上海高考文科數(shù)學(xué)試題詳解

2014年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試上海市數(shù)學(xué)試題（文科）詳解滿分150分；考試時(shí)間120分鐘．一、填空題（本大題共有14題,滿分56分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果,每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分．1．函數(shù)的最小正周期是．考點(diǎn)：三角恒等變形、三角函數(shù)的周期解答：因?yàn)?，所?難度：容易題2．若復(fù)數(shù),其中是虛數(shù)單位，則．考點(diǎn):復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛運(yùn)算解答:此題先根據(jù)分配律去括號(hào)可簡化計(jì)算,即難度：容易題3．設(shè)常數(shù)，函數(shù)．若，則．考點(diǎn)：解方程、求函數(shù)值解答：由難度：容易題4．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為．考點(diǎn):圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解答：知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則其準(zhǔn)線方程為：難度：容易題5．某校高一、高二、高三分別有學(xué)生1600名、1200名、800名．為了解該校高中學(xué)生的牙齒健康狀況，按各年級(jí)的學(xué)生數(shù)進(jìn)行分層抽樣．若高三抽取20名學(xué)生,則高一、高二共需抽取的學(xué)生數(shù)為．考點(diǎn)：分層抽樣解答：高一、高二共有學(xué)生2800名,按40：1的比例，需抽取學(xué)生數(shù)為70人.難度：容易題6．若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為．考點(diǎn)：基本不等式解答：，即難度：容易題7．若圓錐的側(cè)面積是底面積的倍,則其母線與軸所成的角的大小為(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)．考點(diǎn)：圓錐的側(cè)面展開圖解答：如圖:難度：容易題8．在長方體中割去兩個(gè)小長方體后的幾何體的三視圖如右圖，則切割掉的兩個(gè)小長方體的體積之和等于．考點(diǎn):三視圖解答：由三視圖知,切割掉的兩個(gè)小長方體可拼成一個(gè)長寬高分別為4、3、2的長方體,所以其體積為24.難度：容易題9．設(shè)若是的最小值,則的取值范圍為．考點(diǎn):函數(shù)的單調(diào)性及最值 解答：難度:中等題10．設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為，若，則．考點(diǎn):無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和解答:難度:中等題11．若，則滿足的的取值范圍是．考點(diǎn)：冪函數(shù)的單調(diào)性解答:EMBEDEquation.DSMT4∴其定義域?yàn)橛质窃龊瘮?shù)，是減函數(shù),是增函數(shù)，又，，即為，難度：中等題12．方程在區(qū)間上的所有的解的和等于．考點(diǎn)：三角方程解答：難度：中等題13．為強(qiáng)化安全意識(shí),某商場擬在未來的連續(xù)天中隨機(jī)選擇天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的天恰好為連續(xù)天的概率是（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）．考點(diǎn)：組合、概率解答:未來的連續(xù)天中隨機(jī)選擇天的所有情況有種；未來的連續(xù)天中選擇的天恰好為連續(xù)天的所有情況有種；則所求概率為難度:中等題14．已知曲線，直線．若對(duì)于點(diǎn),存在上的點(diǎn)和上的使得，則的取值范圍為．考點(diǎn)：圓的方程、能成立問題解答:∵曲線,即,∵,∴點(diǎn)即為中點(diǎn)；設(shè)，∵,則，∵點(diǎn)在曲線C上,∴難度：較難題二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分)每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)上,將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分．15．設(shè)，則“”是“且”的（）（A)充分非必要條件 (B）必要非充分條件(C)充分必要條件 (D）既非充分又非必要條件考點(diǎn)：充分條件、必要條件解答：必要非充分條件,選B難度:容易題16．已知互異的復(fù)數(shù)滿足，集合，則（）(A） (B）（C) （D)考點(diǎn)：集合的相等、復(fù)數(shù)范圍內(nèi)1的立方根解答：⑴若則（舍）；⑵若則,那么（舍)或（舍）或或綜合上述，.選D難度：中等題17．