中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)培優(yōu)練一全等模型高效拆分特訓(xùn)

01幾何壓軸題高效拆分特訓(xùn)專題一全等模型高效拆分特訓(xùn)特訓(xùn)1旋轉(zhuǎn)全等(一)一線三等角模型模型解讀條件A，P，B三點(diǎn)共線，CP＝PD，∠1＝∠2＝∠3.A，P，B三點(diǎn)共線，CP＝PD，∠1＝∠2＝∠DPC.圖示同側(cè)型異側(cè)型結(jié)論△ACP≌△BPD.背景常以等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、矩形、正方形為背景.典題訓(xùn)練1．如圖，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝6，則△BCD的面積為________．2．如圖，把兩個腰長相等的等腰三角形拼接在一起，腰AD＝AF＝AC，∠DAC＝90°，作CE⊥AF于E，連接DE.若CE＝12，DE＝DF，求AC的長．

特訓(xùn)2旋轉(zhuǎn)全等(二)手拉手模型模型解讀條件：如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.結(jié)論：△ACD≌△ABE.頂角相等且頂點(diǎn)重合的兩個等腰三角形→全等三角形.典題訓(xùn)練【熟悉模型】如圖①，已知△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，求證：BD＝CE；【運(yùn)用模型】如圖②，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，求∠APB的度數(shù)．小明在解決此問題時，根據(jù)前面的“手拉手模型”，以BP為邊構(gòu)造等邊三角形BPM，這樣就有兩個等邊三角形共頂點(diǎn)B，然后連接CM，通過轉(zhuǎn)化的思想求出了∠APB的度數(shù)，則∠APB的度數(shù)為________；【深化模型】如圖③，在四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的長．

特訓(xùn)3旋轉(zhuǎn)全等(三)半角模型模型解讀等腰直角三角形中的“半角模型”(如圖)：條件：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°.方法：將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACF，連接EF.結(jié)論：△ADE≌△AFE，DE2＝BD2＋CE2.正方形中的“半角模型”(如圖)：條件：在正方形ABCD中，∠EAF＝45°.方法：將△ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG.結(jié)論：△AEF≌△AEG，EF＝BE＋DF，EF2＝CE2＋CF2，F(xiàn)A平分∠DFE，EA平分∠BEF.典題訓(xùn)練如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，且∠EAF＝45°.(1)求證：EF＝BE＋DF；(2)連接BD，分別交AE，AF于點(diǎn)M，N，試探究BM，MN，DN之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

