浙江省臺州市2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)人教版九年級上冊期中試卷（二）（含答案解析）

數(shù)學(xué)人教版9年級上冊期中測試

（時間：120分鐘總分：120分）

一、單選題。（每題3分，共36分）

1.如圖，在正方形ABCD中，E為中點，連接BE,延長E4至點尸，使得〃=￡B,以AF

為邊作正方形AFG8,在《幾何原本》中按此方法找到線段A3的黃金分割點H.現(xiàn)連接

TH并延長，分別交的，3c于點尸，Q,若：△跳P的面積與V3PQ的面積之差為

6節(jié)-9,則線段AE的長為（）

2.若關(guān)于x的方程（〃7-1）/+彳+1=0有實數(shù)根，則機(jī)的取值范圍是（）

A.m<—B.m>—C.m<—D.—

4444

3.關(guān)于x的方程x?+依=2（左為常數(shù)）的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（）

A.兩個正根B.兩個負(fù)根

C.一個正根，一個負(fù)根D.無實數(shù)根

4.已知加，“是函數(shù)%=%與%=x-2x+c圖象兩個交點的橫坐標(biāo)，點A（r,T）在函數(shù)內(nèi)的圖象

上，則以下結(jié)論正確的是（）

A.若0</<相<”<2,則〃<TB.若貝！JT</

C.若0<<2,則D.若0<7〃<r<〃<2,貝！JT<〃

5.如圖，已知二次函數(shù)>=辦2+法+（?的圖象關(guān)于直線x=-l對稱，與x軸的一個交點在原點

和。，0）之間，下列結(jié)論錯誤的是（）

1

A.abc<0

C.4〃—21b+c>0D.a-b<m（am+b）（機(jī)為任意實數(shù)）

6.如圖，在RtA4CB中，ZACB=90°,C4=2,CB=4.將"CB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120。得到

△ADE,邊BC上的一點尸旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為Q,連接A。，PD,則AQ+OP的最小值是

（）

A.3乖）B.2幣D.4右

7.如圖，將菱形OACB繞其對角線的交點順時針旋轉(zhuǎn)90。后，再向右平移3個單位，則兩次

變換后點C對應(yīng)點。的坐標(biāo)為（）

A.（2,4）B.（2,5）C.（5,2）D.（6,2）

8.如圖，在正方形ABC。中，AB=2,M,N分別為邊AD,CD的中點，E為A3邊上一動

點，以點E為圓心，的長為半徑畫弧，交3C于點尸為防的中點，。為線段肱V

上任意一點，則也長度的最小值為（）

2

A.正B.C.2V2-2D.6-2

2，

9.如圖，B,C是半徑為6的半圓。上的兩個點，AD是直徑，BC//AD,若BC的長度為

g*則圖中陰影部分的面積為（）

10.如圖，。。的直徑與弦。E交于點C,DC=OC.若NDCO=100。，則的度數(shù)為

（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

11.通過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，如果這三種可能性大小相

同，則兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口時，至少有一輛車向左轉(zhuǎn)的概率是（）

A』B-C—D-

A.339U，9

12.有一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，六個面上的點數(shù)分別為1、2、3、4、5、6,現(xiàn)將這枚

骰子先后拋擲兩次，記下拋擲后朝上的面上的點數(shù)，第一次記下的點數(shù)為機(jī)，第二次記

下的點數(shù)為"，則關(guān)于&>的二元一次方程組只有非負(fù)解的概率為（）

[mx+ny=3

A.—B.-C.—D.—

1243636

二、填空題。（每題3分，共12分）

13.小明在一塊畫有RRABC的紙片上（其中ZABC=90。，BC<AB）進(jìn)行了如下操作：第一

步分別以A3、BC為邊向外畫正方形MFU和正方形BCDE；第二步過點A、B分別作

AC的垂線和AC的平行線，將紙片ABFG一分成②、③、④、⑤四塊，如圖1；第三步

將圖1中的正方形紙片BCDE、AABC紙片及紙片②、③、④、⑤剪下，重新拼接成圖

3

若需《則懸的值

2.

14.對于二次函數(shù)＞=/-4辦+/+1,當(dāng)x?2時，y隨x的增大而增大、已知此二次函數(shù)的圖

象上有一點,則m的取值范圍為.