如圖,四個(gè)邊長為的小正方體排成一個(gè)大正方形，是大正方形的一條邊，是小正方形的其余頂點(diǎn)，則的不同值的個(gè)數(shù)為（）(A） （B）（C） (D）考點(diǎn)：向量的數(shù)量積、向量的投影解答:結(jié)合圖形，觀察在上的投影即可：在上的投影相同;在上的投影相同；在上的投影相同；故的不同值的個(gè)數(shù)為3，選C難度：中等題18．已知與是直線（為常數(shù))上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的方程組的解的情況是（)（A）無論如何，總是無解 (B）無論如何，總有唯一解（C)存在，使之恰有兩解 （D）存在,使之有無窮多解考點(diǎn):直線的方程、二元一次方程的行列式解法解答:把代入直線得，即。同理可得。則是方程組的解。若不是方程組的唯一解,則方程組有無數(shù)解則，與已知矛盾綜上，方程組總有唯一解，選B。難度：較難題三、解答題(本大題共有5題,滿分74分)解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．19．(本題滿分12分）底面邊長為2的正三棱錐，其表面展開圖是三角形，如圖，求的各邊長及此三棱錐的體積．考點(diǎn):棱錐的體積、空間想象能力解答：依題意：是邊長為4的正三角形,折疊后是棱長為2的正四面體（如圖）。設(shè)頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影為,連接，則為的重心，底面.難度:容易題20．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分,第2小題滿分8分．設(shè)常數(shù),函數(shù)．若,求函數(shù)的反函數(shù);根據(jù)的不同取值,討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由．考點(diǎn)：反函數(shù)、函數(shù)的奇偶性解答:（1）因?yàn)?，所?得或，且．因此，所求反函數(shù)為．（2）①當(dāng)時(shí)，,定義域?yàn)椋屎瘮?shù)是偶函數(shù);②當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，故函?shù)為奇函數(shù)；③當(dāng)且時(shí)，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,故函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．難度:容易題21．(本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分,第2小題滿分8分．如圖，某公司要在兩地連線上的定點(diǎn)處建造廣告牌，其中為頂端,長35米，長80米．設(shè)點(diǎn)在同一水平面上,從和看的仰角分別為．（1）設(shè)計(jì)中是鉛垂方向，若要求，問的長至多為多少(結(jié)果精確到0.01米）?（2）施工完成后，與鉛垂方向有偏差．現(xiàn)在實(shí)測得，求的長(結(jié)果精確到0。01米）．考點(diǎn)：解斜三角形解答:（1)設(shè)，則.因,所以,即,（米）（2）在中，由已知，，，由正弦定理得，解得（米)．在中，由余弦定理得，解得（米）．所以，的長約為26.93米．難度:中等題22．（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分,第3小題滿分7分．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于直線和點(diǎn)，記．若，則稱點(diǎn)被直線分隔．若曲線與直線沒有公共點(diǎn),且曲線上存在點(diǎn)被直線分隔,則稱直線為曲線的一條分隔線．(1）求證；點(diǎn)被直線分隔；（2）若直線是曲線的分隔線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到軸的距離之積為1，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線．求的方程，并證明軸為曲線的分隔線．考點(diǎn)：定義法求曲線方程、數(shù)形結(jié)合思想解答：（1）證明：因?yàn)?，所以點(diǎn)被直線分隔．（2）解：直線與曲線沒有公共點(diǎn)的充要條件是方程組無解,即．當(dāng)時(shí)，對(duì)于直線，曲線上的點(diǎn)和滿足，即點(diǎn)和被分隔．故實(shí)數(shù)的取值范圍是．（3）證明:設(shè)的坐標(biāo)為,則曲線的方程為．對(duì)任意的，不是上述方程的解，即軸與曲線沒有公共點(diǎn)．又曲線上的點(diǎn)和對(duì)于軸滿足，即點(diǎn)和被軸分隔．所以軸為曲線的分隔線．難度：中等題23．(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分,第2小題滿分6分，第3小題滿分9分．已知數(shù)列滿足,，．(1）若，求的取值范圍;(2）設(shè)是等比數(shù)列，且,求正整數(shù)的最小值，以及取最小值時(shí)相應(yīng)的公比;（3）若成等差數(shù)列，求數(shù)列的公差的取值范圍．考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列與不等式綜