第四章 基本平面圖形（壓軸題專練）

第四章基本平面圖形（壓軸題專練）1．已知O為圓錐的頂點，M為圓錐底面上一點，點P在OM上．一只蝸牛從P點出發(fā)，繞圓錐側面爬行，回到P點時所爬過的最短路線的痕跡如圖所示．若沿OM將圓錐側面剪開并展開，所得側面展開圖是（）A． B． C． D．2．如圖，已知扇形AOB的半徑為2，圓心角為90°，連接AB，則圖中陰影部分的面積是（）A．π﹣2 B．π﹣4 C．4π﹣2 D．4π﹣43．點A、B、C在同一條數(shù)軸上，其中點A、B表示的數(shù)分別為﹣3、1，若BC＝2，則AC等于（）A．3 B．2 C．3或5 D．2或64．將一張紙按如圖的方式折疊，BC、BD為折痕，則∠CBD的度數(shù)為（）A．80° B．90° C．100° D．110°5．由2點15分到2點30分，時鐘的分針轉過的角度是（）A．30° B．45° C．60° D．90°6．如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，以AB的中點D為圓心，作圓心角為90°的扇形DEF，點C恰在上，設∠BDF＝α（0°＜α＜90°），當α由小到大變化時，圖中陰影部分的面積（）A．由小到大 B．由大到小 C．不變 D．先由小到大，后由大到小7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分別以AB、AC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是（）A． B．16π﹣32 C． D．8．如圖，這是中央電視臺“曲苑雜談”中的一幅圖案，它是一扇形圖形，其中∠AOB為120°，OC長為8cm，CA長為12cm，則陰影部分的面積為（）A．64πcm2 B．112πcm2 C．144πcm2 D．152πcm29．如圖，一根5m長的繩子，一端拴在互相垂直的圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊A（羊只能在草地上活動），那么小羊A在草地上的最大活動區(qū)域面積是（）A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm210．如圖，多邊形的相鄰兩邊均互相垂直，則這個多邊形的周長為（）A．21 B．26 C．37 D．4211．已知一條射線OA，若從點O再引兩條射線OB和OC，使∠AOB＝80°，∠BOC＝40°，則∠AOC等于（）A．40° B．60°或120° C．120° D．120°或40°12．如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段MN＝20，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點M1，N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點M2，N2；第三次操作：分別取線段AM2和AN2的中點M3，N3；……連續(xù)這樣操作10次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和M1N1+M2N2+…+M10N10＝（）A． B． C． D．13．如圖所示，某公司有三個住宅區(qū)，A、B、C各區(qū)分別住有職工30人，15人，10人，且這三點在一條大道上（A，B，C三點共線），已知AB＝100米，BC＝200米．為了方便職工上下班，該公司的接送車打算在此間只設一個?？奎c，為使所有的人步行到停靠點的路程之和最小，那么該?？奎c的位置應設在（）A．點A B．點B C．A，B之間 D．B，C之間14．如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是．往返于甲、乙兩地的火車中途要?？咳齻€站，則有種不同的票價（來回票價一樣），需準備種車票．16．如圖，A是硬幣圓周上一點，硬幣與數(shù)軸相切于原點O（A與O點重合）．假設硬幣的直徑為1個單位長度，若將硬幣沿數(shù)軸正方向滾動一周，點A恰好與數(shù)軸上點A′重合，則點A′對應的實數(shù)是．17．如圖，一扇形紙扇完全打開后，外側兩竹條AB和AC的夾角為120°，AB長為30cm，貼紙部分的寬為20cm，則貼紙部分的面積為cm2．18．如圖，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6．△ABC以點B為中心逆時針旋轉，使點C旋轉至AB邊延長線上的C′處，那么AC邊轉過的圖形（圖中陰影部分）的面積是．19．已知線段MN，在MN上逐一畫點（所畫點與M、N不重合），當線段上有1個點時，共有3條線段，當線段上有2個點時，共有6條線段；當線段上有3個點時，共有10條線段；直接寫出當線段上有20個點時，共有線段條．20．如圖1，O為直線AB上一點，過點O作射線OC，∠AOC＝30°，將一直角三角板（其中∠P＝30°）的直角頂點放在點O處，一邊OQ在射線OA上，另一邊OP與OC都在直線AB的上方．將圖1中的三角板繞點O以每秒3°的速度沿順時針方向旋轉一周．