2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第04講簡(jiǎn)單的三角恒等變換(知識(shí)+真題+6類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

第04講簡(jiǎn)單的三角恒等變換目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3高頻考點(diǎn)一：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) 3高頻考點(diǎn)二：三角函數(shù)求值問題（給角求值型） 4高頻考點(diǎn)三：三角函數(shù)求值問題（給值求值型） 5高頻考點(diǎn)四：三角函數(shù)求值問題（給值求角型） 6高頻考點(diǎn)五：半角公式 7高頻考點(diǎn)六：萬能公式 9第四部分：新定義題 10第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、半角公式（1）.（2）.（3）.2、萬能公式（拓展視野）（1）（2）（3）其中3、和差化積公式（拓展視野）4、積化和差公式（拓展視野）第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅱ卷）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)典型例題1．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B．C． D．2．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)求值：(1)；(2)；(3)已知，，求的值．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）求值；(1)(2)2．（23-24高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）（1）求的值；（2）已知，求函數(shù)的值域.高頻考點(diǎn)二：三角函數(shù)求值問題（給角求值型）典型例題1．（2024·陜西西安·一模）等于（

）A． B． C． D．12．（多選）（23-24高一上·浙江寧波·期末）下列式子化簡(jiǎn)正確的是（

）A．B．C．D．3．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）求下列各式的值.(1);(2).練透核心考點(diǎn)1．（多選）（22-23高一下·江蘇連云港·期中）計(jì)算下列各式，結(jié)果為的是（

）A． B．C． D．2．（多選）（23-24高一上·湖南長(zhǎng)沙·期末）下列各式中值為1的是（

）A． B．C． D．3．（2024高一下·湖南株洲·競(jìng)賽）．高頻考點(diǎn)三：三角函數(shù)求值問題（給值求值型）典型例題1．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）若，則（）A． B． C． D．2．（2024·湖南衡陽·二模）已知，則（

）A． B． C．2 D．43．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為第二象限角，則．4．（23-24高一下·山東德州·階段練習(xí)）已知.(1)求；(2)求.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·貴州畢節(jié)·二模）若，且，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·上海松江·階段練習(xí)）若，則.4．（23-24高一下·吉林·階段練習(xí)）設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則．高頻考點(diǎn)四：三角函數(shù)求值問題（給值求角型）典型例題1．（23-24高一下·吉林·階段練習(xí)）已知，，且，，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·江西九江·二模）已知，，，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知，，，(1)求證：；(2)求的值；(3)求的值．4．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）在條件：①；②；③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的題目中，并求解.已知，且滿足條件___________.(1)求的值；(2)若，且，求的值.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）若，，且，，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知為銳角，，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·四川南充·階段練習(xí)）已知，其中.(1)求的值；(2)求的值；(3)設(shè)，且，求的值.4．（23-24高一下·上海閔行·階段練習(xí)）已知.(1)求的值；(2)求.高頻考點(diǎn)五：半角公式典型例題1．（2024·湖南邵陽·二模）已知為銳角，若，則（

）高頻考點(diǎn)六：萬能公式典型例題1．（23-24高三下·河北張家口·開學(xué)考試）已知，是第四象限角，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·安徽合肥·期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2024高三·上?！ｎ}練習(xí)）已知，求.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知，且，則的值為（

