2025屆全國(guó)百校名師聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆全國(guó)百校名師聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，某鐵路客運(yùn)部門(mén)設(shè)計(jì)的從甲地到乙地旅客托運(yùn)行李的費(fèi)用c（元）與行李質(zhì)量w（kg）之間的流程圖．已知旅客小李和小張托運(yùn)行李的質(zhì)量分別為30kg，60kg，且他們托運(yùn)的行李各自計(jì)費(fèi)，則這兩人托運(yùn)行李的費(fèi)用之和為（）A.28元 B.33元C.38元 D.48元2．“直線(xiàn)的斜率不大于0”是“直線(xiàn)的傾斜角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．已知等比數(shù)列的公比q為整數(shù)，且，，則（）A.2 B.3C.-2 D.-34．已知，滿(mǎn)足，則的最小值為（）A.5 B.-3C.-5 D.-95．在空間四邊形中，，，，且，則（）A. B.C. D.6．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，則的形狀為（）A.正三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形7．若變量x，y滿(mǎn)足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)最大值為（）A.1 B.-5C.-2 D.-78．某高校甲、乙兩位同學(xué)大學(xué)四年選修課程的考試成績(jī)等級(jí)（選修課的成績(jī)等級(jí)分為1，2，3，4，5，共五個(gè)等級(jí)）的條形圖如圖所示，則甲成績(jī)等級(jí)的中位數(shù)與乙成績(jī)等級(jí)的眾數(shù)分別是（）A.3，5 B.3，3C.3.5，5 D.3.5，49．的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則（）A. B.C. D.10．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值是()A. B.C. D.11．若，則（）A.1 B.0C. D.12．設(shè),是雙曲線(xiàn)（）的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)作的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為．若，則的離心率為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，若，則______14．某次實(shí)驗(yàn)得到如下7組數(shù)據(jù)，通過(guò)判斷知道與具有線(xiàn)性相關(guān)性，其線(xiàn)性回歸方程為，則______.（參考公式：）12345676.06.26.36.46.46.76.815．如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，為的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)__________.16．不等式是的解集為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）北京、張家港2022年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會(huì)，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估.該商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷(xiāo)售8萬(wàn)件.（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷(xiāo)售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷(xiāo)售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？（2）為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷(xiāo)售量.公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷(xiāo)策略改革，并提高定價(jià)到x元.公司擬投入萬(wàn)作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問(wèn)：當(dāng)該商品改革后的銷(xiāo)售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).18．（12分）已知點(diǎn)，，雙曲線(xiàn)C上除頂點(diǎn)外任一點(diǎn)滿(mǎn)足直線(xiàn)RM與QM的斜率之積為4.（1）求C方程；（2）若直線(xiàn)l過(guò)C上的一點(diǎn)P，且與C的漸近線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別位于第一、第二象限，，求的最小值.19．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，.（1）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使不等式成立的最大整數(shù)m的值.20．（12分）在實(shí)驗(yàn)室中，研究某種動(dòng)物是否患有某種傳染疾病，需要對(duì)其血液進(jìn)行檢驗(yàn)．現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：一是逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；二是混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份究竟哪些為陽(yáng)性，就需要對(duì)它們?cè)俅稳又鸱輽z驗(yàn)，那么這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)共為次．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的．且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份血液樣本為陽(yáng)性，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢測(cè)出來(lái)的概率；（2）假設(shè)有4份血液樣本，現(xiàn)有以下兩種方案：方案一：4個(gè)樣本混合在一起檢驗(yàn)；方案二：4個(gè)樣本平均分為兩組，分別混合在一起檢驗(yàn)若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越優(yōu)現(xiàn)將該4份血液樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，試比較以上兩個(gè)方案中哪個(gè)更優(yōu)？