專(zhuān)題11 投影（知識(shí)點(diǎn)串講）（原卷版）

專(zhuān)題11投影

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

________平行投影

《投影中心投影

正投影

重難突破

知識(shí)點(diǎn)一平行投影

投影的概念：一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影。照射光線

叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面。

平行投影概念：由平行光線形成的投影叫做平行投影。

平行投影特征：

1.等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在太陽(yáng)光下，它們的影子一樣長(zhǎng).

2.等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示，它們?cè)谔?yáng)光下的影子一樣長(zhǎng)，且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng)

度.

圖1圖2

考查題型（物高與影長(zhǎng)的關(guān)系）

1.在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時(shí)刻，物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方

向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西一西北一北~東北一東，影長(zhǎng)也是由

長(zhǎng)變短再變長(zhǎng).

2.在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成正比例.即：

甲物體的高一甲物體的影長(zhǎng)

乙物體的高一乙物體的影長(zhǎng).

利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.

注意：利用影長(zhǎng)計(jì)算物高時(shí)，要注意的是測(cè)量?jī)晌矬w在同一時(shí)刻的影長(zhǎng).

1.（2018?渭南市期末）矩形木框在陽(yáng)光照射下，在地面上的影子不可能是（)

A.B.

c.D.

2.（2019?寶雞市期中）如圖是王老師展示的他昨天畫(huà)的一幅寫(xiě)生畫(huà)，他讓四個(gè)學(xué)生猜測(cè)他畫(huà)這幅畫(huà)的時(shí)間.根

據(jù)王老師標(biāo)出的方向，下列給出的時(shí)間比較接近的是（）

味一?東

A.小麗說(shuō)：“早上8點(diǎn)”

B.小強(qiáng)說(shuō):“中午12點(diǎn)”

C.小剛說(shuō)：“下午3點(diǎn)”

D.小明說(shuō)：“哪個(gè)時(shí)間段都行”

3.（2019?四川省安岳實(shí)驗(yàn)中學(xué)初三期末）給出下列結(jié)論正確的有（）

①物體在陽(yáng)光照射下，影子的方向是相同的

②物體在任何光線照射下影子的方向都是相同的

③物體在路燈照射下，影子的方向與路燈的位置有關(guān)

④物體在光線照射下，影子的長(zhǎng)短僅與物體的長(zhǎng)短有關(guān).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.（2019?山東省濟(jì)南市匯才學(xué)校初三期中）下列四幅圖形中,表示兩棵樹(shù)在同一時(shí)刻陽(yáng)光下的影子的圖形可能

是（）

5.（2019?天水市期中）如圖，一電線桿AB的影子分別落在地上和墻上，某一時(shí)刻，小明豎起1m?高的直桿,

量得其影長(zhǎng)為0.5m,此時(shí)，他又量得電線桿AB落在地上的影子BD長(zhǎng)3m,落在墻上的影子CD的高為2m,

小明用這些數(shù)據(jù)很快算出了電線桿AB的高，請(qǐng)你計(jì)算，電線桿AB?的高為（）

C.7mD.8m

6.（2019?昌平區(qū)期中）如果在同一時(shí)刻的陽(yáng)光下，小莉的影子比小玉的影子長(zhǎng)，那么在同一路燈下（）

A.小莉的影子比小玉的影子長(zhǎng)B.小莉的影子比小玉的影子短

C.小莉的影子與小玉的影子一樣長(zhǎng)D.無(wú)法判斷誰(shuí)的影子長(zhǎng)

7.（2018?湘鄉(xiāng)市期末）如圖，數(shù)學(xué)興趣小組的小穎想測(cè)量教學(xué)樓前的一棵樹(shù)的樹(shù)高，下午課外活動(dòng)時(shí)她測(cè)得

一根長(zhǎng)為1m的竹竿的影長(zhǎng)是0.8m,但當(dāng)她馬上測(cè)量樹(shù)高時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹(shù)的影子不全落在地面上，有一部分影

子落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖），他先測(cè)得留在墻壁上的影高為1.2m,又測(cè)得地面的影長(zhǎng)為2.6m,請(qǐng)你幫

她算一下，樹(shù)高是（）

A.3.25mB.4.25mC.4.45mD.4.75m

8.（2019?平頂山市第四十二中學(xué)初三期中）下列說(shuō)法正確的是（）

A.物體在陽(yáng)光下的投影只與物體的高度有關(guān)

B.小明的個(gè)子比小亮高，我們可以肯定，不論什么情況，小明的影子一定比小亮的影子長(zhǎng).

