3微分中值定理

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

因?yàn)閷?dǎo)數(shù)是函數(shù)隨自變量變化的瞬時(shí)變

所以可借助導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù).

但每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)僅僅是與局部有關(guān)的一點(diǎn)的變化性態(tài),要用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的全部性態(tài),還需架起新的“橋梁”.化率,1羅爾定理拉格朗日中值定理小結(jié)思考題柯西中值定理第一節(jié)微分中值定理第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2

本節(jié)的幾個(gè)定理都來(lái)源于下面的明顯的在一條光滑的平面曲線段AB上,⌒至少有與連接此曲線兩端點(diǎn)的弦平行.幾何事實(shí):微分中值定理一點(diǎn)處的切線

連續(xù)的曲線弧、除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線.有水平的切線3羅爾定理(1)(2)(3)羅爾Rolle,(法)1652-1719使得如,微分中值定理一、羅爾(Rolle)定理4(1)定理?xiàng)l件不全具備,注微分中值定理結(jié)論不一定成立.羅爾定理(1)(2)(3)使得(2)

定理?xiàng)l件只是充分的.5幾何意義如果連續(xù)曲線除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線.且兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,則這曲線上至少存在點(diǎn)C,使得曲線在C點(diǎn)處的切線水平.由圖形可知,在曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)處切線水平.有水平的切線微分中值定理6例1證明:內(nèi)只有一個(gè)根.例2不用求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),說(shuō)明方程有幾個(gè)實(shí)根.微分中值定理7注意:證明方程的根的存在性方法:(1)利用閉區(qū)間上零點(diǎn)的存在性定理;(2)歸結(jié)為考慮函數(shù)利用Rolle定理來(lái)證明.關(guān)鍵是找輔助函數(shù)微分中值定理8例3設(shè)證明:微分中值定理提示:9證明幾種特殊方程有根時(shí),考慮的輔助函數(shù):微分中值定理10例4試證方程微分中值定理提示:11證設(shè)且

羅爾定理即試證方程微分中值定理12注拉格朗日Lagrange(法)1736-1813

拉格朗日中值定理(1)(2)使得微分中值定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理13幾何解釋:分析定理的結(jié)論就轉(zhuǎn)化為函數(shù)化為羅爾定理.微分中值定理在該點(diǎn)處的切線平行于弦利用逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù).14證作輔助函數(shù)由此得拉格朗日中值公式且易知微分中值定理微分中值定理15注意:1.特別即Lagrange定理是Rolle定理的推廣.時(shí),Lagrange中值公式為2.作輔助函數(shù)的方法不是唯一的.思考:Lagrange中值定理證明中還可以如何作輔助函數(shù)?3.定理中的條件只是充分條件,而非必要條件.微分中值定理16例5驗(yàn)證Lagrange中值定理對(duì)于函數(shù)上的正確性.微分中值定理17Lagrange公式可以寫成下面的各種形式:

它表達(dá)了函數(shù)增量和某點(diǎn)的注但是增量、這是十分方便的.由(3)式看出,導(dǎo)數(shù)之間的直接關(guān)系.微分中值定理導(dǎo)數(shù)是個(gè)等式關(guān)系.拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.有限增量定理.18它表明了函數(shù)在兩點(diǎn)處的函數(shù)值的單調(diào)性及某些等式與不等式的證明.在微分學(xué)中占有極重要的地位.與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函數(shù)微分中值定理19例6證

如果f(x)在某區(qū)間上可導(dǎo),要分析函數(shù)在該區(qū)間上任意兩點(diǎn)的函數(shù)值有何關(guān)系,通常就想到微分中值定理.記利用微分中值定理,得微分中值定理20例7證明下列不等式微分中值定理21推論1證有由條件,即在區(qū)間I中任意兩點(diǎn)的函數(shù)值都相等,所以,微分中值定理(1)(2)22推論2(1)(2)注意:將推論1,推論2中的區(qū)間換成其它各種區(qū)間(但不能是區(qū)間的并),結(jié)論仍成立.微分中值定理23例8證明:微分中值定理24例9設(shè)證明:微分中值定理提示:25柯西Cauchy(法)1789-1859柯西中值定理(1)(2)使得微分中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理廣義微分中值定理26這兩個(gè)錯(cuò)!柯西中值定理(1)(2)使得微分中值定理柯西定理的下述證法對(duì)嗎?討論不一定相同27

前面對(duì)拉格朗日中值定理的證明,構(gòu)造了

現(xiàn)在對(duì)兩個(gè)給定的函數(shù)

f(x)、F(x),構(gòu)造即可證明柯西定理.輔助函數(shù)輔助函數(shù)微分中值定理

分析上式寫成

用類比法28柯西定理的幾何意義注意弦的斜率柯西中值定理(1)(2)使得微分中值定理切線斜率29例10證分析結(jié)論可變形為即微分中值定理滿足柯西中值定理?xiàng)l件,301證明:練習(xí)微分中值定理31羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理

羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西中值定理之間的關(guān)系:推廣推廣

這三個(gè)定理的條件都是充分條件,換句話說(shuō),滿足條件,不滿足條件,定理可能成立,不是必要條件.而成立;不成立.微分中值定理定理也可能32應(yīng)用三個(gè)中值定理常解決下列問題(1)驗(yàn)證定理的正確性;(2)證明方程根的存在性;(3)引入輔助函數(shù)證明等式;(4)證明不等式;(5)綜合運(yùn)用中值定理(幾次運(yùn)用).微分中值定理

關(guān)鍵逆向思維,找輔助函數(shù)33四、小結(jié)微分中值定理

常利用逆向思維,構(gòu)造輔助函數(shù)注意利用拉格朗日中值定理證明不等式的步驟.三個(gè)微分中值定理成立的條件;各微分中值定理的關(guān)系;

證明存在某點(diǎn),使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)滿足一個(gè)方程.運(yùn)用羅爾定理.

拉格朗日中值定理的各種形式,其關(guān)系;341.

設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點(diǎn)