人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第一冊學案：1 2 第二課時 空間向量基本定理的應用

人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第一冊PAGEPAGE1第二課時空間向量基本定理的應用課標要求素養(yǎng)要求通過運用空間向量基本定理，結合數量積運算，能證明空間線面的位置關系及求直線的夾角、兩點間距離(線段長度).通過利用空間向量基本定理，培養(yǎng)學生的直觀想象和數學運算素養(yǎng).自主梳理1.空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.2.利用空間向量基本定理，結合數量積運算，可解決空間中平行、垂直關系的判斷，異面直線所成的角及求線段的長等問題.(1)若證明線線垂直，只需證明兩向量數量積為0；(2)若證明線線平行，只需證明兩向量共線.自主檢驗1.思考辨析，判斷正誤(1)空間向量的基底是唯一的.(×)〖提示〗空間向量的基底不唯一，三個向量只要不共面即可作為基底.(2)若a，b，c是空間向量的一個基底，則a，b，c均為非零向量.(√)(3)已知A，B，M，N是空間四點，若eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))不能構成空間的一個基底，則A，B，M，N共面.(√)(4)若{a，b，c}是空間的一個基底，且存在實數x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，則有x＝y＝z＝0.(√)2.棱長為1的正四面體ABCD中，直線AB與CD()A.相交 B.平行C.垂直 D.無法判位置關系〖答案〗C〖解析〗eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1×1×eq\f(1,2)－1×1×eq\f(1,2)＝0，故eq\o(BA,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))，即直線AB與CD垂直.3.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，若點F是側面CC1D1D的中心，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))－neq\o(AA1,\s\up6(→))，則m，n的值分別為()A.eq\f(1,2)，－eq\f(1,2) B.－eq\f(1,2)，－eq\f(1,2) C.－eq\f(1,2)，eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)，eq\f(1,2)〖答案〗A〖解析〗因為eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以m＝eq\f(1,2)，n＝－eq\f(1,2).4.已知a，b是異面直線，點A，B∈a，點C，D∈b，AC⊥a，BD⊥a，且AB＝1，CD＝eq\r(2)，則a，b所成的角為________________.〖答案〗45°〖解析〗∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＝1，∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,1×\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴異面直線a，b所成的角為45°.題型一證明空間直線、平面的位置關系〖例1〗如圖，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分別是A′D′，DD′，D′C′的中點，請選擇恰當的基底向量證明：(1)EG∥AC；(2)平面EFG∥平面AB′C.證明取基底{eq\o(AA′,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}，(1)因為eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(ED′,\s\up6(→))＋eq\o(D′G,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(EG,\s\up6(→))，所以eq\o(EG,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，又EG，AC無公共點，所以EG∥AC.(2)因為eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(FD′,\s\up6(→))＋eq\o(D′G,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AB′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝2eq\o(FG,\s\up6(→))，所以eq\o(FG,\s\up6(→))∥eq\o(AB′,\s\up6(→))，又FG，AB′無公共點，所以FG∥AB′.又FG?平面AB′C，AB′?平面AB′C，∴FG∥平面AB′C.又由(1)知EG∥AC，可得EG∥平面AB′C，又FG∩EG＝G，FG，EG?平面EFG，所以平面EFG∥平面AB′C.思維升華(1)當直接證明線線垂直但條件不易利用時，常常考慮證明兩線段所對應的向量的數量積等于零.利用向量證明垂直的一般方法是把線段轉化為向量，并用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運算以及數量積和垂直條件來完成位置關系的判定.(2)證明直線與直線平行一般轉化為向量共線問題，利用向量共線的充要條件證明.〖訓練1〗如圖所示，已知△ADB和△ADC都是以D為直角頂點的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求證：BD⊥平面ADC.證明不妨設AD＝BD＝CD＝1，則AB＝AC＝eq\r(2).eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，由于eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝1，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos60°＝eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(1,2)＝1.∴eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，即BD⊥AC.又∵BD⊥AD，AC∩AD＝A，AC，AD?平面ADC，∴BD⊥平面ADC.題型二求線段的長度或兩點間的距離〖例2〗在正四面體ABCD中，棱長為a，M，N分別是棱AB，CD上的點，且MB＝2AM，CN＝eq\f(1,2)ND，求MN.解∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up6(→))))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(2,9)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,9)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,9)eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))2＝eq\f(1,9)a2－eq\f(1,9)a2－eq\f(2,9)a2＋eq\f(2,9)a2＋eq\f(1,9)a2＋eq\f(4,9)a2＝eq\f(5,9)a2.故|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),3)a，即MN＝eq\f(\r(5),3)a.思維升華求兩點間的距離或線段長度的方法(1)將此線段用向量表示；(2)用其他已知夾角和模的向量表示該向量；(3)利用|a|＝eq\r(a2)，通過計算求出|a|，即得所求距離.〖訓練2〗如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求線段PC的長.解∵eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|2＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))2＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up6(→))|2＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋2eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝62＋42＋32＋2|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(DC,\s\up6(→))|cos120°＝61－12＝49，∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝7，即PC＝7.題型三求兩直線的夾角〖例3〗如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(2)，求異面直線BA1與AC所成角的余弦值.解∵eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，且eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))2＋eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))2＝－1.又∵|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(BA1,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3)，∴cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BA1,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(－1,\r(6))＝eq\f(－\r(6),6)，則異面直線BA1與AC所成角的余弦值為eq\f(\r(6),6).思維升華(1)求幾何體中兩個向量的夾角，可以把其中一個向量平移到與另一個向量的起點重合，轉化為求平面中的角的大小.(2)由兩個向量的數量積定義得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，轉化為求兩個向量的數量積及兩個向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，進而求〈a，b〉的大小.在求a·b時注意結合空間圖形，把a，b用基向量表示出來，進而化簡得出a·b的值.(3)直線AB，CD的夾角α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，而〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉∈〖0，π〗，故α＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉或α＝π－〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉.〖訓練3〗如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求BC1與AC夾角的大小.解不妨設正方體的棱長為1，則eq\o(BC1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,