專題04幾何圖形初步（原卷版）

專題04幾何圖形初步知識點1：認(rèn)識平面圖形、立體圖形和圖形分類（1）幾何圖形：幾何圖形是數(shù)學(xué)研究的主要對象之一.物體的形狀、大小和位置關(guān)系是幾何研究的內(nèi)容.像長方體、圓柱、球、長方形、正方形、圓、線段、點、三角形、梯形……它們都是幾何圖形.（2）立體圖形：有些幾何體（如長方體、正方體、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、球等）各個部分都不在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形.（3）平面圖形：有些幾何圖形（如線段、角、三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形、圓等）的各部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形.知識點2：立體圖形的展開圖立體圖形的展開圖:有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形.這樣的平面圖形稱為立體圖形的展開圖.如正方體的展開圖有如下幾種情況：中間四個面，上下各一面:中間三個面，一二隔河見:中間兩個面，樓梯天天見:中間沒有面，兩兩連成線:知識點3：點、線、面、體點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形.線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線.面：包圍著體的是面，分為平面和曲面.體：幾何體也簡稱體.點動成線，線動成面，面動成體.知識點4：直線、射線與線段的概念知識點5：基本事實1.經(jīng)過兩點有一條直線，并且僅有一條直線，即兩點確定一條直線.2.兩點之間的線段中，線段最短，簡稱兩點間線段最短.知識點6：基本概念1.兩點間的距離：兩個端點之間的長度叫做兩點間的距離.2.線段的等分點：把一條線段平均分成兩份的點，叫做這個線段的中點.知識點7：雙中點模型C為線段AB上任意一點，M、N分別為AC、BC中點，則.知識點8：角的概念1． 角的定義：（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB．圖1圖2（2）定義二：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．注意：（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：①用數(shù)字表示單獨的角，如∠1，∠2，∠3等；②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等；③用一個大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如∠B，∠C等；④用三個大寫英文字母表示任一個角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等.注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè).3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角．知識點9：角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″．知識點10：鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．知識點11：方位角在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注意：（1）正東、正西、正南、正北4個方向不需要用角度來表示．（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”．（3）在同一問題中觀測點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀測點的正東、正西、正南、正北的方向．（4）圖中的點O是觀測點，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點．知識點12：角平分線從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣．知識點13：角的運算如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB∠2．注意：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知識點14：余角和補角（1）余角：如果兩個角的和是一個直角，那么稱這兩個角互為余角，簡稱互余，也可以說其中一個角是另一個角的余角.∠A+∠C=90°，∠A=90°∠C，∠C的余角=90°∠C，即∠A的余角=90°∠A.（2）補角：如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫互為補角．其中一個角叫做另一個角的補角.∠A+∠C=180°，∠A=180°∠C，∠C的補角=180°∠C，即∠A的補角=180°∠A.（3）補角的性質(zhì)：同角的補角相等.比如：∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°，則∠C=∠B.等角的補角相等.比如：∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，∠A=∠D，則∠C=∠B.（4）余角的性質(zhì)：同角的余角相等.比如：∠A+∠B=90°，∠A+∠C=90°，則∠C=∠B.等角的余角相等.比如：∠A+∠B=90°，∠D+∠C=90°，∠A=∠D，則∠C=∠B.考點剖析考點一：直線、射線、線段、角的相關(guān)概念【典例1】下列說法錯誤的是（）A．直線和直線表示同一條直線 B．過一點能作無數(shù)條直線C．射線和射線表示不同射線 D．射線比直線短【變式11】把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程，其道理用幾何知識解釋正確的是()A．兩點確定一條直線 B．垂線段最短C．線段的長度可以測量 D．兩點之間線段最短【變式12】下列說法正確的是（

）A．點O在線段上 B．點B是直線的一個端點C．射線和射線是同一條射線 D．圖中共有3條線段【變式13】圖中直線、射線、線段能相交的是（

）A． B． C． D．【變式14】已知A、B、C三點，若過其中任意兩點畫一條直線，則畫出的不同直線（

）A．一定有三條 B．只能有一條C．可能有三條，也可能只有一條 D．以上結(jié)論都不對【典例2】下列說法中，正確的是（

）A．一個周角就是一條射線 B．平角是一條直線C．角的兩邊越長，角就越大 D．也可以表示為【變式21】如圖所示，圖中共有多少個小于平角的角（

）

A．10個 B．9個 C．8個 D．4個【變式22】下列說法中，正確的是（

）A．兩條射線組成的圖形叫做角B．有公共端點的兩條線段組成的圖形叫做角C．角可以看作是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形D．角的邊越長，角越大【變式23】圖中角的個數(shù)是（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【變式24】如圖，下列說法正確的是（

）

A． B．圖中只有兩個角，即和C．與表示同一個角 D．與表示同一個角考點二：根據(jù)線段間的關(guān)系判斷結(jié)論【典例3】杭衢高鐵線上，要保證衢州、金華、義烏、諸暨、杭州每兩個城市之間都有高鐵可乘，需要印制不同的火車票（）A．20種 B．15種 C．10種 D．5種【變式31】如圖，在線段AD上有兩點B，C，則圖中共有_____條線段，若在車站A、D之間的線路中再設(shè)兩個站點B、C，則應(yīng)該共印刷_____種車票．A．3，3 B．3，6 C．6，6 D．6，12【變式32】將一段72cm長的繩子，從一端開始每3cm作一記號，每4cm也作一記號，然后從有記號的地方剪斷，則這段繩子共被剪成的段數(shù)為（）A．37 B．36 C．35 D．34【變式33】數(shù)軸上的點所表示的數(shù)是整數(shù)的點稱為整點，某數(shù)軸的單位長度是1厘米，若在這個數(shù)軸上隨意畫出一條長為18厘米的線段AB，則線段AB蓋住的整點數(shù)是(

