2025屆安徽皖南八校高三8月摸底考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽皖南八校2025屆高三8月摸底考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限．故選：B．2.已知集合．則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以，所以，所以圖中陰影部分表示的集合為.故選：D.3.有一組數(shù)據(jù)，按從小到大排列為：，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)等于他們的平均數(shù)，則為（）A.9 B.10 C.11 D.12〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樵摻M數(shù)據(jù)共6個(gè)，且，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為從小到大第3個(gè)數(shù)，即6，則，解得．故選：B．4.已知圓柱的底面直徑為2，它的兩個(gè)底面的圓周都在同一個(gè)體積為的球面上，該圓柱的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗球體積為，可得其半徑，圓柱的底面直徑為2，半徑為，在軸截面中，可知圓柱的高為，所以圓柱的側(cè)面積為.故選：A．5.已知，則值為（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，，即，所以，解得（?fù)根舍去）.故選：C．6.已知雙曲線，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)點(diǎn)，則，即，又兩條漸近線方程為，即，故有，所以．故選：B．7.已知函數(shù)的定義域?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，則的值為（）A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即①，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即②，聯(lián)立①②可得，所以．故選：D．8.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則可能的不同取值的個(gè)數(shù)為（）A.45 B.46 C.90 D.91〖答案〗B〖解析〗由題設(shè)可得，其中，故，且奇偶交錯(cuò)出現(xiàn)．若為奇數(shù)，由可得對(duì)可取遍中的每一個(gè)奇數(shù)；若為偶數(shù)，由可得對(duì)可取遍中的每一個(gè)偶數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，，考慮時(shí)，調(diào)整為3，則對(duì)應(yīng)的可增加，依次對(duì)諸（至少一個(gè)）調(diào)整為3后，即，從上述的調(diào)整過程可得，取遍了中的奇數(shù)或偶數(shù)（取奇數(shù)還是偶數(shù)取決于的奇偶性），當(dāng)時(shí)，取遍了中的奇數(shù)，合計(jì)46個(gè)，故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知隨機(jī)變量滿足：，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)A，因?yàn)椋?，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由上知，故B正確；對(duì)C，，故C正確；對(duì)D，，故D正確．故選：BCD．10.設(shè)函數(shù)，定義域?yàn)椋絷P(guān)于不等式的解集為或，下列說法正確的是（）A.的極大值為0B.點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心C.直線與函數(shù)的圖象相切D.若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則的取值范圍為〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，由，解得或，所以，則，當(dāng)時(shí)，f'x<0；當(dāng)或時(shí)，f'可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值為f1=0，故A對(duì)于B，因?yàn)?，故B正確；對(duì)于C，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得所以直線與函數(shù)的圖象相切于，故C正確；對(duì)于D，由A選項(xiàng)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，令，解得或3，函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，由圖可知，的取值范圍為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．11.已知曲線，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，則（）A.曲線的圖象由兩個(gè)圓構(gòu)成B.的最大值為C.的取值范圍為D.直線與曲線有且僅有3個(gè)交點(diǎn)〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A中，由，得，即，即，所以或，即或，所以曲線表示以為圓心，為半徑的兩個(gè)圓，所以A正確；對(duì)于B中，由表示點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，最大值為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，如圖所示，設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，則點(diǎn)到該直線的距離，解得，即圖中直線的斜率為1，可得直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，則直線與圓相切，設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，則點(diǎn)到該直線的距離，解得，又由表示是點(diǎn)到點(diǎn)的斜率，故的取值范圍為，所以C正確；對(duì)于D中，由C項(xiàng)可知直線與圓均相切，所以直線與曲線有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在題中的橫線上．12.已知向量，且，則向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是_______．〖答案〗〖解析〗由題意知，因?yàn)?，可得，解得，所以，所以在上的投影向量為?3.已知函數(shù)與的圖象上任意3個(gè)相鄰的交點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則______．