21．（12分）已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，證明：22．（10分）如圖，四邊形是矩形，平面平面，為中點(diǎn)，，，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)程序框圖分別計(jì)算小李和小張托運(yùn)行李的費(fèi)用，再求和得出答案.【詳解】由程序框圖可知，當(dāng)時(shí)，元；當(dāng)時(shí)，元，所以這兩人托運(yùn)行李的費(fèi)用之和為元.故選：D2、B【解析】直線(xiàn)傾斜角的范圍是[0°,180°)，直線(xiàn)斜率為傾斜角(不為90°)的正切值，據(jù)此即可判斷求解.【詳解】直線(xiàn)的斜率不大于0，則直線(xiàn)l斜率可能等于零，此時(shí)直線(xiàn)傾斜角為0°，不為鈍角，故“直線(xiàn)的斜率不大于0”不是“直線(xiàn)的傾斜角為鈍角”充分條件；直線(xiàn)的傾斜角為鈍角時(shí)，直線(xiàn)的斜率為負(fù)，滿(mǎn)足直線(xiàn)的斜率不大于0，即“直線(xiàn)的傾斜角為鈍角”是“直線(xiàn)的斜率不大于0”的充分條件，“直線(xiàn)的斜率不大于0”是“直線(xiàn)的傾斜角為鈍角”的必要條件；綜上，“直線(xiàn)的斜率不大于0”是“直線(xiàn)的傾斜角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B.3、A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)有，結(jié)合已知求出基本量，再由即可得答案.【詳解】因?yàn)?，，且q為整數(shù)，所以，，即q=2.所以.故選：A4、D【解析】作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)，平移該直線(xiàn)可得最優(yōu)解【詳解】解：作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線(xiàn)，在中，，當(dāng)直線(xiàn)向下平移時(shí)，增大，因此把直線(xiàn)向上平移，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，故選：D5、A【解析】利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可求解.【詳解】..故選:A.6、C【解析】根據(jù)三角恒等變換結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)求得，即可判定三角形形狀.【詳解】解：由題，得，即，由正弦定理可得：，所以，所以三角形中，所以，又，所以，即三角形為直角三角形.故選：C.7、A【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進(jìn)行求最值即可【詳解】解：由得作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分平移直線(xiàn)，由圖象可知當(dāng)直線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最大值，由，解得，所以代入目標(biāo)函數(shù)，得，故選：A8、C【解析】將甲的所有選修課等級(jí)從低到高排列可得甲的中位數(shù)，由圖可知乙的選修課等級(jí)的眾數(shù).【詳解】由條形圖可得，甲同學(xué)共有10門(mén)選修課，將這10門(mén)選修課的成績(jī)等級(jí)從低到高排序后，第5，6門(mén)的成績(jī)等級(jí)分別為3，4，故中位數(shù)為，乙成績(jī)等級(jí)的眾數(shù)為5.故選：C.9、D【解析】利用正弦定理邊化角，角化邊計(jì)算即可.【詳解】由正弦定理邊化角得，，再由正弦定理角化邊得，即故選：D.10、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)即可求解.【詳解】為等比數(shù)列，，，，；為等差數(shù)列，，，，，∴.故選：B.11、C【解析】由結(jié)合二項(xiàng)式定理可得出，利用二項(xiàng)式系數(shù)和公式可求得的值.【詳解】，當(dāng)且時(shí)，，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)和的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟悉二項(xiàng)式系數(shù)和公式，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】分析：由雙曲線(xiàn)性質(zhì)得到，然后在和在中利用余弦定理可得詳解：由題可知在中，在中,故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)，考查了雙曲線(xiàn)的離心率和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】首先利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求，再利用賦值法求系數(shù)的和以及【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，即，故，令，得.又，所以故故答案為：14、9##【解析】求得樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，代入回歸直線(xiàn)，即可求得.詳解】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得：故，解得.故答案為：.15、【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】因?yàn)榈酌?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.16、【解析】由可得，結(jié)合分式不等式的解法即可求解.【詳解】由可得，整理可得：，則，解可得：.所以不等式是的解集為:.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）40；（2）a至少達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí),才可能使改革后的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和,此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.【解析】（1）設(shè)每件定價(jià)為x元,可得提高價(jià)格后的銷(xiāo)售量，根據(jù)銷(xiāo)售的總收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定價(jià)；（2）依題意，x>25時(shí)，不等式有解，等價(jià)于x>25時(shí),有解,利用基本不等式,可以求得a.