）A．3 B．2C． D．2．（23-24高一下·上?！ふn時(shí)練習(xí)）已知，.3．（23-24高三下·北京海淀·期中）若，則.第四部分：新定義題1．（23-24高一上·貴州貴陽·期末）在推導(dǎo)很多三角恒等變換公式時(shí)，我們可以利用平面向量的有關(guān)知識(shí)來研究，在一定程度上可以簡(jiǎn)化推理過程.如我們就可以利用平面向量來推導(dǎo)兩角差的余弦公式:具體過程如下：如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓O，以為始邊作角.它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A，B．則由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有：設(shè)的夾角為θ，則另一方面，由圖3.1—3（1）可知，；由圖可知，.于是.所以，也有，所以，對(duì)于任意角有：（）此公式給出了任意角的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡(jiǎn)記作.有了公式以后，我們只要知道的值，就可以求得的值了.閱讀以上材料，利用下圖單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)（圖中M是AB的中點(diǎn)），采取類似方法（用其他方法解答正確同等給分）解決下列問題：（1）判斷是否正確？（不需要證明）（2）證明：（3）利用以上結(jié)論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.第04講簡(jiǎn)單的三角恒等變換目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3高頻考點(diǎn)一：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) 3高頻考點(diǎn)二：三角函數(shù)求值問題（給角求值型） 5高頻考點(diǎn)三：三角函數(shù)求值問題（給值求值型） 8高頻考點(diǎn)四：三角函數(shù)求值問題（給值求角型） 12高頻考點(diǎn)五：半角公式 18高頻考點(diǎn)六：萬能公式 21第四部分：新定義題 24第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、半角公式（1）.（2）.（3）.2、萬能公式（拓展視野）（1）（2）（3）其中3、和差化積公式（拓展視野）4、積化和差公式（拓展視野）第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅱ卷）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【詳解】因?yàn)?，而為銳角，解得：．故選：D．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)典型例題1．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正切的倍角公式求得，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，計(jì)算即可.【詳解】，故；則.故選：C.2．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)求值：(1)；(2)；(3)已知，，求的值．【答案】(1)4(2)1(3)【分析】（1）由二倍角公式，利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)即可得出答案；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得出答案；（3）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的余弦公式求解即可得出答案.【詳解】（1）.（2）.（3）已知，，，，所以，.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）求值；(1)(2)【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式，逆用和角的正弦公式求解即得.（2）利用二倍角公式，湊特殊角的方法化簡(jiǎn)即得.【詳解】（1）.（2）.2．（23-24高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）（1）求的值；（2）已知，求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可得解；（2）利用換元法與輔助角公式、同角的基本關(guān)系式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，從而得解.【詳解】（1）.（2）令，當(dāng)時(shí)，，故，即，又，所以，故，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以的值域?yàn)?高頻考點(diǎn)二：三角函數(shù)求值問題（給角求值型）典型例題1．（2024·陜西西安·一模）等于（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】利用兩角和的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】.故選：C2．（多選）（23-24高一上·浙江寧波·期末）下列式子化簡(jiǎn)正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合兩角差的正弦公式可判斷A選項(xiàng)；利用輔助角公式可判斷B選項(xiàng)；利用兩角差的正切公式可判斷C選項(xiàng)；利用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角的正弦公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì).故選：BD.3．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）求下列各式的值.(1);(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合正切的倍角公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合正弦的倍角公式和兩角差的正弦公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】（1）解：由正切的倍角公式，可得.（2）解：由.練透核心考點(diǎn)1．（多選）（22-23高一下·江蘇連云港·期中）計(jì)算下列各式，結(jié)果為的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)輔助角公式即可求解A，根據(jù)正切的和差角公式即可求解BC，根據(jù)二倍角公式即可求解D.【詳解】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B正確．對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤；故選：AB．2．（多選）（23-24高一上·湖南長(zhǎng)沙·期末）下列各式中值為1的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對(duì)于A項(xiàng)，逆用兩角和的正切公式計(jì)算即得；對(duì)于B項(xiàng)，利用二倍角的正弦公式即得；對(duì)于C項(xiàng)，利用二倍角的余弦公式即得；對(duì)于D項(xiàng)，利用誘導(dǎo)公式和同角的基本關(guān)系式計(jì)算即得.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，故A項(xiàng)符合；對(duì)于B項(xiàng)，,故B項(xiàng)符合；對(duì)于C項(xiàng)，，故C項(xiàng)不符合；對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)符合.故選：ABD.3．（2024高一下·湖南株洲·競(jìng)賽）．【答案】【分析】利用二倍角公式及和差角公式計(jì)算可得.【詳解】.故答案為：高頻考點(diǎn)三：三角函數(shù)求值問題（給值求值型）典型例題1．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩角差的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)求得答案.【詳解】由，得，.故選：B.2．（2024·湖南衡陽·二模）已知，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式，二倍角公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系，結(jié)合角的取值范圍，可求角的正切值.【詳解】由，所以或.又，所以.所以.故選：A3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為第二象限角，則．【答案】【分析】由及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得，再根據(jù)并結(jié)合兩角和的正弦公式即可得解．【詳解】，，，為第二象限角，，，．故答案為：4．（23-24高一下·山東德州·階段練習(xí)）已知.