C.物體在陽(yáng)光照射下，不同時(shí)刻，影長(zhǎng)可能發(fā)生變化，方向也可能發(fā)生變化.

D.物體在陽(yáng)光照射下，影子的長(zhǎng)度和方向都是固定不變的.

9.（2018?市北區(qū)期末）太陽(yáng)光照射一扇矩形的窗戶(hù)，投在平行于窗戶(hù)的墻上的影子的形狀是（）

A.與窗戶(hù)全等的矩形B.平行四邊形

C.比窗戶(hù)略小的矩形D.比窗戶(hù)略大的矩形

10.（2019?營(yíng)口市期中）路邊有一根電線桿AB和一塊長(zhǎng)方形廣告牌，有一天，小明突然發(fā)現(xiàn)在太陽(yáng)光照射下,

電線桿頂端A的影子剛好落在長(zhǎng)方形廣告牌的上邊中點(diǎn)G處，而長(zhǎng)方形廣告牌的影子剛好落在地面上E點(diǎn)

（如圖），已知8c=5米，長(zhǎng)方形廣告牌的長(zhǎng)族=4米，高HC=3米，OE=4米，則電線桿A3的高度

是（）

C.8.25米D.10.75米

知識(shí)點(diǎn)二中心投影

中心投影概念：由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影。

中心投影特征：

1.等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物

體它的影子長(zhǎng).

念

3”/

?1

2等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影

子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短.

考查題型（求點(diǎn)光源的位置）

點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)

點(diǎn)的位置.

中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系:

區(qū)別聯(lián)系

投影線互相平行，

平行投影都是物體在光線的

形成平行投影照射下，在某個(gè)平

面內(nèi)形成的影子.

投影線集中于一點(diǎn)，

中心投影（即都是投影）

形成中心投影

11.（2019?泉州市期中）如圖，晚上小亮在路燈下散步，在小亮由A處徑直走到B處這一過(guò)程中，他在地上

的影子（）

A.逐漸變短B.先變短后變長(zhǎng)

C.先變長(zhǎng)后變短D.逐漸變長(zhǎng)

12.（2018?蘇州市期中）圓桌面（桌面中間有一個(gè)直徑為\m的圓洞）正上方的燈泡（看作一個(gè)點(diǎn)）發(fā)出的光線照

射平行于地面的桌面后，在地面上形成如圖所示的圓環(huán)形陰影.己知桌面直徑為2〃?，桌面離地面1%,若

燈泡離地面2根，則地面圓環(huán)形陰影的面積是（）

?????

*?????????

?:::\

A.2TT/T?2B.3nn?2C.6n/M2D.12nm2

13.（2019?濟(jì)南市期中）如圖，小明夜晚從路燈下A處走到B處這一過(guò)程中，他在路上的影子（）

C.長(zhǎng)度不變D.先變短后變長(zhǎng)

14.（2019?鄭州市期中）兩個(gè)人的影子在兩個(gè)相反的方向，這說(shuō)明（）

A.他們站在陽(yáng)光下B.他們站在路燈下

C.他們站在路燈的兩側(cè)D.他們站在月光下

15.（2019?西安市期中）如圖，白熾燈正下方有一個(gè)乒乓球，當(dāng)乒乓球沿豎直方向越來(lái)越遠(yuǎn)離白熾燈時(shí)，它在

地面上的影子（）

A.越來(lái)越大B.越來(lái)越小C.先變大后變小D.先變小后變大

16.（2018?羅湖區(qū)期末）如圖，位似圖形由三角尺與其在燈光照射下的中心投影組成，相似比為1：2,且三

角尺一邊長(zhǎng)為5cm,則投影三角形的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為（）

A.8cmB.20cmC.3.2cmD.10cm

17.(2019?平頂山市第四十二中學(xué)初三期中)小亮在上午8時(shí)、9時(shí)30分、10時(shí)、12時(shí)四次到室外的陽(yáng)光下

