若函數(shù)，若存在使，證明：.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中．(1)若，討論的單調(diào)性；(2)若．（ⅰ）證明：恰有兩個(gè)零點(diǎn)；（ⅱ）設(shè)為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明：．7．（2023·江蘇·南京市中華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若，且，證明:.8．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）＝ex（lnx+a）．(1)若f（x）是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：x1+x2＞2．10．（2022·山東·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．（…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）11．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)，使，求證：．12．（2022·天津·靜海一中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，(1)若函數(shù)在處的切線也是函數(shù)圖像的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)的圖像恒在直線的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若，且，證明：>13．（2022·浙江·三模）已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)單調(diào)遞增，求a的最大值；(3)設(shè)是的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，是的最大零點(diǎn)．證明：．注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．14．（2022·浙江·樂(lè)清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的極值點(diǎn)．(2)若有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)滿足．（i）求k的取值范圍（ⅱ）證明．15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)．(1)若，求在處的切線方程；(2)若的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，證明：．16．（2023·全國(guó)·高三