15.如圖，在及AABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6.是/ABC的平分線，將3。以。為中

心，逆時針旋轉(zhuǎn)90。，點3的對應(yīng)點為E.則AE的長度為.

16.化學(xué)實驗課上，張老師帶來了Mg（鎂）、A1（鋁）、Zn（鋅）、Cu（銅）四種金屬，這

四種金屬分別用四個相同的不透明容器裝著，讓同學(xué)們隨機(jī)選擇一種金屬與鹽酸反應(yīng)來

制取氫氣.（根據(jù)金屬活動順序可知：Mg、Al、Zn可以置換出氫氣，而Cu不能置換

出氫氣）小明和小紅分別從四種金屬中隨機(jī)選一種金屬進(jìn)行實驗，則二人所選金屬均能

置換出氫氣的概率是.

三、解答題。（共72分）

17.（本題10分）如圖，在中，"=90。，點。在A3邊上，以AD為直徑的。。與

3C相切，切點為點E,連接DE,AE.

4

A

⑴求證：AE平分/BAC；

(2)若0。的直徑為5,AC=4,求BC的長.

18.(本題10分)(1)當(dāng)了=時，多項式V-6x+12的最小值為

(2)當(dāng)尤=時，多項式-d+2x-3的最大值為

(3)當(dāng)X、y為何值時，多項式2/一4孫+6y2-12y+19取最小值？并求出這個最小值.

19.(本題12分)如圖，平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=加+fcr-2與X軸交于3(4,0),

。(-2,0)兩點，與V軸交于點A.

備用圖

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點尸是直線下方拋物線上的一動點，橫坐標(biāo)為機(jī).過點尸作x軸的平行線交于

點K,寫出PK長度的表達(dá)式(用含山的代數(shù)式表示)；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點“，使得NMB4=45。？若存在，求出點M的坐

標(biāo)，若不存在，請說明理由.

20.(本題10分)在數(shù)學(xué)活動課上，李老師給同學(xué)們提供了一個矩形ABC。(如圖1),其

中AB=2,連接對角線AC,且4MC=30。，要求各小組以圖形的旋轉(zhuǎn)為主題開展數(shù)學(xué)活

動.以下是部分小組的探究過程，請你參與活動并解答所提出的問題：

5

(1)如圖2,“奮勇”小組將△/!￡>(?繞點。旋轉(zhuǎn)得到AAOC,當(dāng)點C落到對角線AC上時，

AC與AD交于點孔試猜想線段CC與AC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(2)“勤學(xué)”小組在“奮勇”小組的基礎(chǔ)上，取AC的中點E,連接AE,D0試判斷四邊形

"DC的形狀，并說明理由；

(3)在八位心繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)DC〃AC時，求點A與點A之間的距離，請你思

考此問題，直接寫出答案.

21.(本題10分)如圖，A3是0。的直徑，點C是。。上一點，連接AC,BC,尸C是。。

的切線，點。是OA上一點，過點。作于點。，交AC于點/，交CP于點E.

(1)如圖1,當(dāng)點。與點。重合時，已知ZA=20。，求/CEF的度數(shù)；

(2)如圖2,連接OC,AE,當(dāng)AE〃OC時，AE與。。交于點G,已知AG=6,AB=10,

求EG的長.

22.(本題10分)閱讀材料：

材料1：法國數(shù)學(xué)家弗朗索瓦?書達(dá)于1615年在著作《論方程的識別與訂正》中建立了

方程根與系數(shù)的關(guān)系，提出一元二次方程ox?+6x+c=0("0,b2-4ac>0)的兩根xi,X2有

b

如下的關(guān)系(韋達(dá)定理)：石+九，中%r；

2=a2=a-

材料2：如果實數(shù)用、〃滿足療一根_i=o、〃2_〃_]=0,且加則可利用根的定義構(gòu)

造一元二次方程f一九一1=0,然后將陰、〃看作是此方程的兩個不相等實數(shù)根去解決相關(guān)問

6

題.

