第06講矩形（3大考點9種題型強化訓練）（原卷版）

第06講矩形1.經(jīng)歷探索矩形的概念與性質的過程，在直觀操作活動和簡單的說理過程中發(fā)展學生的合情推理能力，主觀探索習慣，逐步掌握說理的基本方法.2.知道解決矩形問題的基本思想是化為三角形問題來解決，滲透轉化思想.一．矩形的性質（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質①平行四邊形的性質矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（3）由矩形的性質，可以得到直角三角形的一個重要性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．二．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）（2）①證明一個四邊形是矩形，若題設條件與這個四邊形的對角線有關，通常證這個四邊形的對角線相等．②題設中出現(xiàn)多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形．三．矩形的判定與性質（1）關于矩形，應從平行四邊形的內角的變化上認識其特殊性：一個內角是直角的平行四邊形，進一步研究其特有的性質：是軸對稱圖形、內角都是直角、對角線相等．同時平行四邊形的性質矩形也都具有．在處理許多幾何問題中，若能靈活運用矩形的這些性質，則可以簡捷地解決與角、線段等有關的問題．（2）下面的結論對于證題也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③點O到三個頂點的距離都相等．題型一：利用矩形的性質求線段長一、填空題1．（2023下·江蘇南京·八年級校考階段練習）如圖，在矩形中，，，對角線的垂直平分線分別交、于點、，垂足為，則的長為．

2．（2023下·江蘇·八年級校考階段練習）如圖，在矩形中，F(xiàn)是邊上的一點，，E是邊的中點，平分，則的長是．

二、解答題3．（2022下·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，點E在上，平分．

(1)是否為等腰三角形？為什么？(2)若，，求長．4．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，點E在上，且平分．

(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)若，，求的長．題型二：利用矩形的性質求角度一、填空題1．（2023下·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，將矩形繞點A順時針旋轉得到矩形的位置，旋轉角為，若，則．

2．（2023下·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形的對角線交于點O，點E在線段上，且，若，則．

3．（2023下·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，把矩形繞點按逆時針方向旋轉得到矩形，使點落在對角線上，連接，若，則°．

二、解答題4．（2023下·江蘇蘇州·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在中，點E是邊的中點，連接并延長，交的延長線于點F．連接．(1)求證：；(2)當四邊形是矩形時，若，求的度數(shù)．題型三：利用矩形的性質證明一、解答題1．（2023下·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，E、F分別為邊和上的點，．

(1)求證：；(2)求證：四邊形是平行四邊形．2．（2023下·江蘇淮安·八年級校考期末）如圖，在矩形中，為上兩點，且．求證：．3．（2023下·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，E為的中點，連接，過點E作的垂線交于點F，交的延長線于點G，連接．

(1)求證：；(2)求的長．題型四：利用矩形的性質求面積一、單選題1．（2023下·江蘇南京·八年級?？茧A段練習）矩形中，為上任一點，連接，，為中線，為上一點，且，，交于點．若矩形的面積為12，則四邊形的面積為（

）

A．2.5 B．5 C． D．以上答案都不正確二、填空題2．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）小明同學在數(shù)學興趣活動課上用圖1的“七巧板”，設計拼成了圖2的飛船，則飛船模型面積與矩形框的面積之比為．三、解答題3．（2023下·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習）如圖，在平行四邊形中，連接，為線段的中點，延長與的延長線交于點，連接．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求四邊形的面積．4．（2023下·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在矩形中，點E在邊上，將此矩形沿折疊，點D落在點F處，連接，B、F、E三點恰好在一直線上．(1)求證：為等腰三角形；(2)若，，求矩形的面積．題型五：利用矩形的定義判定矩形1．（2022下·遼寧盤錦·八年級校考期中）如圖，在中，于點E，延長至點F，使得，連接、．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，，求的長．題型六：利用對角線特征判定矩形1．（2023下·江蘇鹽城·八年級校考階段練習）已知：如圖，平行四邊形，延長邊到點E，使，連接、和，設交于點O，

(1)求證：四邊形是平行四邊形(2)試證明當時，四邊形是矩形．題型七：利用三個角是直角判定矩形1．（2023上·廣東佛山·九年級校聯(lián)考期中）如圖，菱形中的對角線相交于點，，．求證：四邊形是矩形．

題型八：折疊問題一、解答題1．（2023下·江蘇常州·八年級?？计谥校┤鐖D①，在矩形中，已知，動點P從點D出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿線段向終點C運動，運動時間為t秒，連接，把沿著翻折得到．

(1)如圖②，射線恰好經(jīng)過點B．試求此時t的值．(2)當射線與邊交于點Q時，是否存在這樣的t的值，使得？若存在，請求出所有符合題意的t的值；若不存在，請說明理由．2．（2023下·江蘇南京·八年級?？茧A段練習）如圖，矩形中，點是的中點，連接，將沿折疊后得到，且點在四邊形內部，延長交于點，連接．

(1)求證：；(2)若點是的三等分點，，求的長．（保留根號，無需化簡）3．（2023下·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖1，在矩形中，，，是邊上一點，將沿著直線折疊，得到．

