第七章第六節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用

第六節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用【核心考點·分類突破】考點一等差、等比數(shù)列的綜合問題(規(guī)范答題)[例1](12分)(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,且d>1,令bn=n2+nan,記Sn,Tn分別為數(shù)列{an},{bn(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通項公式;(2)若{bn}為等差數(shù)列,且S99T99=99,求d.審題導(dǎo)思破題點·柳暗花明(1)思路:根據(jù)等差數(shù)列的定義,靈活運用給定的條件,即可得到所求等差數(shù)列的通項公式;同時幫助學生理解題設(shè)條件,以順利進入第(2)問的情境.(2)思路:所給題設(shè)條件“{bn}為等差數(shù)列”要求學生能夠靈活轉(zhuǎn)化為求解數(shù)列{an}中公差與首項的關(guān)系,可以采用通性通法來解答.規(guī)范答題微敲點·水到渠成【解析】(1)因為3a2=3a1+a3,所以3d=a1+2d,解得a1=d, [1分]關(guān)鍵點根據(jù)已知條件,列方程求出首項a1和公差d的關(guān)系.所以S3=3a2=3(a1+d)=6d,又T3=b1+b2+b3=2d+3d+4d所以S3+T3=6d+9d即2d27d+3=0,解得d=3或d=12(舍去), [3分所以an=a1+(n1)d=3n,所以an的通項公式為an=3n. [4分閱卷現(xiàn)場(1)沒有過程,只有an=3n得1分;(2)結(jié)果正確時漏寫a1=d不扣分;(3)d=12漏舍只得1分(2)因為bn=n2+nan所以2b2=b1+b3,即12a2=2a1+12所以6a1+d所以a123a1d+2d解得a1=d或a1=2d. [8分]傳技巧取bn的前3項,利用等差中項2b2=b1+b3,得到首項a1和公差d之間的關(guān)系解法一:①當a1=d時,an=nd,所以bn=n2+nanS99=99a1+a99T99=99b1+b99因為S99T99=99,所以99×50d99×51d關(guān)鍵點利用S99T99=99,列出關(guān)于d的方程,結(jié)果注意d>1.即50d2d51=0,解得d=5150或d=1(舍去). [10分②當a1=2d時,an=(n+1)d,所以bn=n2+nan避易錯討論另一種情況,不可遺漏.S99=99a1+a99T99=99b1+b99因為S99T99=99,所以99×51d99×50d即51d2d50=0,解得d=5051(舍去)或d=1(舍去).[11分綜上,d=5150. [12分解法二:因為S99T99=99,由等差數(shù)列的性質(zhì)知,且99a5099b50=99,即a50b50=1,傳技巧利用等差數(shù)列的性質(zhì),可以簡化運算過程.列方程求出a50,注意由d>1可知an>0.所以a502550a50=1,即a50解得a50=51或a50=50(舍去). [10分]①當a1=d時,a50=a1+49d=50d=51,解得d=5150②當a1=2d時,a50=a1+49d=51d=51,解得d=1,與d>1矛盾,應(yīng)舍去. [11分]綜上,d=5150. [12分解法三:因為an,bn都是等差數(shù)列anbn=n(n+1),所以可設(shè)an=1k(n敲黑板構(gòu)造新數(shù)列要考慮全面,少寫一組不得分.(i)當an=1k(n+1),bn=kn時S99T99=1k(2+3+…+100)k(1+2+…+99)=99,即50k2+k解得k=5150或k=1,因為d=k>1,所以均不合題意. [10分(ii)當an=kn,bn=1k(n+1)時S99T99=k(1+2+…+99)1k(2+3+…+100)=99,即50k2k解得k=5150或k=1因為d=k>1,所以k=5150所以d=5150. [12分拓思維高考命題強調(diào)“多思考,少運算”的理念,試題面向全體學生,為考生搭建展示數(shù)學能力的平臺.本解法根據(jù)給出的條件,巧妙的構(gòu)造新的數(shù)列,突破常規(guī)解法,靈活運用數(shù)列知識,解題方法“高人一招”,解題速度“快人一步”.【解題技法】等差、等比數(shù)列綜合問題的求解策略1.基本方法:求解等差、等比數(shù)列組成的綜合問題,首先要根據(jù)數(shù)列的特征設(shè)出基本量,然后根據(jù)題目特征使用通項公式、求和公式、數(shù)列的性質(zhì)等建立方程(組),確定基本量;2.基本思路:注意按照順序使用基本公式、等差中項、等比中項以及證明數(shù)列為等差、等比數(shù)列的方法確定解題思路.【對點訓(xùn)練】(2022·全國甲卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知2Snn+n=2a(1)證明:{an}是等差數(shù)列;(2)若a4,a7,a9成等比數(shù)列,求Sn的最小值.【解析】(1)由2Snn+n=2得2Sn+n2=2ann+n①,所以2Sn+1+(n+1)2=2an+1(n+1)+(n+1)②,②①,得2an+1+2n+1=2an+1(n+1)2ann+1,化簡得an+1an=1,所以數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)知數(shù)列{an}的公差為1.