人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第三冊課時作業(yè)6：§7 5 正態(tài)分布練習

人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1§7.5正態(tài)分布課時對點練1．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，則P(0≤X≤1)等于()A．0.85B．0.70C．0.35D．0.15〖答案〗C〖解析〗P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X>2)＝0.35.2．某廠生產的零件外徑X～N(10,0.04)，今從該廠上午、下午生產的零件中各取一件，測得其外徑分別為9.9cm,9.3cm，則可認為()A．上午生產情況正常，下午生產情況異常B．上午生產情況異常，下午生產情況正常C．上午、下午生產情況均正常D．上午、下午生產情況均異?！即鸢浮紸〖解析〗因測量值X為隨機變量，又X～N(10,0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，記I＝〖μ－3σ，μ＋3σ〗＝〖9.4,10.6〗，則9.9∈I,9.3?I.故選A.3．設隨機變量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，則實數a的值為()A．3B．4C．5D．6〖答案〗B〖解析〗因為隨機變量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，所以由正態(tài)分布密度曲線的對稱性(對稱軸是x＝1)可知，a－2＝2×1，解得a＝4.4．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(100,4)，若P(m≤X≤104)＝0.1359，則m等于()〖附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.9545〗A．100 B．101C．102 D．103〖答案〗C〖解析〗∵隨機變量X服從正態(tài)分布N(100,4)，∴P(98≤X≤102)＝0.6827，P(96≤X≤104)＝0.9545，∴P(102≤X≤104)＝eq\f(1,2)(0.9545－0.6827)＝0.1359，又P(m≤X≤104)＝0.1359，∴m＝102.5．某工廠生產了10000根鋼管，其鋼管內徑(單位：mm)近似服從正態(tài)分布N(20，σ2)(σ>0)，工作人員通過抽樣的方式統計出，鋼管內徑高于20.05mm的占鋼管總數的eq\f(1,50)，則這批鋼管中，內徑在19.95mm到20mm之間的鋼管數約為()A．4200根 B．4500根C．4800根 D．5200根〖答案〗C〖解析〗∵P(X<19.95)＝P(X>20.05)＝eq\f(1,50)，∴P(19.95≤X≤20.05)＝1－eq\f(2,50)＝eq\f(24,25)，∴P(19.95≤X≤20)＝eq\f(24,50)＝eq\f(12,25)，故這批鋼管內徑在19.95mm到20mm之間的鋼管數約為10000×eq\f(12,25)＝4800(根)．6.如圖所示是當σ取三個不同值σ1，σ2，σ3的三種正態(tài)曲線N(0，σ2)的圖象，那么σ1，σ2，σ3的大小關系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3〖答案〗D〖解析〗當μ＝0，σ＝1時，正態(tài)曲線f(x)＝在x＝0處取最大值eq\f(1,\r(2π))，故σ2＝1.由正態(tài)曲線的性質，得當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，反之越“矮胖”．故選D.7．已知隨機變量X～N(2，σ2)，如圖所示，若P(X<a)＝0.32，則P(a≤X≤4－a)＝________.〖答案〗0.36〖解析〗∵隨機變量X～N(2，σ2)，∴μ＝2，由正態(tài)分布圖象的對稱性，可得曲線關于直線x＝2對稱，∴P(X>4－a)＝P(X<a)＝0.32，∴P(a≤X≤4－a)＝1－P(X<a)－P(X>4－a)＝1－2P(X<a)＝0.36.8．已知X～N(4，σ2)，且P(2<X<6)≈0.6827，則σ＝________，P(|X－2|<4)＝________.〖答案〗20.84〖解析〗∵X～N(4，σ2)，∴μ＝4.∵P(2<X<6)≈0.6827，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μ＋σ＝6，,μ－σ＝2，))∴σ＝2.∴P(|X－2|<4)＝P(－2<X<6)＝P(－2<X<2)＋P(2<X<6)＝eq\f(1,2)〖P(－2<X<10)－P(2<X<6)〗＋P(2<X<6)＝eq\f(1,2)P(－2<X<10)＋eq\f(1,2)P(2<X<6)＝0.84.9．設X～N(3,42)，試求：(1)P(－1≤X≤7)；(2)P(7≤X≤11)；(3)P(X＞11)．解∵X～N(3,42)，∴μ＝3，σ＝4.(1)P(－1≤X≤7)＝P(3－4≤X≤3＋4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)∵P(7≤X≤11)＝P(－5≤X≤－1)，∴P(7≤X≤11)＝eq\f(1,2)〖P(－5≤X≤11)－P(－1≤X≤7)〗＝eq\f(1,2)〖P(3－8≤X≤3＋8)－P(3－4≤X≤3＋4)〗＝eq\f(1,2)〖P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)〗≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.(3)∵P(X＞11)＝P(X＜－5)，∴P(X＞11)＝eq\f(1,2)〖1－P(－5≤X≤11)〗＝eq\f(1,2)〖1－P(3－8≤X≤3＋8)〗＝eq\f(1,2)〖1－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)〗≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)＝0.02275.10．某人騎自行車上班，第一條路線較短但擁擠，到達時間X(分鐘)服從正態(tài)分布N(5,1)；第二條路線較長不擁擠，X服從N(6,0.16)．若有一天他出發(fā)時離點名時間還有7分鐘，問他應選哪一條路線？若離點名時間還有6.5分鐘，問他應選哪一條路線？解還有7分鐘時：若選第一條路線，即X～N(5,1)，能及時到達的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5<X≤7)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)．