（1）如圖2，經(jīng)過t秒后，OP恰好平分∠BOC．①求t的值；②此時OQ是否平分∠AOC？請說明理由；（2）若在三角板轉動的同時，射線OC也繞O點以每秒6°的速度沿順時針方向旋轉一周，如圖3，那么經(jīng)過多長時間OC平分∠POQ？請說明理由；（3）在（2）問的基礎上，經(jīng)過多少秒OC平分∠POB？（直接寫出結果）．21．如圖，∠AOB為直角，∠AOC為銳角，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．（1）如果∠AOC＝50°，求∠MON的度數(shù)．（2）如果∠AOC為任意一個銳角，你能求出∠MON的度數(shù)嗎？若能，請求出來，若不能，說明為什么？22．（1）如圖，已知點C在線段AB上，且AC＝6cm，BC＝4cm，點M、N分別是AC、BC的中點，求線段MN的長度；（2）若點C是線段AB上任意一點，且AC＝a，BC＝b，點M、N分別是AC、BC的中點，請直接寫出線段MN的長度；（用a、b的代數(shù)式表示）（3）在（2）中，把點C是線段AB上任意一點改為：點C是直線AB上任意一點，其他條件不變，則線段MN的長度會變化嗎？若有變化，求出結果．23．如圖1，已知點C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點M，N分別是AC，BC的中點．（1）求線段MN的長度；（2）根據(jù)第（1）題的計算過程和結果，設AC+BC＝a，其他條件不變，求MN的長度；（3）如圖2，動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，點P以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B，點Q以1cm/s的速度沿BA向左運動，終點為A，當一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動，求運動多少秒時，C、P、Q三點有一點恰好是以另兩點為端點的線段的中點？24．已知A、B在數(shù)軸上分別表示a、b（1）對照數(shù)軸填寫下表：a6﹣6﹣62﹣1.5b40﹣4﹣10﹣1.5A、B兩點的距離20（2）若A、B兩點間的距離記為d，試問d和a、b（a＜b）有何數(shù)量關系；（3）寫出數(shù)軸上到7和﹣7的距離之和為14的所有整數(shù)，并求這些整數(shù)的和；（4）若點C表示的數(shù)為x，當點C在什么位置時，|x+1|+|x﹣2|取得的值最小．25．如圖，在射線OM上有三點A、B、C，滿足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如圖所示），點P從點O出發(fā)，沿OM方向以1cm/s的速度勻速運動，點Q從點C出發(fā)在線段CO上向點O勻速運動（點Q運動到點O時停止運動），兩點同時出發(fā)．（1）當PA＝2PB時，點Q運動到的位置恰好是線段AB的三等分點，求點Q的運動速度．（2）若點Q運動速度為3cm/s，經(jīng)過多長時間P、Q兩點相距70cm．（3）當點P運動到線段AB上時，分別取OP和AB的中點E、F，求的值．26．探究題：如圖①，已知線段AB＝14cm，點C為AB上的一個動點，點D、E分別是AC和BC的中點．（1）若點C恰好是AB中點，則DE＝cm；（2）若AC＝4cm，求DE的長；（3）試利用“字母代替數(shù)”的方法，設AC＝acm請說明不論a取何值（a不超過14cm），DE的長不變；（4）知識遷移：如圖②，已知∠AOB＝120°，過角的內(nèi)部任一點C畫射線OC，若OD、OE分別平分∠AOC和∠BOC，試說明∠DOE＝60°與射線OC的位置無關．27．如圖1，點O為直線AB上一點，過O點作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時三角板旋轉的角度為度；（2）繼續(xù)將圖2中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內(nèi)部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關系，并說明理由；（3）在上述直角三角板從圖1開始繞點O按30°每秒的速度逆時針旋轉270°的過程中，是否存在OM所在直線平分∠BOC和∠AOC中的一個角，ON所在直線平分另一個角？若存在，直接寫出旋轉時間t，若不存在，說明理由．28．如圖，兩個形狀．大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點P逆時針旋轉．（1）試說明：∠DPC＝90°；（2）如圖，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；（3）如圖，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉，轉速為3°/秒，同時三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉，轉速為2°/秒，在兩個三角板旋轉過程中（PC轉到與PM重合時，兩三角板都停止轉動）．