【詳解】（1）設(shè)每件定價(jià)為t元,依題意得,整理得,解得：25≤t≤40.所以要使銷(xiāo)售的總收入不低于原收入,每件定價(jià)最多為40元.（2）依題意知：當(dāng)x>25時(shí),不等式有解，等價(jià)于x>25時(shí),有解.由于,當(dāng)且僅當(dāng),即x=30時(shí)等號(hào)成立,所以a≥10.2.當(dāng)該商品改革后的銷(xiāo)售量a至少達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí),才可能使改革后的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和,此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.18、（1）（2）1【解析】（1）由題意得，化簡(jiǎn)可得答案，（2）求出漸近線(xiàn)方程，設(shè)點(diǎn)，，，，，由可得，代入雙曲線(xiàn)方程化簡(jiǎn)可得，然后表示的坐標(biāo)，再進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可得答案【小問(wèn)1詳解】由題意得，即，整理得，因?yàn)殡p曲線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足上式，所以C的方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為，設(shè)點(diǎn)，，，，，由，得，整理得，①，把①代入，整理得②，因?yàn)?，，所?由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是1.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)給定的遞推公式變形，再構(gòu)造常數(shù)列求解作答.（2）利用（1）的結(jié)論求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和，由單調(diào)性求出最大整數(shù)m值作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，即，整理得：，于是得，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，數(shù)列是遞增數(shù)列，因此，，于是有，則，不等式成立，則，，于是得，所以使不等式成立的最大整數(shù)m的值是505.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的20、（1）（2）方案一更優(yōu)【解析】（1）分兩類(lèi)，由古典概型可得;（2）分別求出兩種方案的數(shù)學(xué)期望，然后比較可知.【小問(wèn)1詳解】恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢測(cè)出來(lái)分為兩種情況：第一種：前兩次檢測(cè)中出現(xiàn)一次陽(yáng)性一次陰性且第三次為陽(yáng)性第二種：前三次檢測(cè)均陰性，所以概率為【小問(wèn)2詳解】方案一：混在一起檢驗(yàn)，記檢驗(yàn)次數(shù)為X，則X的取值范圍是，，，方案二：每組的兩個(gè)樣本混合在一起檢驗(yàn)，若結(jié)果呈陰性，則檢驗(yàn)次數(shù)為1，其概率為，若結(jié)果呈陽(yáng)性，則檢驗(yàn)次數(shù)為3，其概率為設(shè)檢驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量Y，則Y的取值范圍是，，，，，所以，方案一更優(yōu)21、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4)；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）求的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合定義域及導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間；（2）法一：討論、時(shí)的零點(diǎn)情況，即可得，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究在(0,2a)恒成立，結(jié)合單調(diào)性證明不等式；法二：設(shè)，由零點(diǎn)可得，進(jìn)而應(yīng)用分析法將結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明，綜合換元法、導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論即可.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)，當(dāng)a=2時(shí)，，則令得，x>4；令得，0<x<4；所以,單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4).【小問(wèn)2詳解】法一：當(dāng)a≤0時(shí)，>0在(0,+∞)上恒成立，故函數(shù)不可能有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在(2a,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,2a)上單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，則，不妨設(shè)，設(shè)，（0<x<2a），則，所以，由a>0知：在(0,2a)恒成立，所以在(0,2a)上單調(diào)遞減，即>=0，所以，即，又，故，因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在(2a,+∞)上單調(diào)遞增，所以，即法二：不妨設(shè)，由題意得，，得，即，要證，只需證，即證：，即，令，，則，所以在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞減，故<=0，即恒成立因此，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，法一：應(yīng)用極值點(diǎn)偏移方法構(gòu)造，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在(0,2a)恒成立，法二：根據(jù)零點(diǎn)可得，再由分析法將問(wèn)題化為證明，構(gòu)造函數(shù)，綜合運(yùn)用換元法、導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論.22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，進(jìn)而可得，平面即可得證；(2)在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A