特訓(xùn)4中點(diǎn)模型(一)倍長中線(或作平行線)模型解讀題眼：中線、中點(diǎn)條件：如圖，AO為△ABC的中線．方法1：如圖①，延長中線AO至D,使得DO＝AO，連接BD.方法2：如圖②，過點(diǎn)B作BD∥AC交AO的延長線于點(diǎn)D.結(jié)論：△AOC≌△DOB.典題訓(xùn)練1．如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF.求證：AE＝FE.2．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF.試猜想線段BE，CF，EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．特訓(xùn)5中點(diǎn)模型(二)構(gòu)造中位線模型解讀題眼：中線、中點(diǎn)方法1：再構(gòu)造另一個中點(diǎn)，變中線為中位線．示例：如圖①，AO為△ABC的中線，延長BA至D，使得AD＝AB，連接CD,可證OA＝eq\f(1,2)CD，OA∥CD.方法2：構(gòu)造雙中位線示例：如圖②，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，取對角線BD的中點(diǎn)M，連接ME，MF.典題訓(xùn)練1．如圖，在正方形ABCD中，AB＝2eq\r(2)，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長度為________．2．如圖，四邊形ABCD中，AB＝CD，E，F(xiàn)分別是邊BC，AD的中點(diǎn)，延長BA，CD，分別交EF的延長線于P，Q.求證：∠BPE＝∠Q.特訓(xùn)6中點(diǎn)模型(三)平行線證中點(diǎn)模型解讀方法：作平行或作垂直，證中點(diǎn)．在未知中點(diǎn)的問題中，不能采取倍長中線法，可作平行或垂直，通過三角形的全等證中點(diǎn).典題訓(xùn)練在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在射線BA上，點(diǎn)E在AC的延長線上，且BD＝CE.連接DE，DE與BC邊所在的直線交于點(diǎn)F.(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BA上時，如圖所示，求證：DF＝EF；(2)過點(diǎn)D作DH⊥BC交直線BC于點(diǎn)H.若BC＝4，CF＝1，求BH的長．特訓(xùn)7中點(diǎn)模型(四)斜邊中線模型解讀條件：如圖，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°.方法：如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OD，得到OC＝OD＝eq\f(1,2)AB，∠ODB＝∠OBD＝eq\f(1,2)∠AOD，∠ODA＝∠OAD＝eq\f(1,2)∠BOD，∠OCB＝∠OBC＝eq\f(1,2)∠AOC，∠OAC＝∠OCA＝eq\f(1,2)∠BOC.典題訓(xùn)練1．如圖，BN，CM分別是△ABC的兩條高，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥MN于點(diǎn)E.(1)求證：E是MN的中點(diǎn)；(2)若BC＝12，MN＝8，則DE＝________．2．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O為BD的中點(diǎn)，連接OA，AC.若∠ADC＝135°，求證：AC＝eq\r(2)OA.特訓(xùn)8角平分線模型模型解讀條件：OP平分∠AOB.方法一：(垂兩邊)如圖①，過點(diǎn)P分別作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E；方法二：(垂中間)如圖②，過點(diǎn)P作DE⊥OP，交OA于D，OB于E；方法三：(截等線段)如圖③，截取OD＝OE(點(diǎn)D，E分別在OA，OB上)，連接PD，PE.典題訓(xùn)練1．如圖，△ABC的面積為10，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BP平分∠ABC，AP⊥BP，則△PBC的面積為________．2．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠C＝60°，BD平分∠ABC.求證：AD＝CD.3．如圖，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D.求證：BC＝AD＋AC.特訓(xùn)9十字架模型模型解讀圖示結(jié)論正方形ABCD中，若AM⊥BN，則△ADM≌△BAN，∴AM＝BN，即eq\f(BN,AM)＝1.將AM，BN如上圖所示進(jìn)行平移，易得HK＝BN＝AM＝EF，∴eq\f(HK,EF)＝1.正方形ABCD中，若EF＝HK，則過點(diǎn)E，K分別作EN⊥CD于N，KM⊥BC于M，易證△ENF≌△KMH，從而得到EF⊥HK.典題訓(xùn)練(1)感知：如圖①，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC上的點(diǎn)，連接DE，AF，若BE＝CF，求證：DE＝AF.(2)應(yīng)用：在(1)的條件下，求證：AF⊥DE.(3)探究：如圖②，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD上的點(diǎn)(點(diǎn)E，F(xiàn)不與正方形的頂點(diǎn)重合)，連接EF，作EF的垂線分別交邊AD，BC于點(diǎn)G，H，垂足為O，若E為AB的中點(diǎn)，DF＝1，AB＝4，則GH的長為________．特訓(xùn)10對角互補(bǔ)模型模型解讀類型90°的對角互補(bǔ)模型60°、120°的對角互補(bǔ)模型圖示條件∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC.∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，BD平分∠ABC.作法過點(diǎn)D分別作DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)F.結(jié)論1.AD＝CD；2．AB＋BC＝eq\r(2)BD；3．S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)BD2.1.AD＝CD；2．AB＋BC＝BD；3．S四邊形ABCD＝eq\f(\r(3),4)BD2.典題訓(xùn)練1．如圖，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，E為AB上一動點(diǎn)．連接OE，作OF⊥OE交BC于點(diǎn)F，已知AB＝2，則四邊形EBFO的面積為________．2．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＋∠BCD＝180°，DB平分∠ADC.若∠ADB＝60°，求證：△ABC是等邊三角形．特訓(xùn)11設(shè)參導(dǎo)等角方法技巧含有等腰三角形的圖形中，要