(1)請在圖2上僅用圓規(guī)，在邊上作出一點P，使P、E、C三點在一直線上（不寫作法，保留作圖痕跡），此時的長為_____；(2)請在圖3上用沒有刻度的直尺和圓規(guī)，在邊上作出一點P，使平分（不寫作法，保留作圖痕跡），此時的面積為_____．4．（2023下·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點O于坐標原點重合，頂點A、C在坐標軸上，，將矩形沿折疊，使點A與點C重合．(1)求點E的坐標；(2)點P從O出發(fā)，沿折線方向以每秒2個單位的速度運動，到達終點E時停止運動，設點P的運動時間為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式．(3)在（2）的條件下，當P在線段上，且時，在平面直角坐標系中是否存在點Q，使得以點P、E、G、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若不存在，請說明理由；若存在，請求出點Q的坐標．5．（2023下·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習）如圖，矩形中，，，是邊上一點，將沿直線翻折，得到．

(1)當平分時，求的長；(2)連接，當時，求的面積．題型九：矩形的性質與判定綜合一、解答題1．（2023下·江蘇·八年級專題練習）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于點E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠OAE＝15°，①求證：DA＝DO＝DE；②直接寫出∠DOE的度數(shù)．2．（2022下·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別是BC、AD上動點，且，連接AE、CF．(1)試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由；(2)連接AC，若，，E為BC中點，試求四邊形AECF的面積．3．（2023下·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖在矩形中，，，點P，Q分別是，的中點，點E是折線段上一點（含端點）．沿所在直線折疊矩形，已知點B的對應點為，若點恰好落在矩形的邊上，求出的長；

4．（2023下·江蘇蘇州·八年級校考階段練習）如圖，在四邊形中，，，．延長到E，使，連接，由直角三角形的性質可知．動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿向終點A運動，設點P運動的時間為t秒．

(1)當時，___________；(2)當___________時，點P運動到的角平分線上；(3)請用含t的代數(shù)式表示的面積S．5．（2022下·江蘇鹽城·八年級?？茧A段練習）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，對角線AC、BD交于點O，DE平分∠ADC交BC于點E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面積．一．選擇題（共8小題）1．（2023春?宜興市月考）如圖，要使平行四邊形成為矩形，需要添加的條件是A． B． C． D．2．（2023春?如東縣期中）如圖，在矩形中，點的坐標是，則的長是A．3 B． C． D．43．（2023春?江都區(qū)月考）如圖，是矩形的邊上一個動點，矩形的兩條邊、的長分別為3和4，那么點到矩形的兩條對角線和的距離之和是A． B． C． D．4．（2023春?惠山區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形，，點為軸上的一個動點，以為邊在右側作等邊，連接，則的最小值為A．1 B．1.5 C．2 D．2.45．（2023春?崇川區(qū)校級月考）如圖，要使平行四邊形成為矩形，需添加的條件是A． B． C． D．6．（2023春?鹽城期中）下列性質中，矩形不一定具有的是A． B． C． D．7．（2023秋?盱眙縣校級月考）如圖，在矩形中，，對角線與相交于點，，垂足為，若，則的長是A． B． C． D．8．（2023春?高郵市月考）如圖，在中，，，，為邊上一動點不與、重合），于，于，為中點，則的取值范圍是A． B． C． D．二．填空題（共10小題）9．（2023春?鹽城期中）矩形的對角線，相交于點，如圖，已知，，則為．10．（2023春?姑蘇區(qū)校級期中）如圖，矩形紙片中，，為上一點，平分，，則的長為．11．（2023春?新吳區(qū)期末）平行四邊形的對角線、相交于點，要使平行四邊形是矩形請?zhí)砑右粋€條件．12．（2023春?啟東市期中）如圖，在矩形中，，分別是邊，上的動點，是線段的中點，，，，為垂足，連接．若，，，則的最小值是．13．（2023春?秦淮區(qū)期末）如圖，在矩形中，點的坐標為，則的長是．14．（2023春?東臺市月考）如圖，在矩形中，、交于點，于點，若，則．15．（2023春?玄武區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點，動點以每秒1個單位長度的速度從點出發(fā)沿方向運動，點同時以每秒1個單位長度的速度從點出發(fā)沿方向運動，若，，則經(jīng)過秒后，四邊形是矩形．16．（2023春?鹽城期末）如圖，過四邊形的四個頂點分別作對角線、的平行線，如所圍成的四邊形是矩形，則原四邊形需滿足的條件是．（只需寫出一個符合要求的條件）17．（2023春?宿遷期末）如圖，矩形中，，，點為對角線上一動點，于點，于點，則線段長的最小值為．18．（2023春?海安市期中）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點、的坐標分別為，，，點是的中點，點在上運動，當是腰長為15的等腰三角形時，點的坐標為．三．解答題（共8小題）19．（2023春?江寧區(qū)月考）如圖，在中，平分，交于點，平分，交于點．（1）求證：；（2）若，求證：四邊形是矩形．20．（2023春?金壇區(qū)期中）如圖，在中，是邊上一點，是的中點，過作，交的延長線于點．（1）求證：；（2）連接，．如果是的中點，那么當與滿足什么條件時，四邊形是矩形？證明你的結論．21．（2023春?淮安區(qū)期中）如圖，四邊形是矩形，，，點、分別在、上，且，連接、．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，求的長度．22．（2023春?海州區(qū)期末）如圖，在平行四邊形中，點是邊的中點，連接并延長交的延長線于點，連接，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，且四邊形是矩形時，求的度數(shù)．23．（2023春?句容市期末）如圖，平行四邊形的對角線、交于點，為的中點．連接并延長至點，使得，連接，．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）當滿足什么條件時，四邊形為矩形，證明你的結論．24．（2023春?江都區(qū)期末）已知，如圖，在中，，是邊的中線，過點作的平行線，過點作的平行線，兩線交于點，連接交于點．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，