設兩個三角板旋轉時間為t秒，則∠BPN＝，∠CPD＝（用含有t的代數(shù)式表示，并化簡）；以下兩個結論：①為定值；②∠BPN+∠CPD為定值，正確的是（填寫你認為正確結論的對應序號）．29．如圖，已知線段AB＝4cm．（1）讀句畫圖：延長線段AB到點C，使得AB＝2BC．（2）在（1）的條件下，若點P是線段AC的中點，求線段PB的長．（3）延長線段AB到點C，若點P是線段AC的中點，點Q是BC的中點，求線段PQ的長．30．如圖，∠AOB＝120°，射線OC從OA開始，繞點O逆時針旋轉，旋轉的速度為每分鐘20°；射線OD從OB開始，繞點O逆時針旋轉，旋轉的速度為每分鐘5°，OC和OD同時旋轉，設旋轉的時間為t（0≤t≤15）．（1）當t為何值時，射線OC與OD重合；（2）當t為何值時，射線OC⊥OD；（3）試探索：在射線OC與OD旋轉的過程中，是否存在某個時刻，使得射線OC，OB與OD中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請求出所有滿足題意的t的取值，若不存在，請說明理由．

第四章基本平面圖形（壓軸題專練）1．已知O為圓錐的頂點，M為圓錐底面上一點，點P在OM上．一只蝸牛從P點出發(fā)，繞圓錐側面爬行，回到P點時所爬過的最短路線的痕跡如圖所示．若沿OM將圓錐側面剪開并展開，所得側面展開圖是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：蝸牛繞圓錐側面爬行的最短路線應該是一條線段，因此選項A和B錯誤，又因為蝸牛從p點出發(fā)，繞圓錐側面爬行后，又回到起始點P處，那么如果將選項C、D的圓錐側面展開圖還原成圓錐后，位于母線OM上的點P應該能夠與母線OM′上的點（P′）重合，而選項C還原后兩個點不能夠重合．故選：D．2．如圖，已知扇形AOB的半徑為2，圓心角為90°，連接AB，則圖中陰影部分的面積是（）A．π﹣2 B．π﹣4 C．4π﹣2 D．4π﹣4【答案】A【解答】解：S陰影部分＝S扇形OAB﹣S△OAB＝＝π﹣2故選：A．3．點A、B、C在同一條數(shù)軸上，其中點A、B表示的數(shù)分別為﹣3、1，若BC＝2，則AC等于（）A．3 B．2 C．3或5 D．2或6【答案】D【解答】解：此題畫圖時會出現(xiàn)兩種情況，即點C在線段AB內(nèi)，點C在線段AB外，所以要分兩種情況計算．點A、B表示的數(shù)分別為﹣3、1，AB＝4．第一種情況：在線段AB外，AC＝4+2＝6；第二種情況：在線段AB內(nèi)，AC＝4﹣2＝2．故選：D．4．將一張紙按如圖的方式折疊，BC、BD為折痕，則∠CBD的度數(shù)為（）A．80° B．90° C．100° D．110°【答案】B【解答】解：∵折疊前后兩圖形是全等形，∴∠CBD＝180°×＝90°．故選：B．5．由2點15分到2點30分，時鐘的分針轉過的角度是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】D【解答】解：解法1：2點15分，分針指在數(shù)字3上，分針水平，當2點30分時，分針指在數(shù)字6上，分針垂直于水平時的分針，故分針轉的角度是90°；解法2：因為鐘表上的刻度是把一個圓平均分成了12等份，每一份是30°，從2點15分到2點30分分針轉過了三份，轉過的角度為3×30°＝90°．故選D．6．如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，以AB的中點D為圓心，作圓心角為90°的扇形DEF，點C恰在上，設∠BDF＝α（0°＜α＜90°），當α由小到大變化時，圖中陰影部分的面積（）A．由小到大 B．由大到小 C．不變 D．先由小到大，后由大到小【答案】C【解答】解：作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，連接DC，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，DM＝AD＝AB，DN＝BD＝AB，∴DM＝DN，∴四邊形DMCN是正方形，∴∠MDN＝90°，∴∠MDG＝90°﹣∠GDN，∵∠EDF＝90°，∴∠NDH＝90°﹣∠GDN，∴∠MDG＝∠NDH，在△DMG和△DNH中，，∴△DMG≌△DNH，∴四邊形DGCH的面積＝正方形DMCN的面積，∵正方形DMCN的面積＝DM2＝AB2，∴四邊形DGCH的面積＝，∵扇形FDE的面積＝＝，∴陰影部分的面積＝扇形面積﹣四邊形DGCH的面積＝（定值），故選：C．7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分別以AB、AC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是（）A． B．16π﹣32 C． D．【答案】D【解答】解：設半圓與底邊的交點是D，連接AD．∵AB是直徑，∴AD⊥BC．又∵AB＝AC，∴BD＝CD＝6．