若選第二條路線，即X～N(6,0.16)，能及時到達的概率P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6<X≤7)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(μ－2.5σ<X≤μ＋2.5σ)．因為P1<P2，所以應選第二條路線．同理，還有6.5分鐘時，應選第一條路線．11．在某市2021年3月份的高三線上質量檢測考試中，學生的數學成績服從正態(tài)分布N(98,100)．已知參加本次考試的全市學生有9455人，如果某學生在這次考試中的數學成績是108分，那么他的數學成績大約排在全市第()A．1500名 B．1700名C．4500名 D．8000名〖答案〗A〖解析〗因為學生的數學成績X服從正態(tài)分布N(98,100)，所以P(X>108)＝eq\f(1,2)〖1－P(88≤X≤108)〗＝eq\f(1,2)〖1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)〗≈eq\f(1,2)×(1－0.6827)＝0.15865.所以0.15865×9455≈1500.12．(多選)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(100,102)，則下列選項中正確的是()(參考數值：隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，即P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)A．E(X)＝100B．D(X)＝100C．P(X≥90)≈0.84135D．P(X≤120)≈0.99875〖答案〗ABC〖解析〗隨機變量X服從正態(tài)分布N(100,102)，∴E(X)＝μ＝100，D(X)＝σ2＝102＝100，故A，B正確；根據題意可得P(90≤X≤110)≈0.6827，P(80≤X≤120)≈0.9545，∴P(X≥90)≈0.5＋eq\f(1,2)×0.6827≈0.84135，故C正確；P(X≤120)≈0.5＋eq\f(1,2)×0.9545≈0.97725，故D錯誤．13．某工廠生產一種螺栓，在正常情況下，螺栓的直徑X(單位：mm)服從正態(tài)分布X～N(100,1)．現加工10個螺栓的尺寸(單位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4,98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.根據行業(yè)標準，概率低于0.0027視為小概率事件，工人隨機將其中的8個交與質檢員檢驗，則質檢員認為設備需檢修的概率為()A.eq\f(44,45) B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(41,45)〖答案〗B〖解析〗10個螺栓的尺寸，只有103.2不在區(qū)間〖97,103〗內，∴工人隨機將其中的8個交與質檢員檢驗，質檢員認為設備需檢修的概率為eq\f(C\o\al(7,9),C\o\al(8,10))＝eq\f(4,5)，故選B.14．已知某正態(tài)分布的概率密度函數為f(x)＝eq\f(1,\r(2π))·，x∈(－∞，＋∞)，則函數f(x)的極值點為________，X落在區(qū)間(2,3〗內的概率為________．〖答案〗x＝10.1359〖解析〗由正態(tài)分布的概率密度函數知μ＝1，σ＝1，所以總體分布密度曲線關于直線x＝1對稱，且在x＝1處取得最大值．根據正態(tài)分布密度曲線的特點可知x＝1為f(x)的極大值點．由X～N(1,1)知P(2<X≤3)＝eq\f(1,2)〖P(－1<X≤3)－P(0<X≤2)〗＝eq\f(1,2)〖P(1－2×1<X≤1＋2×1)－P(1－1<X≤1＋1)〗≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.15．(多選)下列說法中正確的是()A．設隨機變量X服從二項分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則P(X＝3)＝eq\f(5,16)B．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)且P(X＜4)＝0.9，則P(0＜X＜2)＝0.4C．已知隨機變量X～N(0，σ2)，若P(|X|＜2)＝a，則P(X＞2)的值為eq\f(1＋a,2)D．E(2X＋3)＝2E(X)＋3；D(2X＋3)＝2D(X)＋3〖答案〗AB〖解析〗∵隨機變量X服從二項分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))3＝eq\f(5,16)，故A正確；∵隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，∴正態(tài)曲線的對稱軸是x＝2.∵P(X＜4)＝0.9，∴P(2＜X＜4)＝0.4，∴P(0＜X＜2)＝P(2＜X＜4)＝0.4，故B正確；已知隨機變量X～N(0，σ2)，若P(|X|＜2)＝a，則P(X＞2)＝eq\f(1,2)〖1－P(|X|＜2)〗＝eq\f(1－a,2)，故C錯誤；E(2X＋3)＝2E(X)＋3；D(2X＋3)＝4D(X)，故D錯誤．16．從某企業(yè)生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得到如下頻率分布直方圖：(1)求這500件產品質量指標值的樣本平均數x和樣本方差s2(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)由直方圖可以認為，這種產品的質量指標值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數x，σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布，求P(187.8≤Z≤212.2)；②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產品，記X表示這100件產品中質量指標值位于區(qū)間〖187.8,212.2〗的產品件數，利用①的結果，求E(X)．附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.解(1)抽取產品的質量指標值的樣本平均數x和樣本方差s2分別為x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.