)A．17個或18個 B．17個或19個 C．18個或19個 D．18個或20個【變式34】下列說法中，正確的是（

）A．在所有連接兩點的線中，直線最短B．線段與線段是不同的兩條線段C．如果點是線段的中點，那么D．如果，那么點是線段的中點考點三：根據(jù)線段間的關(guān)系求線段的長度【典例4】如圖，線段，C是線段的中點，D是線段的中點．(1)求線段的長；(2)在線段上有一點E，，求的長．【變式41】如圖，線段，，點M是的中點．

(1)求線段的長度；(2)在上取一點N，使得．求的長．【變式42】如圖，點是線段的中點，是上一點，且，．(1)求的長；(2)若為的中點，求長．考點四：鐘表中的角度計算【典例5】在上午時，鐘表上的時針與分針的夾角是()A． B． C． D．【變式51】從分到分，時鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度是（

）A． B． C． D．【變式52】實驗中學(xué)上午時通常準(zhǔn)時上第三節(jié)課，此時時針與分針?biāo)鶌A的角是（

）A． B． C． D．【變式53】鐘表的指針在不停地轉(zhuǎn)動，從3時到5時，時針轉(zhuǎn)動了度．考點五：根據(jù)角與角之間的關(guān)系判斷結(jié)論【典例6】如圖，兩個直角和有公共頂點O，下列結(jié)論：①；②；③；④若平分，則平分；⑤的平分線與的平分線是同一條射線．其中正確的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式61】已知，，，則相等的兩個角是（

）A． B． C． D．無法確定【變式62】在下列說法中，正確的是（

）A．比較角的大小就是比較角的度數(shù)大小B．從角的頂點出發(fā)的一條射線把這個角分成兩個角，這條射線叫做這個角的平分線C．若，則OC是∠AOB的平分線D．用一個放大鏡能夠把一個圖形放大，也能夠把一個角的度數(shù)放大【變式63】如圖，為內(nèi)一條射線，下列條件中能確定平分的是（

）

A． B．C． D．考點六：根據(jù)角與角之間的關(guān)系求角度【典例7】如圖，已知是的角平分線，是的角平分線．（1）若，，求的度數(shù)；（2）若，且，求的度數(shù)．【變式71】已知：如圖，在內(nèi)部有（）．（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，平分，平分，求的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)從的位置開始，繞著點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)秒時，使，求的值．【變式72】如圖，已知直線AB和CD相交于點O，在∠COB的內(nèi)部作射線OE.（1）若∠AOC=36°，∠COE=90°，求∠BOE的度數(shù)；（2）若∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，求∠AOE的度數(shù).【變式73】如圖，在直線上，射線平分，射線在內(nèi)．

(1)若，求證：射線是的平分線；(2)若，，求的度數(shù)．考點七：線段中的分類討論思想問題【典例8】點C是線段的中點，點D是線段上一點，，若線段，則．【變式81】點A、B、C在直線l上，線段，線段，則線段的長是（）A．10 B．2 C．2或5 D．10或2【變式82】已知線段，點D是線段的中點，直線上有一點C，且，則線段．考點八：角度中的分類討論思想問題【典例9】將直角三角板的直角頂點O放在直線上，射線平分．(1)如圖，若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)；(3)將直角三角板繞頂點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，求的度數(shù)．【變式91】劉星對幾何中角平分線等興趣濃厚，請你和他一起探究下面問題吧，已知，射線，分別是和的角平分線．(1)如圖，若射線在的內(nèi)部，且，求的度數(shù)；(2)如圖，若射線在的內(nèi)部繞點旋轉(zhuǎn)，則的度數(shù)；(3)若射線在的外部繞點旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)中，均指小于的角，其余條件不變，請借助圖探究的大?。^關(guān)檢測一、選擇題1．如圖，是一個圓柱體模型，若從這個圓柱的左邊向右看，則得到的平面圖形是（）A． B． C． D．2．如果一個角的補角是，那么這個角的余角是（

）A． B． C． D．3．如圖，將一張長方形紙片ABCD沿EF折疊，點A、B分別落在點A′B′處，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．4．如圖所示，O是直線AB上的一點，∠AOC=∠FOE=90°，則圖中∠EOC與∠BOF的關(guān)系是（）A．相等 B．互余 C．互補 D．互為鄰補角5．下列圖形中，能用∠ABC，∠B，∠1表示同一個角的是（

）A．B．C． D．6．如圖，已知是的平分線，則下列結(jié)論：①；②；③；④.其中正確的有（

）A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④7．如圖，通常我們描述點B和點C的方向,分別為(

)A．南偏東25°,北偏西60° B．東偏南65°,西偏北60°C．北偏東155°,南偏西120° D．西偏南115°,東偏北150°8．如圖，已知是直線上一點，，平分，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．9．在直線上取三點、、，使線段，，則線段的長為（

）A． B． C．或 D．或10．一副三角尺按如圖所示方式擺放，且比大40°，則∠2的度數(shù)是（

）A．20° B．25° C． D．11．下列換算中，錯誤的是（

）A． B．C． D．12．小亮利用星期天進行社會調(diào)查活動，早晨8:00出發(fā)，中午12:30到家，則小亮出發(fā)和到家時時針和分針的夾角分別為（

）A．和 B．和 C．和 D．和二、填空題13．若，，則．14．國扇文化有深厚的文化底蘊，歷