根據(jù)勾股定理，得AD＝＝2．∵陰影部分的面積的一半＝以AB為直徑的半圓的面積﹣三角形ABD的面積＝以AC為直徑的半圓的面積﹣三角形ACD的面積，∴陰影部分的面積＝以AB為直徑的圓的面積﹣三角形ABC的面積＝16π﹣×12×2＝16π﹣12．故選：D．8．如圖，這是中央電視臺“曲苑雜談”中的一幅圖案，它是一扇形圖形，其中∠AOB為120°，OC長為8cm，CA長為12cm，則陰影部分的面積為（）A．64πcm2 B．112πcm2 C．144πcm2 D．152πcm2【答案】B【解答】解：∵OA＝OC+CA＝20cm，S陰影部分＝﹣＝112πcm2．故選：B．9．如圖，一根5m長的繩子，一端拴在互相垂直的圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊A（羊只能在草地上活動），那么小羊A在草地上的最大活動區(qū)域面積是（）A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2【答案】D【解答】解：大扇形的圓心角是90度，半徑是5，所以面積＝＝m2；小扇形的圓心角是180°﹣120°＝60°，半徑是1m，則面積＝＝（m2），則小羊A在草地上的最大活動區(qū)域面積＝+＝（m2）．故選：D．10．如圖，多邊形的相鄰兩邊均互相垂直，則這個多邊形的周長為（）A．21 B．26 C．37 D．42【答案】D【解答】解：多邊形的周長＝16×2+5×2＝42．故選：D．11．已知一條射線OA，若從點O再引兩條射線OB和OC，使∠AOB＝80°，∠BOC＝40°，則∠AOC等于（）A．40° B．60°或120° C．120° D．120°或40°【答案】D【解答】解：如果射線OC在∠AOB內(nèi)部，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝40°，如果射線OC在∠AOB外部，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120度．故選：D．12．如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段MN＝20，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點M1，N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點M2，N2；第三次操作：分別取線段AM2和AN2的中點M3，N3；……連續(xù)這樣操作10次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和M1N1+M2N2+…+M10N10＝（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵線段MN＝20，線段AM和AN的中點M1，N1，∴M1N1＝AM1﹣AN1＝AM﹣AN＝（AM﹣AN）＝MN＝×20＝10．∵線段AM1和AN1的中點M2，N2；∴M2N2＝AM2﹣AN2＝AM1﹣AN1＝（AM1﹣AN1）＝M1N1＝×20＝×20＝5．發(fā)現(xiàn)規(guī)律：MnNn＝×20∴M1N1+M2N2+…+M10N10＝+×20+×20+…+×20＝20（+++…+）＝20（）＝20（1﹣）＝20﹣故選：A．13．如圖所示，某公司有三個住宅區(qū)，A、B、C各區(qū)分別住有職工30人，15人，10人，且這三點在一條大道上（A，B，C三點共線），已知AB＝100米，BC＝200米．為了方便職工上下班，該公司的接送車打算在此間只設一個?？奎c，為使所有的人步行到?？奎c的路程之和最小，那么該?？奎c的位置應設在（）A．點A B．點B C．A，B之間 D．B，C之間【答案】A【解答】解：①以點A為?？奎c，則所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），②以點B為?？奎c，則所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），③以點C為?？奎c，則所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），④當在AB之間?？繒r，設停靠點到A的距離是m，則（0＜m＜100），則所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，⑤當在BC之間?？繒r，設?？奎c到B的距離為n，則（0＜n＜200），則總路程為30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500．∴該?？奎c的位置應設在點A；故選：A．二．填空題（共6小題）14．如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是n2+2n．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：第一個是1×3，第二個是2×4，第三個是3×5，…第n個是n?