請根據(jù)上述材料解決下面問題:

（1）若實數(shù)。，人滿足：a2+3a-5=0,廿+3b-5=0（a=b）貝I」。+6=,ab=；

⑵若加馬是方程f-6x+后+3=0兩個不等實數(shù)根，且滿足5㈤=%+6,求左的值；

（3）已知實數(shù)加、n、/'滿足：m2-4m=7+f,，-〃=*+。，且求

（川+1）（4機(jī)+8+。的取值范圍.

23.（本題10分）我國大力發(fā)展職業(yè)教育，促進(jìn)勞動力就業(yè).某職業(yè)教育培訓(xùn)中心開設(shè)：

A（旅游管理）、B（信息技術(shù)）、C（酒店管理）、D（汽車維修）四個專業(yè)，對某中學(xué)

有參加培訓(xùn)意向的學(xué)生進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，每個被調(diào)查的學(xué)生必須從這四個專業(yè)中選擇

一個且只能選擇一個，該培訓(xùn)中心將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖

根據(jù)圖中信息解答下列問題：

（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有人；扇統(tǒng)計圖中A（旅游管理）專業(yè)所對應(yīng)的圓心角的

度數(shù)為:

（2）請補全條形統(tǒng)計圖，若該中學(xué)有300名學(xué)生有培訓(xùn)意向，請估計該中學(xué)選擇“信息技

術(shù)”專業(yè)意向的學(xué)生有人；

（3）從選擇D（汽車維修）專業(yè)的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩人去某汽車維

修店觀摩學(xué)習(xí).請用列表法或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到甲、丙兩名同學(xué)的概率.

7

參考答案

1.C2.A3.C4.D5.C

6.B7.C8.B9.C10.B

11.D12.D

4

9

<m

15.回

17.(1)證明：連接OE,則=

：.ZOEA=ZOAE9

???5c是0。的切線,

：.OE±BC9

=90°,

/.ACIBC,

???OE//AC,

.\ZOEA=ZCAE

.\ZCAE=ZOAE,

平分/3AC；

(2)解：?.?AZ)是。。的直徑,

ZAED=90°=ZC,

由⑴^ZCAE=ZOAE9

??.△ADEAEC,

8

.AEAD

,AC-AE?

/.AE2=ACAD=4x5=20,

AE=2y/5,(負(fù)值舍去)

CE=VAE2-AC2=2,DE=y/AD2-AE2=45,

OE//AC9

.△BEOSABCA,

.BEOE2.5

,BC-AC-V

:.BE=-BC,

8

3

:.CE=-BC=2,

8

BC=—.

3

18.(1)%2-6X+12=X2-6X+9+3=(X-3)2+3

V(x-3)2>0

.?.當(dāng)x=3時,多項式V-6x+12取最小值，且最小值為3;

故答案為：3,3

(2)-X2+2X-3=-(X2-2x+1)-2=-(x-1)2-2

v(x-l)2>0

，當(dāng)x=l時，多項式-f+2尤-3取最大值，且最大值為-2；

故答案為：1,-2；

(3)2x2-4xy+6y2-12y+19

=2,一2孫+V)+(4/-i2y+9)+10

=2(x-y)2+(2y-3y+10

v(x-y)2>0,(2y-3)2>0

.?.當(dāng)且2y-3=0,即％=y=5時，多項式2%2_4孫+6/一12y+19取最小值，并且最

9

小值為10.

33

x=2，y=5，最小值是10.

1

a=一,

16。+46-2=04

19.(1)解:由題意得,，解得:

4a-26—2=0

所以拋物線的表達(dá)式為y=32-夫-2；

(2)解：如圖：過點尸作尸軸于點。，交于點E.

VA(0,-2),3(4,0),

/.tanZABO=tanNBKP=-

2

PK=2PE.

設(shè)直線AB的解析式為>=依-2,將(4,0)代入，得"=

所以直線A3的解析式為y=2.

I2J

所以=g根一2-L/一L”2

424

所以PK=2PE=-1m2+2m.

(3)解：設(shè)對稱軸交于點/，對稱軸為尤=1,直線A3的解析式為y=g》-2,

，點小二.

:.BF=-45,

2

①當(dāng)點M在AB上方時，過點M作MN1.AB于點N,

tan/.OBA=—=tanAFMN,ZMBA-45°,

2

10

設(shè)=MN=BN=2x,則〃尸=氐，

:.BF=FN+BN=x+2x=-y[5,解得：=—.

