數(shù)理統(tǒng)計 - 隨機變量的數(shù)字特征

PAGE2第四章隨機變量的數(shù)字特征一、基本內(nèi)容與公式1.一維隨機變量的數(shù)字特征離散型隨機變量的概率分布為：數(shù)學期望：（絕對收斂）方差：均方差：連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為:數(shù)學期望：（絕對收斂）方差：均方差：2.一維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望離散型隨機變量的概率分布為：的數(shù)學期望：連續(xù)型隨機變量的概率密度為,則的數(shù)學期望：一維隨機變量數(shù)字特征的性質(zhì)；；（為常數(shù)）；；；4.幾種重要分布的數(shù)字特征0-1分布：兩項分布：泊松分布：均勻分布：指數(shù)分布：正態(tài)分布：二維隨機變量的數(shù)字特征離散型隨機變量的概率分布為，，,.連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度為，為邊緣分布，，，二維隨機變量函數(shù)的數(shù)字特征離散型隨機變量的概率分布為，的數(shù)學期望為：連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度為，的數(shù)學期望為：7.二維隨機變量數(shù)學期望和方差的性質(zhì)若獨立,有若獨立,有8.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差：相關(guān)系數(shù)：與不相關(guān)；與負相關(guān)；與正相關(guān)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)若相互獨立,有；若相互獨立，有，不相關(guān)；反之若，不相關(guān)，但未必獨立。與有線性關(guān)系對服從二維正態(tài)分布的隨機變量，相互獨立不相關(guān)注：教學基本要求理解隨機變量的數(shù)學期望和方差的定義和意義。會計算離散型和連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望與方差、均方差。會計算簡單的隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望。熟練掌握兩點分布、兩項分布、泊松分布、均勻分布和正態(tài)分布的數(shù)學期望與方差。會計算二維隨機變量的數(shù)學期望與方差。會計算二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望與方差理解協(xié)方差的定義，掌握協(xié)方差的性質(zhì)，會計算協(xié)方差。理解相關(guān)系數(shù)的定義，掌握相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，會計算相關(guān)系數(shù)。理解兩個隨機變量相互獨立與不相關(guān)之間的關(guān)系。三、典型例題分析例１設表示10次獨立重復射擊命中目標的次數(shù)，每次射擊目標的概率為，求的數(shù)學期望。解：因為。由題意：，于是，。例2設隨機變量相互獨立，且。隨機變量，求。解：由題意，得；；；于是，有；。例3按規(guī)定，某車站每天8:00~9:00和9:00~10:00之間都恰有一輛客車到站,但到站的時刻是隨機的,且兩者到站的時間相互獨立.其規(guī)律為8:00~9:00到站時間9:00~10:00到站時間8:109:108:309:308:509:50概率1/52/52/5一旅客8:20到車站,求他候車時間的數(shù)學期望.解：設旅客的候車時間為。該旅客乘9：10的車，意味著:00~9:00，這班車在8:10開走了。候車時間50分鐘，對應的概率為“第一班車8:10開走，第二班車9:10開，兩事件同時發(fā)生的概率”，即。他候車70分鐘、90分鐘對應的概率類似處理。于是候車的分布律為：1030507090因此其數(shù)學期望為（分）。例4某射手每次射中目標的概率為,現(xiàn)帶有5發(fā)子彈準備對一目標連續(xù)射擊（每次打一發(fā)），一旦射中或子彈打完了就立刻轉(zhuǎn)移到別的地方。問他在轉(zhuǎn)移前平均射擊幾次？解：設表示在轉(zhuǎn)移前射擊的次數(shù)，則的概率分布為：12345于是，所求平均射擊次數(shù)為：例5某人有9把鑰匙，其中只有一把能打開一門。今任取一把試開，不能打開者除去，求打開此門所需要試開次數(shù)（記為隨機變量）的數(shù)學期望和方差。解：的可能取值為：1，2，…，9于是；；；；…………；于是，的概率分布為：；其數(shù)學期望為：；；。例6設隨機變量的概率密度為，求。解：是偶函數(shù)）例7已知隨機變量X的分布函數(shù),求解：由隨機變量的分布函數(shù)，得其概率密度為：；于是，；；。例8設隨機變量X的概率密度為：，且已知，求常數(shù)。解：由；由，即；由，即；解上述方程組，得。例9設隨機變量X的分布律為：，求。解：由X的分布律得：于是，；。。例10假設公共汽車起點站于每時的10分、30分、50分發(fā)車，某乘客不知發(fā)車的時間，在每小時內(nèi)任一時刻到達車站是隨機的，求乘客到車站等車時間的數(shù)學期望。解：由于乘客在每小時內(nèi)任一時刻到達車站是隨機的，因此可以認為乘客到達車站的時刻為中的均勻分布，于是其分布密度為：；顯然，乘客等候時間是其到達車站時刻的函數(shù)，可用如下公式表示：于是，。例11對圓的直徑作近似測量，設其值均勻地分布在區(qū)間內(nèi)，求圓面積的數(shù)學期望。解：設圓的直徑為隨機變量，面積為隨機變量的函數(shù)；由于服從均勻分布，所以的分布密度為：于是，。例12過半徑為R的圓周上一點任意作這圓的弦。求這些弦的平均長度。解：設弦與直徑的夾角為隨機變量，則弦長為的函數(shù)，。因為服從上的均勻分布，所以的分布密度為：于是，。例13設二維隨機變量的聯(lián)合分布律為：0101求：的數(shù)學期望。解：由二維隨機變量的聯(lián)合分布律得：(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)0001所以，.例14設二維隨機變量的聯(lián)合分布律為：01001問與是否獨立？是否相關(guān)？解：由二維隨機變量的聯(lián)合分布律可得與的邊緣分布律：； 由于，所以與不獨立。于是。由的聯(lián)合分布,可得:,所以，；于是相關(guān)系數(shù)，所以與不相關(guān)。例15將一枚硬幣重復擲n次，以，分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則，的相關(guān)系數(shù)等于（）-1；B）0；C）；D）1解：由題意知，，于是與線性相關(guān)，而且，因此，應選A。例16設隨機變量的聯(lián)合概率密度為：求：解：由二維隨機變量的聯(lián)合分布律，得關(guān)于的邊緣分布律：；于是，；；；;.例17設隨機變量的聯(lián)合概率密度為：判別與是否獨立？是否相關(guān)？（2）求。解：（1）由聯(lián)合分布，得關(guān)于與的邊緣分布：因為；所以，與不獨立。，，，于是，，所以，與不相關(guān)。，，，，；。例18設隨機變量與獨立，且，試求的概率密度。解：因為服從正態(tài)分布的隨機變量的線性組合仍服從正態(tài)分布，所以只需確定的數(shù)學期望與方差即可求出的概率密度。而，，與獨立，所以，的概率密度。例19設，問與是否相關(guān)？解：因為；由于，于是，，所以，故與不相關(guān)。例20設隨機變量相互獨立，且它們的密度函數(shù)分別