（n+2）＝n2+2n故答案為：n2+2n．15．往返于甲、乙兩地的火車中途要?？咳齻€站，則有10種不同的票價（來回票價一樣），需準備20種車票．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：此題相當于一條線段上有3個點，有多少種不同的票價即有多少條線段：4+3+2+1＝10；有多少種車票是要考慮順序的，則有10×2＝20．16．如圖，A是硬幣圓周上一點，硬幣與數(shù)軸相切于原點O（A與O點重合）．假設硬幣的直徑為1個單位長度，若將硬幣沿數(shù)軸正方向滾動一周，點A恰好與數(shù)軸上點A′重合，則點A′對應的實數(shù)是π．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：將硬幣沿數(shù)軸正方向滾動一周，點A恰好與數(shù)軸上點A'重合，則轉過的距離是圓的周長是π，因而點A'對應的實數(shù)是π．故答案為：π．17．如圖，一扇形紙扇完全打開后，外側兩竹條AB和AC的夾角為120°，AB長為30cm，貼紙部分的寬為20cm，則貼紙部分的面積為cm2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：S＝﹣＝cm2．18．如圖，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6．△ABC以點B為中心逆時針旋轉，使點C旋轉至AB邊延長線上的C′處，那么AC邊轉過的圖形（圖中陰影部分）的面積是9π．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)旋轉變換的性質，△ABC≌△A′BC′，∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6，∴BC＝AB＝3，∴陰影面積＝﹣＝9π．19．已知線段MN，在MN上逐一畫點（所畫點與M、N不重合），當線段上有1個點時，共有3條線段，當線段上有2個點時，共有6條線段；當線段上有3個點時，共有10條線段；直接寫出當線段上有20個點時，共有線段231條．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意可得：當在MN上有20個點時，共有線段：1+2+3+…+20+21＝（1+21）×21＝231，故答案為：231．三．解答題（共11小題）20．如圖1，O為直線AB上一點，過點O作射線OC，∠AOC＝30°，將一直角三角板（其中∠P＝30°）的直角頂點放在點O處，一邊OQ在射線OA上，另一邊OP與OC都在直線AB的上方．將圖1中的三角板繞點O以每秒3°的速度沿順時針方向旋轉一周．（1）如圖2，經(jīng)過t秒后，OP恰好平分∠BOC．①求t的值；②此時OQ是否平分∠AOC？請說明理由；（2）若在三角板轉動的同時，射線OC也繞O點以每秒6°的速度沿順時針方向旋轉一周，如圖3，那么經(jīng)過多長時間OC平分∠POQ？請說明理由；（3）在（2）問的基礎上，經(jīng)過多少秒OC平分∠POB？（直接寫出結果）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解（1）①∵∠AOC＝30°，∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°．∵OP平分∠BOC，∴∠COP＝∠BOC＝75°．∴∠COQ＝90°﹣75°＝15°．∴∠AOQ＝∠AOC﹣∠COQ＝30°﹣15°＝15°．所以t＝15°÷3°＝5秒；②是，理由如下：∵∠COQ＝15°，∠AOQ＝15°，∴OQ平分∠AOC；（2）∵OC平分∠POQ，∴∠COQ＝∠POQ＝45°．根據(jù)旋轉的速度，設∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，由∠AOC﹣∠AOQ＝45°，可得30°+6t﹣3t＝45°，解得t＝5秒；所以5秒時OC平分∠POQ；（3）設經(jīng)過t秒后OC平分∠POB．∵OC平分∠POB，∴∠BOC＝∠BOP．∵∠AOQ+∠BOP＝90°，∴∠BOP＝90°﹣3t．又∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°﹣6t，∴180°﹣30°﹣6t＝（90°﹣3t），解得t＝秒．21．如圖，∠AOB為直角，∠AOC為銳角，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．（1）如果∠AOC＝50°，求∠MON的度數(shù)．（2）如果∠AOC為任意一個銳角，你能求出∠MON的度數(shù)嗎？若能，請求出來，若不能，說明為什么？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）因為OM平分∠BOC，ON平分∠AOC所以∠MOC＝∠BOC，∠NOC＝∠AOC所以∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝（∠BOC﹣∠AOC）＝（90°+50°﹣50°）＝45°．