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用同角基本關(guān)系式與角的范圍求得，再利用兩角差的余弦公式即可得解；（2）利用同角基本關(guān)系式與角的范圍求得，再利用兩角和的正弦公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，，則，所以.（2）因?yàn)?，所以，又，所以，所?練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系和兩角和的正弦公式進(jìn)行計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所?故選：C2．（2024·貴州畢節(jié)·二模）若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先判斷，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，最后由二倍角余弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，解得或（舍去），又，解得或，又，所以，所以，所?故選：B3．（23-24高三下·上海松江·階段練習(xí)）若，則.【答案】【分析】利用兩角差的正切公式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：.4．（23-24高一下·吉林·階段練習(xí)）設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則．【答案】【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)性求出，進(jìn)而利用差角的余弦求解即得.【詳解】依題意，函數(shù)，其中銳角滿足，當(dāng)時(shí)，，因此，所以.故答案為：高頻考點(diǎn)四：三角函數(shù)求值問題（給值求角型）典型例題1．（23-24高一下·吉林·階段練習(xí)）已知，，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正切的倍角公式求得，再結(jié)合正切的和角公式求得，結(jié)合的范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】；，又，，故，，又，，故，則.故選：B.2．（2024·江西九江·二模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到方程組，即可求出、，再求出即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，解得，所以，又，所以，所?故選：A3．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知，，，(1)求證：；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）化切為弦，得到，證明出結(jié)論；（2）由正弦差角公式得到，結(jié)合（1）中的求出答案；（3）先得到，利用正弦和角公式得到，求出答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，；?）因?yàn)樗裕桑?）知，故，解得，故；（3）因?yàn)?，，故，所以，所以，，所以，?4．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）在條件：①；②；③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的題目中，并求解.已知，且滿足條件___________.(1)求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，先求出，再求齊次式的值.（2）先確定兩角和的取值范圍，再確定兩角和的三角函數(shù)值，可得角的大小.【詳解】（1）若選①，則原式可化為：.若選②，則，且，所以，所以.若選③，則且，所以，所以.所以總有.所以.（2）由（1）可知，，，且，又，且，所以，所以：，且.所以.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）若，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出、，再由利用兩角和的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，則，所以，又，所以，又，所以，于是，又，則.故選：B.2．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知為銳角，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意求出及，然后再由從而可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，則，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，故C正確.故選：C.3．（23-24高一下·四川南充·階段練習(xí)）已知，其中.(1)求的值；(2)求的值；(3)設(shè)，且，求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)已知條及兩角和的正切公式即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及誘導(dǎo)公式，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系即可求解；（3）根據(jù)已知條件及（1）的結(jié)論，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及湊角法，結(jié)合兩角差的正弦公式即可求解.【詳解】（1）由，得，解得.（2）由（1）知，，.（3）因?yàn)?，，所?因?yàn)?，所以，，所?所以,因?yàn)?，所?4．（23-24高一下·上海閔行·階段練習(xí)）已知.(1)求的值；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦公式，求得的值．（2）根據(jù)（1）求出，利用角的范圍確定的值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，所以則；（2）因?yàn)樗裕桑?）可得，故.高頻考點(diǎn)五：半角公式典型例題1．（2024·湖南邵陽·二模）已知為銳角，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平方關(guān)系以及半角公式（二倍角公式）運(yùn)算即可求解.【詳解】已知為銳角，若，則，所以.故選：A.2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角是第二象限角，且終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)已知條件求出和的值，再利用求解即可.【詳解】∵角是第二象限角，且終邊經(jīng)過點(diǎn)，∴，，∴.故選：C．3．（23-24高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知，，則.【答案】【分析】首先由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再由半角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?故答案為：4．（22-23高三上·河北石家莊·期末）已知，則.【答案】【分析】利用半角公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，故答案為?練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】借助，得出與所處區(qū)間及象限，結(jié)合三角恒等變換公式即可得.【詳解】，，，故，又，.故選：D.2．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，，，均為銳角，則=（）A． B．C． D．【答案】B【分析】運(yùn)用同角三角函數(shù)平方關(guān)系、二倍角公式及角的配湊求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所?故選：B.3．（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知，，則．【答案】/【分析】根據(jù)求得，利用半角公式求出即得.【詳解】由可知，故．故答案為：.4．（22-23高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知，角的終邊在第一象限，求的值．【答案】【分析】先求出，根據(jù)半角公式得出的值．【詳解】解：因?yàn)?，角的終邊在第一象限，所以，所以.高頻考點(diǎn)六：萬能公式典型例題1．（23-24高三下·河北張家口·開學(xué)考試）已知，是第四象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，即可根據(jù)同角關(guān)系得，進(jìn)而即可由半角公式求解.【詳解】由可得，故，由于是第四象限角，故，∴．故選：D．2．（23-24高二下·安徽合肥·期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、倍角正弦公式得，結(jié)合萬能公式