〖答案〗〖解析〗如圖所示，設(shè)函數(shù)與的交點(diǎn)分別為，由得，所以，則，由對(duì)稱性和已知可得為等腰直角三角形，所以點(diǎn)到直線的距離為，即，解得．14.用個(gè)不同的元素組成個(gè)非空集合（，每個(gè)元素只能使用一次），不同的組成方案數(shù)記作，且當(dāng)時(shí)，．現(xiàn)有7名同學(xué)參加趣味答題活動(dòng)，參加一次答題，即可隨機(jī)獲得四種不同卡片中一張，獲得每種卡片的概率相同，若每人僅可參加一次，這7名同學(xué)獲得卡片后，可集齊全4種卡片的概率為________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題干可列出對(duì)應(yīng)取值表格如下：12341121131314176151152510613190657163301350即個(gè)人集齊全4種卡片等價(jià)于7個(gè)不同元素組成4個(gè)非空集合，再將4個(gè)非空集合對(duì)應(yīng)4種卡片，所以．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．（1）求；（2）若的面積為邊上的高為1，求的周長(zhǎng)．解：（1）由，得，①由，得，②由①②聯(lián)立，得，由，得，所以，又由B∈0,π，得（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，得．由，即，所以．由余弦定理，得，即，所以，可得，所以的周長(zhǎng)為．16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與直線分別交橢圓于和兩點(diǎn)，求四邊形的面積．解：（1）由題意知，解得，則橢圓的方程為．（2）易知四邊形為平行四邊形，設(shè)Ax1聯(lián)立直線與橢圓消去并整理得，由韋達(dá)定理得，因?yàn)榕c平行，所以這兩條直線的距離，則平行四邊形的面積．17.如圖，在四棱錐中，，平面平面．（1）證明：；（2）若，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．（1）證明：因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即．又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）解：取的中點(diǎn)，連接，由（1）知，因?yàn)?，易知，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以平面，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則令，則，故，故，設(shè)二面角的大小為，由圖形可知，為銳角，故二面角的余弦值為.18.已知函數(shù)．（1）若為函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1）由題，故，解得，此時(shí)，故定義域1,+∞，，所以當(dāng)時(shí)f'x<0，x∈2,+所以為函數(shù)的極值點(diǎn)，故.（2）設(shè)，定義域，，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞減，又，在上連續(xù)，所以存在使，當(dāng)時(shí)，gx>0，即h'x當(dāng)時(shí)，gx<0，即h'x所以函數(shù)hx，因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，即恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且gx0=0所以只需恒成立，即，解得.故的取值范圍是.19.已知數(shù)列，對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列為“凹數(shù)列”．（1）判斷數(shù)列是否為“凹數(shù)列”，請(qǐng)說明理由；（2）已知等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為，且為“凹數(shù)列”，求的取值范圍；（3）證明：數(shù)列為“凹數(shù)列”的充要條件是“對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，有”．（1）解：因?yàn)椋瑒t，又，故，即，數(shù)列是“凹數(shù)列”．（2）解：因?yàn)榈炔顢?shù)列bn的公差為，所以，因?yàn)閿?shù)列是凹數(shù)列，所以對(duì)任意恒成立，即所以，即，因?yàn)椋獾茫缘娜≈捣秶鸀椋?）證明：先證明必要性：因?yàn)闉椤鞍紨?shù)列”所以對(duì)任意的，都有，即，所以對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，有，所以，又，所以．必要性成立，再證明充分性：對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，有，取，則有，即，所以為“凹數(shù)列”.安徽皖南八校2025屆高三8月摸底考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限．故選：B．2.已知集合．則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以，所以，所以圖中陰影部分表示的集合為.故選：D.3.有一組數(shù)據(jù)，按從小到大排列為：，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)等于他們的平均數(shù)，則為（）A.9 B.10 C.11 D.12〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樵摻M數(shù)據(jù)共6個(gè)，且，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為從小到大第3個(gè)數(shù)，即6，則，解得．故選：B．4.已知圓柱的底面直徑為2，它的兩個(gè)底面的圓周都在同一個(gè)體積為的球面上，該圓柱的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗球體積為，可得其半徑，圓柱的底面直徑為2，半徑為，在軸截面中，可知圓柱的高為，所以圓柱的側(cè)面積為.故選：A．5.已知，則值為（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，，即，所以，解得（?fù)根舍去）.故選：C．6.已知雙曲線，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)點(diǎn)，則，即，又兩條漸近線方程為，即，故有，所以．故選：B．7.已知函數(shù)的定義域?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，則的值為（）A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即①，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即②，聯(lián)立①②可得，所以．故選：D．8.