由a4,a7,a9成等比數(shù)列,得a72=a4a即(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=12,所以Sn=12n+n(n-1)2=n2-25所以,當n=12或n=13時,(Sn)min=78.考點二數(shù)列與函數(shù)、向量的綜合[例2](1)(2023·龍巖模擬)已知函數(shù)f(x)=13x3+4x,記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若f(a1+2)=100,f(a2022+2)=100,則S2022等于(A.4044 B.2022C.2022 D.4044【解析】選A.因為f(x)=13x34x=f(x所以f(x)是奇函數(shù),因為f(a1+2)=100,f(a2022+2)=100,所以f(a1+2)=f(a2022+2),所以a1+2+a2022+2=0,所以a1+a2022=4,所以S2022=2022((2)數(shù)列an滿足a1=1,a2=5,若m=1,an+1+1,n=an+an【解析】由已知m·n=0,得1×an+a即an+2則an+1-an是首項為a2a1則an+1an=a2-a1+于是an=an-an-1+an=2n+2n-1+=2n+n-1+…+2答案:an=n2+n1【解題技法】數(shù)列與函數(shù)、向量的綜合問題的求解策略(1)已知函數(shù)條件,解決數(shù)列問題,此類問題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題;(2)已知數(shù)列條件,解決函數(shù)問題,解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形;(3)涉及數(shù)列與三角函數(shù)有關(guān)的問題,常利用三角函數(shù)的周期性等特征,尋找規(guī)律后求解;(4)涉及數(shù)列與向量有關(guān)的綜合問題,應(yīng)根據(jù)條件將向量式轉(zhuǎn)化為與數(shù)列有關(guān)的代數(shù)式求解.【對點訓(xùn)練】1.已知數(shù)列{an}滿足an+2an+1=an+1an,n∈N*,且a5=π2,若函數(shù)f(x)=sin2x+2cos2x2,記yn=f(an),則數(shù)列{yn}的前9項和為(A.0 B.9 C.9 D.1【解析】選C.由題意知數(shù)列{an}是等差數(shù)列.因為a5=π2,所以a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=πf(x)=sin2x+2cos2x2,所以f(x)=sin2x+cosx所以f(a1)+f(a9)=sin2a1+cosa1+1+sin2a9+cosa9+1=2.同理f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=2.因為f(a5)=1,所以數(shù)列{yn}的前9項和為9.2.數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,則實數(shù)λ的最大值為________.

【解析】因為a4+λa10+a16=15,所以a1+3d+λ(a1+9d)+a1+15d=15,令λ=f(d)=151+9d2,因為d所以令t=1+9d,t∈[10,19],因此λ=f(t)=15t2當t∈[10,19]時,函數(shù)λ=f(t)是減函數(shù),故當t=10時,實數(shù)λ有最大值,最大值為f(10)=12答案:1考點三數(shù)列與不等式的綜合【考情提示】數(shù)列不等式作為考查數(shù)列綜合知識的載體,因其全面考查數(shù)列的性質(zhì)、遞推公式、求和等知識而成為高考命題的熱點,重點考查不等式的證明、參數(shù)范圍、最值等.角度1數(shù)列中的最值[例3]公比為2的等比數(shù)列{an}中存在兩項am,an滿足aman=16a12,則1m+4nA.32 B.53 C.43 【解析】選A.由等比數(shù)列的通項公式知am=a1×2m1,an=a1×2n1,由aman=16a1可得a12×2m+n2=16a12,故2m+n2=16,解得m+n=6,則1m+4n=16(m+n)·(1m+4n)=16(1+4mn(當且僅當m=2,n=4時取等號).角度2數(shù)列中的不等式證明[例4](2023·寧德模擬)已知數(shù)列an,bn滿足bn=an+n2,a1+b1=3,a2+b2=8,且數(shù)列a(1)求數(shù)列bn的通項公式(2)記數(shù)列1bn的前n項和為Sn,求證:12≤S【解析】(1)由bn=an+n2得b1=a1+1,b2=a2+4,代入a1+b1=3,a2+b2=8得2a1+1=3,2a2+4=8,解得a1=1,a2=2.又因為數(shù)列an為等差數(shù)列故公差為d=a2a1=1,因此an=n,bn=n+n2.(2)由(1)可得bn=n+n2,所以1bn=1n+所以Sn=1b1+1b2+1=(112)+(1213)+(1314)+…+(1n1n+1)=1所以0<1n+1≤12(n所以12≤11n+1<1,即12≤角度3數(shù)列中的不等式恒成立[例5]已知數(shù)列{an}的通項公式為an=5n,其前n項和為Sn,將數(shù)列{an}的前4項抽去其中一項后,剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項,記{bn}的前n項和為Tn.若存在m∈N*,使對任意n∈N*,Sn≤Tm+λ恒成立,則實數(shù)λ的取值范圍是()A.[2,+∞) B.(3,+∞)C.[3,+∞) D.(2,+∞)【解析】選D.依題意得Sn=(4+5-n)n2=n(9-n)2,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知,當n=4,5時,Sn取得最大值為10.