觀察向日葵的頭莖隨太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，無(wú)意之中，他發(fā)現(xiàn)這四個(gè)時(shí)刻向日葵影子的長(zhǎng)度各不相同，那么影

子最長(zhǎng)的時(shí)刻為()

A.上午8時(shí)B.上午9時(shí)30分C.上午10時(shí)D.上午12時(shí)

18.(2019?廣東紅嶺中學(xué)初三期中)一幢4層樓房只有一個(gè)窗戶(hù)亮著一盞燈，--棵小樹(shù)和一根電線桿在窗口燈

光下的影子如圖所示，則亮著燈的窗口是()

QD

CEQ

i

ffl

A.1號(hào)窗口B.2號(hào)窗口C.3號(hào)窗口D.4號(hào)窗口

19.(2019?溫江中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期中)小陽(yáng)和小明兩人從遠(yuǎn)處沿直線走到路燈下，他們規(guī)定：小陽(yáng)在前，小

明在后，兩人之間的距離始終與小陽(yáng)的影長(zhǎng)相等.在這種情況下，他們兩人之間的距離()

A.始終不變B.越來(lái)越遠(yuǎn)C.時(shí)近時(shí)遠(yuǎn)D.越來(lái)越近

20.(2019?沙雅縣英買(mǎi)力鎮(zhèn)中學(xué)初三期中)小剛走路時(shí)發(fā)現(xiàn)自己的影子越走越長(zhǎng)，這是因?yàn)?)

A.從路燈下走開(kāi)，離路燈越來(lái)越遠(yuǎn)B.走到路燈下，離路燈越來(lái)越近

C.人與路燈的距離與影子長(zhǎng)短無(wú)關(guān)D.路燈的燈光越來(lái)越亮

知識(shí)點(diǎn)三正投影

正投影的定義：如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點(diǎn)，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平

行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對(duì)著投影面)，我們也稱(chēng)這

種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.

(1)(2)(3)

1.線段的正投影分為三種情況.如圖所示.

①線段AB平行于投影面P時(shí)，它的正投影是線段AiBi，與線段AB的長(zhǎng)相等；、

②線段AB傾斜于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A2B2,長(zhǎng)小于線段AB的長(zhǎng)；

③線段AB垂直于投影面P時(shí)，它的正投影是一個(gè)點(diǎn).

2.平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.

①當(dāng)平面圖形平行于投影面Q時(shí)，它的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個(gè)平面圖

形全等；

②當(dāng)平面圖形傾斜于投影面Q時(shí)，平面圖形的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會(huì)縮小，是類(lèi)

似圖形但不一定相似.

③當(dāng)平面圖形垂直于投影面Q時(shí)，它的正投影是直線或直線的一部分.

3.立體圖形的正投影.

物體的正投影的形狀、大小與物體相對(duì)于投影面的位置有關(guān)，立體圖形的正投影與平行于投影面且過(guò)立體圖

形的最大截面全等.

如圖，把一個(gè)正方體紙盒P（記為正方體ABCDEFGH）放在兩個(gè)個(gè)不同位置.

（1）紙盒的一個(gè)平面ABCD平行于投影面：

A.大于1.5mB.小于1.5/M

C.等于1.5mD.小于或等于1.5小

22.（2018?蕪湖市期末）下列說(shuō)法正確的是（）

A.三角形的正投影一定是三角形B.長(zhǎng)方體的正投影一定是長(zhǎng)方形

C.球的正投影一定是圓D.圓錐的正投影一定是三角形

230.（2018?通州區(qū)期末）把一個(gè)正六棱柱如圖擺放，光線由上向下照射此正六棱柱時(shí)的正投影是（）

0

24.一個(gè)長(zhǎng)方形的正投影的形狀、大小與原長(zhǎng)方形完全一樣，則這個(gè)長(zhǎng)方形投影面；一個(gè)長(zhǎng)方形

的正投影的形狀、大小都發(fā)生了變化，則這個(gè)長(zhǎng)方形投影面.

25.（2018?梅州市期末）如圖所示，這些圖形的正投影圖形分別是.

26.下圖右邊是一個(gè)三棱柱，它的正投影是下圖中的（填序號(hào)）.