（2）同理，∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝（∠BOC﹣∠AOC）＝（∠BOA+∠AOC﹣∠AOC）＝∠BOA＝45°．22．（1）如圖，已知點C在線段AB上，且AC＝6cm，BC＝4cm，點M、N分別是AC、BC的中點，求線段MN的長度；（2）若點C是線段AB上任意一點，且AC＝a，BC＝b，點M、N分別是AC、BC的中點，請直接寫出線段MN的長度；（用a、b的代數(shù)式表示）（3）在（2）中，把點C是線段AB上任意一點改為：點C是直線AB上任意一點，其他條件不變，則線段MN的長度會變化嗎？若有變化，求出結果．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵AC＝6cm，點M是AC的中點∴CM＝AC＝3cm∵BC＝4cm，點N是BC的中點∴CN＝BC＝2cm∴MN＝CM+CN＝5cm∴線段MN的長度為5cm．（2）．（3）線段MN的長度會變化．當點C在線段AB上時，由（2）知當點C在線段AB的延長線時，如圖：則AC＝a＞BC＝b∵AC＝a點M是AC的中點∴CM＝AC＝a∵BC＝b點N是BC的中點∴CN＝BC＝b∴MN＝CM﹣CN＝當點C在線段BA的延長線時，如圖：則AC＝a＜BC＝b同理可求：CM＝AC＝aCN＝BC＝b∴MN＝CN﹣CM＝∴綜上所述，線段MN的長度變化，，，．23．如圖1，已知點C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點M，N分別是AC，BC的中點．（1）求線段MN的長度；（2）根據(jù)第（1）題的計算過程和結果，設AC+BC＝a，其他條件不變，求MN的長度；（3）如圖2，動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，點P以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B，點Q以1cm/s的速度沿BA向左運動，終點為A，當一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動，求運動多少秒時，C、P、Q三點有一點恰好是以另兩點為端點的線段的中點？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點M，N分別是AC，BC的中點，∴CM＝AC＝5厘米，CN＝BC＝3厘米，∴MN＝CM+CN＝8厘米；（2）∵點M，N分別是AC，BC的中點，∴CM＝AC，CN＝BC，∴MN＝CM+CN＝AC+BC＝a；（3）設運動t秒時，C、P、Q三點有一點恰好是以另兩點為端點的線段的中點．①當0＜t≤5時，C是線段PQ的中點，得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；②當5＜t≤時，P為線段CQ的中點，2t﹣10＝16﹣3t，解得t＝；③當＜t≤6時，Q為線段PC的中點，6﹣t＝3t﹣16，解得t＝；④當6＜t≤8時，C為線段PQ的中點，2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4（舍），綜上所述：t＝4或或．24．已知A、B在數(shù)軸上分別表示a、b（1）對照數(shù)軸填寫下表：a6﹣6﹣62﹣1.5b40﹣4﹣10﹣1.5A、B兩點的距離20（2）若A、B兩點間的距離記為d，試問d和a、b（a＜b）有何數(shù)量關系；（3）寫出數(shù)軸上到7和﹣7的距離之和為14的所有整數(shù)，并求這些整數(shù)的和；（4）若點C表示的數(shù)為x，當點C在什么位置時，|x+1|+|x﹣2|取得的值最?。敬鸢浮恳娫囶}解答內(nèi)容【解答】解：（1）對照數(shù)軸填寫下表：a6﹣6﹣62﹣1.5b40﹣4﹣10﹣1.5A、B兩點的距離262120（2）由（1）可得：d＝|a﹣b|或d＝b﹣a；（3）只要在﹣7和7之間的整數(shù)均滿足到7和﹣7的距離之和為14，有：﹣7、﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5、6、7，所有滿足條件的整數(shù)之和為：﹣7+（﹣6）+（﹣5）+（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4+5+6+7＝0；（4）根據(jù)數(shù)軸的幾何意義可得﹣1和2之間的任何一點均能使|x+1|+|x﹣2|取得的值最?。士傻茫狐cC的范圍在：﹣1≤x≤2時，能滿足題意．25．如圖，在射線OM上有三點A、B、C，滿足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如圖所示），點P從點O出發(fā)，沿OM方向以1cm/s的速度勻速運動，點Q從點C出發(fā)在線段CO上向點O勻速運動（點Q運動到點O時停止運動），兩點同時出發(fā)．（1）當PA＝2PB時，點Q運動到的位置恰好是線段AB的三等分點，求點Q的運動速度．