另外,根據(jù)通項公式得數(shù)列{an}的前4項為a1=4,a2=3,a3=2,a4=1,觀察易知抽掉第二項后,余下的三項可組成等比數(shù)列,所以數(shù)列{bn}中,b1=4,公比q=12,所以Tn=4(1-12n)1-12=8(112n),所以4≤Tn<8.因為存在m∈N*【解題技法】數(shù)列與不等式交匯問題的解題策略(1)判斷數(shù)列問題的一些不等關(guān)系,可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小或借助數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性比較大小.(2)考查與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題,此類問題一般采用放縮法進行證明,有時也可通過構(gòu)造函數(shù)進行證明.(3)數(shù)列中有關(guān)項或前n項和的恒成立問題,常轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題;求項或前n項和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解.【對點訓(xùn)練】1.(2023·重慶模擬)設(shè)a>0,b>0,若3是3a與9b的等比中項,則1a+2b的最小值為(A.92 B.3 C.32+2 D【解析】選A.因為3是3a與9b的等比中項,所以32=3a·9b=3a+2b,所以a+2b=2,所以1a+2b=12·(1a+2b)·(a+2b)=12(5+2ab+2ba)≥12·(5+222.數(shù)列{an}滿足a1=14,an+1=14-4an,若不等式a2a1+a3a2+…+an+2A.74 B.34 C.78 【解析】選A.因為數(shù)列{an}滿足a1=14,an+1=14-4an,所以反復(fù)代入計算可得a2=26,a3=38,a4=410,a5=512,…,由此可歸納出通項公式an=n2(n+1),經(jīng)驗證,成立,所以an+1an=1+1n(n+2)12(1n+2+1n+3).因為要求a2a1+a3a2+…+a3.(2023·南京模擬)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=2,(n2)Sn+1+2an+1=nSn,n∈N*(1)求數(shù)列an的通項公式(2)求證:1a12+1a22+【解析】(1)(n2)Sn+1+2an+1=nSn,則(n2)Sn+1+2(Sn+1Sn)=nSn,整理得到nSn+1=(n+2)Sn,故Sn+1(故Snn(n+1)是常數(shù)列即Sn=n(n+1).當n≥2時,an=SnSn1=n(n+1)n(n1)=2n,驗證當n=1時滿足,故an=2n,n∈N*.(2)1an2=14n2故1a12+1a22+…+1an2<14+12(1315+1517+…+1考點四數(shù)列在實際問題中的綜合應(yīng)用[例6](1)(2022·新高考Ⅱ卷)圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu),AA',BB',CC',DD'是桁,相鄰桁的水平距離稱為步,垂直距離稱為舉,圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖,其中DD1,CC1,BB1,AA1是舉,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3.已知k1,k2,kA.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9【解析】選D.設(shè)OD1=DC1=CB1=BA1=1,則CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3,依題意,有k30.2=k1,k30.1=k2,且DD1+所以0.5+3k3-0.34=0(2)據(jù)統(tǒng)計測量,已知某養(yǎng)魚場,第一年魚的質(zhì)量增長率為200%,以后每年的增長率為前一年的一半.若飼養(yǎng)5年后,魚的質(zhì)量預(yù)計為原來的t倍.下列選項中,與t值最接近的是()A.11 B.13 C.15 D.17【解析】選B.設(shè)魚原來的質(zhì)量為a,飼養(yǎng)n年后魚的質(zhì)量為an,q=200%=2,則a1=a(1+q),a2=a1(1+q2)=a(1+q)(1+q2),…,a5=a(1+2)×(1+1)×(1+12)×(1+122)=40532a≈12.7a,即5年后,魚的質(zhì)量預(yù)計為原來的13倍【解題技法】數(shù)列在實際應(yīng)用中的常見模型等差模型如果增加(或減少)的量是一個固定的數(shù),則該模型是等差模型,這個固定的數(shù)就是公差等比模型如果后一個量與前一個量的比是一個固定的非零常數(shù),則該模型是等比模型,這個固定的數(shù)就是公比遞推數(shù)列模型如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定,隨項的變化而變化,則應(yīng)考慮考查的是第n項an與第(n+1)項an+1(或者相鄰三項等)之間的遞推關(guān)系還是前n項和Sn與前(n+1)項和Sn+1之間的遞推關(guān)系【對點訓(xùn)練】1.(2023·武漢模擬)南宋數(shù)學家楊輝為我國古代數(shù)學研究作出了杰出貢獻,他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章