ADD0

①②③④

27.有兩根大小、形狀完全相同的鐵絲，甲鐵絲與投影面的夾角是45。，乙鐵絲與投影面的夾角是30。，那

么兩根鐵絲在投影面的正投影的長(zhǎng)度的大小關(guān)系是：甲―乙（填“>”“〈”或

28.已知I,如圖所示，木棒AB在投影面P上的正投影為AIBI,且AB=20cm,ZBAAi=120°,則投影長(zhǎng)

A[B[=cm.

29.如圖所示，正三棱柱的面EFDC〃平面R且AE=EF=AF=2,AB=6,正三棱柱在平面R的正投影是

,正投影的面積為

30.下列投影中，正投影是（只填序號(hào)）.

鞏固訓(xùn)練

一、解答題（共10小題）

1.（2018?安康市期末）如圖是位于陜西省西安市薦福寺內(nèi)的小雁塔，是中國(guó)早期方形密檐式磚塔的典型作品,

并作為絲綢之路的一處重要遺址點(diǎn)，被列入《世界遺產(chǎn)名錄》.小銘、小希等幾位同學(xué)想利用一些測(cè)量工具

和所學(xué)的兒何知識(shí)測(cè)量小雁塔的高度，由于觀測(cè)點(diǎn)與小雁塔底部間的距離不易測(cè)量，因此經(jīng)過(guò)研究需要進(jìn)

行兩次測(cè)量，于是在陽(yáng)光下，他們首先利用影長(zhǎng)進(jìn)行測(cè)量，方法如下：小銘在小雁塔的影子頂端D處豎直

立一根木棒CD,并測(cè)得此時(shí)木棒的影長(zhǎng)DE=2.4米；然后，小希在BD的延長(zhǎng)線上找出一點(diǎn)F,使得A、C、

F三點(diǎn)在同一直線上，并測(cè)得DF=2.5米.已知圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，木棒高CD=1.72米，AB1BF,

CD±BF,試根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，求小雁塔的高度AB.

2.（2019?深圳市南山區(qū)第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（集團(tuán)）學(xué)府中學(xué)初三期中）如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段

A3所示，他在地面上的影子如圖中線段4c所示，小亮的身高如圖中線段FG所示，路燈燈泡在線段OE

上.

（1）請(qǐng)你確定燈泡所在的位置，并畫(huà)出小亮在燈光下形成的影子.

（2）如果小明的身高AB=1.6〃?，他的影子長(zhǎng)AC=1.4〃?，且他到路燈的距離AO=2.1m,求燈泡的高.

E

BG

CAD

3.（2018?深圳市龍崗區(qū)百合外國(guó)語(yǔ)學(xué)校初三期中）一天晚上，小穎由路燈A下的B處向正東走到C處時(shí),

測(cè)得影子CD的長(zhǎng)為1米,當(dāng)她繼續(xù)向正東走到D處時(shí),測(cè)得此時(shí)影子DE的一端E到路燈A的仰角為45°,

已知小穎的身高為1.5米，那么路燈AB的高度是多少米？

4.(2018?南通市啟秀中學(xué)初三期中)如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段AB所示，他在地面上的影子

如圖中線段AC所示，小亮的身高如圖中線段FG所示，路燈燈泡在線段OE上.

E

G

CAD尸

(1)請(qǐng)你確定燈泡所在的位置并畫(huà)出小亮在燈光下形成的影子；

(2)如果小明的身高4B=1.8〃i,他的影子長(zhǎng)4C=L6m,且他到路燈的距離40=24力求燈泡的高.

5.(2018?青島市期末)如圖，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時(shí)，測(cè)得影子CD的長(zhǎng)為1米，繼續(xù)往前

走3米到達(dá)E處時(shí)，測(cè)得影子EF的長(zhǎng)為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高度AB是多少？

H

BCDEF

6.（2019?合肥市期中）（1）如圖①，BE,DF,MN是三根直立于地面的木桿在同一燈光下的影子，請(qǐng)畫(huà)出第三

根木桿，（畫(huà)出示意圖，不用寫(xiě)畫(huà)法）

（2）如圖②，小明在陽(yáng)光下利用標(biāo)桿AB測(cè)量校園內(nèi)一棵小樹(shù)CD的高度