（2）若點Q運動速度為3cm/s，經(jīng)過多長時間P、Q兩點相距70cm．（3）當點P運動到線段AB上時，分別取OP和AB的中點E、F，求的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）①當P在線段AB上時，由PA＝2PB及AB＝60，可求得PA＝40，OP＝60，故點P運動時間為60秒．若AQ＝時，BQ＝40，CQ＝50，點Q的運動速度為50÷60＝（cm/s）；若BQ＝時，BQ＝20，CQ＝30，點Q的運動速度為30÷60＝（cm/s）．②點P在線段AB延長線上時，由PA＝2PB及AB＝60，可求得PA＝120，OP＝140，故點P運動時間為140秒．若AQ＝時，BQ＝40，CQ＝50，點Q的運動速度為50÷140＝（cm/s）；若BQ＝時，BQ＝20，CQ＝30，點Q的運動速度為30÷140＝（cm/s）．（2）設運動時間為t秒，則t+3t＝90±70，t＝5或40，∵點Q運動到O點時停止運動，∴點Q最多運動30秒，當點Q運動30秒到點O時PQ＝OP＝30cm，之后點P繼續(xù)運動40秒，則PQ＝OP＝70cm，此時t＝70秒，故經(jīng)過5秒或70秒兩點相距70cm；（3）如圖1，設OP＝xcm，點P在線段AB上，20≤x≤80，OB﹣AP＝80﹣（x﹣20）＝100﹣x，EF＝OF﹣OE＝（OA+AB）﹣OE＝（20+30）﹣＝50﹣，∴＝＝2．26．探究題：如圖①，已知線段AB＝14cm，點C為AB上的一個動點，點D、E分別是AC和BC的中點．（1）若點C恰好是AB中點，則DE＝7cm；（2）若AC＝4cm，求DE的長；（3）試利用“字母代替數(shù)”的方法，設AC＝acm請說明不論a取何值（a不超過14cm），DE的長不變；（4）知識遷移：如圖②，已知∠AOB＝120°，過角的內(nèi)部任一點C畫射線OC，若OD、OE分別平分∠AOC和∠BOC，試說明∠DOE＝60°與射線OC的位置無關．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵AB＝14cm，點D、E分別是AC和BC的中點，∴DE＝DC+EC＝AC+BC＝AB＝7cm故答案為：7；（2）∵AC＝4cm，AB＝14cm，∴BC＝AB﹣AC＝10cm，又∵D為AC中點，E為BC中點，∴CD＝2cm，CE＝5cm，∴DE＝CD+CE＝7cm；（3）∵AC＝acm，∴BC＝AB﹣AC＝（14﹣a）cm，又∵D為AC中點，E為BC中點，∴CD＝acm，CE＝（14﹣a）cm，∴DE＝CD+CE＝a+（14﹣a）＝7cm，∴無論a取何值（不超過14）DE的長不變；（4）設∠AOC＝α，∠BOC＝120°﹣α，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠COD＝，∠COE＝（120°﹣α），∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝+（120°﹣α）＝60°，∴∠DOE＝60°，與OC位置無關．27．如圖1，點O為直線AB上一點，過O點作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時三角板旋轉的角度為90度；（2）繼續(xù)將圖2中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內(nèi)部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關系，并說明理由；（3）在上述直角三角板從圖1開始繞點O按30°每秒的速度逆時針旋轉270°的過程中，是否存在OM所在直線平分∠BOC和∠AOC中的一個角，ON所在直線平分另一個角？若存在，直接寫出旋轉時間t，若不存在，說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）根據(jù)旋轉的性質可知：旋轉角為∠MON＝90°．故答案為90．（2）如圖3：∠AOM﹣∠NOC＝30°，理由如下：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC：∠BOC＝1：2，∴∠AOC+2∠AOC＝180°，∴∠AOC＝60°，∴∠AON+CON＝60°，①∵∠MON＝90°，∴∠AOM+∠AON＝90°，②②﹣①，得∠AOM﹣∠CON＝30°．（3）如圖4，當OM平分∠BOC時，ON所在直線平分∠AOC，∠BOM＝60°，∴三角板繞點O逆時針旋轉60°，此時t＝60÷30＝2（秒）；如圖5，當ON平分∠AOC時，OM所在直線平分∠BOC，∠CON＝30°，∴三角板繞點O逆時針旋轉240°，此時t＝240÷30＝8（秒）．當OM旋轉150度時也符合要求，此時旋轉了5秒．答：旋轉時間為2秒或5秒或8秒．28．如圖，兩個形狀．大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點P逆時針旋轉．（1）試說明：∠DPC＝90°；（2）如圖，若三角板PAC的邊P