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則可能的不同取值的個(gè)數(shù)為（）A.45 B.46 C.90 D.91〖答案〗B〖解析〗由題設(shè)可得，其中，故，且奇偶交錯(cuò)出現(xiàn)．若為奇數(shù)，由可得對(duì)可取遍中的每一個(gè)奇數(shù)；若為偶數(shù)，由可得對(duì)可取遍中的每一個(gè)偶數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，，考慮時(shí)，調(diào)整為3，則對(duì)應(yīng)的可增加，依次對(duì)諸（至少一個(gè)）調(diào)整為3后，即，從上述的調(diào)整過程可得，取遍了中的奇數(shù)或偶數(shù)（取奇數(shù)還是偶數(shù)取決于的奇偶性），當(dāng)時(shí)，取遍了中的奇數(shù)，合計(jì)46個(gè)，故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知隨機(jī)變量滿足：，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)A，因?yàn)?，所以，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由上知，故B正確；對(duì)C，，故C正確；對(duì)D，，故D正確．故選：BCD．10.設(shè)函數(shù)，定義域?yàn)?，若關(guān)于不等式的解集為或，下列說法正確的是（）A.的極大值為0B.點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心C.直線與函數(shù)的圖象相切D.若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則的取值范圍為〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，由，解得或，所以，則，當(dāng)時(shí)，f'x<0；當(dāng)或時(shí)，f'可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值為f1=0，故A對(duì)于B，因?yàn)?，故B正確；對(duì)于C，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得所以直線與函數(shù)的圖象相切于，故C正確；對(duì)于D，由A選項(xiàng)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，令，解得或3，函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，由圖可知，的取值范圍為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．11.已知曲線，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，則（）A.曲線的圖象由兩個(gè)圓構(gòu)成B.的最大值為C.的取值范圍為D.直線與曲線有且僅有3個(gè)交點(diǎn)〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A中，由，得，即，即，所以或，即或，所以曲線表示以為圓心，為半徑的兩個(gè)圓，所以A正確；對(duì)于B中，由表示點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，最大值為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，如圖所示，設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，則點(diǎn)到該直線的距離，解得，即圖中直線的斜率為1，可得直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，則直線與圓相切，設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，則點(diǎn)到該直線的距離，解得，又由表示是點(diǎn)到點(diǎn)的斜率，故的取值范圍為，所以C正確；對(duì)于D中，由C項(xiàng)可知直線與圓均相切，所以直線與曲線有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在題中的橫線上．12.已知向量，且，則向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是_______．〖答案〗〖解析〗由題意知，因?yàn)?，可得，解得，所以，所以在上的投影向量為?3.已知函數(shù)與的圖象上任意3個(gè)相鄰的交點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則______．〖答案〗〖解析〗如圖所示，設(shè)函數(shù)與的交點(diǎn)分別為，由得，所以，則，由對(duì)稱性和已知可得為等腰直角三角形，所以點(diǎn)到直線的距離為，即，解得．14.用個(gè)不同的元素組成個(gè)非空集合（，每個(gè)元素只能使用一次），不同的組成方案數(shù)記作，且當(dāng)時(shí)，．現(xiàn)有7名同學(xué)參加趣味答題活動(dòng)，參加一次答題，即可隨機(jī)獲得四種不同卡片中一張，獲得每種卡片的概率相同，若每人僅可參加一次，這7名同學(xué)獲得卡片后，可集齊全4種卡片的概率為________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題干可列出對(duì)應(yīng)取值表格如下：12341121131314176151152510613190657163301350即個(gè)人集齊全4種卡片等價(jià)于7個(gè)不同元素組成4個(gè)非空集合，再將4個(gè)非空集合對(duì)應(yīng)4種卡片，所以．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．（1）求；（2）若的面積為邊上的高為1，求的周長(zhǎng)．解：（1）由，得，①由，得，②由①②聯(lián)立，得，由，得，所以，又由B∈0,π，得（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，得．由，即，所以．由余弦定理，得，即，所以，可得，所以的周長(zhǎng)為．16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與直線分別交橢圓于和兩點(diǎn)，求四邊形的面積．解：（1）由題意知，解得，則橢圓的方程為．（2）易知四邊形為平行四邊形，設(shè)Ax1聯(lián)立直線與橢圓消去并整理得，由韋達(dá)定理得，因?yàn)榕c平行，所以這兩條直線的距離，則平行四邊形的面積．17.如圖，在四棱錐中，，平面平面．（1）證明：；（2）若，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．（1）證明：因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即．又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，?/p>