2x2

：.MF=6=3,

2

故點“（I」）；

②當(dāng)點M在A3下方時，

tanNOBA=—=tanZFMN,Z.MBA=45°,

2

設(shè)FN=x,MN=BN=2x,則〃尸=氐，

3L3L

:.BF=BN-FN=x=-yJ5,解得：x=-V5.

.-.MF=yf5x=—,

2

故點M（l,-9）；

綜上，存在點朋■，點M的坐標(biāo)為（U）或。，-9）.

20.(1)CC'=AC,

證明：?.?四邊形ABC。是矩形,

11

ZADC=90°,

又：ZDAC=30°,

/.DC=-AC,ZACD=90°-30°=60°,

2

由旋轉(zhuǎn)可得，DC=DC,

AT?CC是等邊三角形，

/.CC'=DC=-AC,

2

/.CC'=AC；

(2)四邊形AEDC是菱形.

理由：由(1)得△DCC是等邊三角形，

ZCDC=6Q°,

由旋轉(zhuǎn)得ZA'=/D4C=30。，ZA7M=/CDC'=60。，ZA'DC'=ZADC=90。，AC=AC',

：.ZA'FD=180°-ZA'-ZADA=90°,

/.AC1AD,

又：AC'=CC'=DC',

：.AF=DF,

?.?ZA7)C=90。，點E是線段AC的中點，

/.DE=-A!C,

2

XVDC=^AC,AC=AC,DC=DC,

DE=DC',

又?:AC'IAD,

：.FE=FC',

：.AD與EC互相平分，

四邊形AEDC是平行四邊形，

又；AC1AD,

???平行四邊形皿》C'是菱形；

(3)如圖所示，當(dāng)點C在AD上方時，連接A4，，

12

A

'：DC//AC,

：.ZC'DA=ZDAC=30°,

由旋轉(zhuǎn)可得，AD=AD,ZADC^ZADC'^90°,NC'AO=/DAC=30。,

JNAZM=ZADC+ZA'DC=120°,

/.ZDAA'=ZDAA=1(180°-ZADAf)=30°,

,?/C'AD=/ZMC=30°,

/.ZDAA=ZDAC'=30°,

.?.點A,C,H三點共線，

NC'AD=NC'ZM=30。，

C'A=C'O=2,AC'=AC=4,

AA'=AC'+A'C=2+4=6；

如圖所示，當(dāng)點C，在線段AZ)下方時，

由旋轉(zhuǎn)可得，ZADC=ZA'DC'=90°,AD=AD,

'：DC//AC,

：.ZAED=ZA'DC'=90°,

,/ZDAC=30°,

ZADE=90°—30°=60°,

△的以是等邊三角形，

.*?AAAD=VAC2-DC2=V42-22=2A/3.

13

綜上所述，當(dāng)DC〃AC時，點A與點H之間的距離為6或2右.

21.(1)如圖1,連接0C,

???PC是。。的切線，

/.CO.LPC,即ZOCE=90°,

OA=OC,

：.ZOCA=ZA=20°,

：.ZECF=90°-ZOCA=90°-20°=70°,

DE±AB,

???ZADF=90°,

...ZCFE=ZAFD=900-ZA=70°,

：.ZCEF=180°-ZECF-ZCFE=180°-70°-70°=40°.

(2)如圖2,過點。作O",AG于點H,

GH=—AG=—x6=3.

22

VOC±PC,AE//OC,

：.AE.LPC,

.?.ZEHO=ZHEC=ZECO=90。，

???四邊形。CEH是矩形,

14

/.EH=OC=-AB=5

29

EG=EH-GH=5-3=2.

22.(1)解：由題意，得a,b是方程％2+3x-5=0的兩個根，

...a+b=—3,ab——5?

故答案為：-3,-5；

(2)由題意，得：石+/=6,玉%2=%+3,

..九2=6一石，

5|xJ=x2+6=12—石,

當(dāng)再＜。時，-5%=12-芭，解得：玉=-3,

W=6-石=9,

.**左+3=—3x9=—27,

二?左二一30；

當(dāng)王20時，5芭=12-芭，解得：?=2,

x2=6—2=4,

.**左+3=2x4=8,

.*?k=5；

綜上：上=一30或后=5；

(3)=J(7+r),

44V