2024-2025學年高考數(shù)學一輪復習專題7.5數(shù)列的綜合應用知識點講解含解析

專題7.5數(shù)列的綜合應用【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1.理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，駕馭等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式及其應用.2.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.3.會用數(shù)列的等差關系或等比關系解決實際問題.4.本節(jié)涉及全部的數(shù)學核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等.5.高考預料：（1）依據(jù)數(shù)列的遞推式或者通項公式確定基本量，選擇合適的方法求和，進一步證明不等式（2）數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合.6.備考重點:（1）敏捷選用數(shù)列求和公式的形式，關注應用公式的條件；（2）熟識分組求和法、裂項相消法及錯位相減法；（3)數(shù)列求和與不等式證明、不等式恒成立相結(jié)合求解參數(shù)的范圍問題.【學問清單】學問點1．等差數(shù)列和等比數(shù)列比較等差數(shù)列等比數(shù)列定義＝常數(shù)＝常數(shù)通項公式判定方法(1)定義法；(2)中項公式法：?為等差數(shù)列；(3)通項公式法：(為常數(shù),)?為等差數(shù)列；(4)前n項和公式法：(為常數(shù),)?為等差數(shù)列；(5)為等比數(shù)列，且，那么數(shù)列(，且)為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項公式法：()?為等比數(shù)列(3)通項公式法：(均是不為0的常數(shù)，)?為等比數(shù)列(4)為等差數(shù)列?(總有意義)為等比數(shù)列性質(zhì)(1)若，，，，且，則(2)(3)SKIPIF1<0，…仍成等差數(shù)列(1)若，，，，且，則(2)(3)等比數(shù)列依次每項和()，即SKIPIF1<0，…仍成等比數(shù)列前n項和時，；當時，或.學問點2．數(shù)列求和1.等差數(shù)列的前和的求和公式：.2．等比數(shù)列前項和公式一般地，設等比數(shù)列的前項和是，當時，或；當時，（錯位相減法）.3.數(shù)列前項和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差數(shù)列中，；③等比數(shù)列中，.【典例剖析】高頻考點一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題【典例1】（浙江省杭州市其次中學2025屆高三）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設公比為.由，，成等差數(shù)列，可得，所以，則，解(舍去)或.所以.故選A.【典例2】（2024·全國高考真題（文））已知等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，且，，.（1）若，求的通項公式；（2）若，求.【答案】（1）；（2）5或.【解析】設等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為有，即.（1）∵，結(jié)合得，∴.（2）∵，解得或3，當時，，此時；當時，，此時.【總結(jié)提升】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標，為最終解決問題設置中間問題，例如求和須要先求出通項、求通項須要先求出首項和公差(公比)等，確定解題的依次．(2)留意細微環(huán)節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，假如等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等，這些細微環(huán)節(jié)對解題的影響也是巨大的．【變式探究】1.（2024年9月浙江省嘉興市高三測試）已知是公差為的等差數(shù)列，為其前項和，若，，成等比數(shù)列，則_____，當_______時，取得最大值．【答案】19.10.【解析】因為，，成等比數(shù)列，所以，又是公差為的等差數(shù)列，所以，即，解得，所以，因此，當時，取得最大值．故答案為(1).19.(2).10.2.（2024·天津高考模擬（理））已知數(shù)列滿意（為實數(shù)，且），，，，且，，成等差數(shù)列．（Ⅰ）求的值和的通項公式；（Ⅱ）設，，求數(shù)列的前項和．【答案】（Ⅰ），;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由已知，有，即所以．又因為，故，由，得．當時，；當時，．所以，的通項公式為．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．設的前項和為，則，，上述兩式相減，得整理得，，，所以．所以，數(shù)列的前項和為，．【易錯提示】1.利用裂項相消法解決數(shù)列求和問題，簡單出現(xiàn)的錯誤有兩個方面：(1)裂項過程中易忽視常數(shù)，如簡單誤裂為，漏掉前面的系數(shù)；(2)裂項之后相消的過程中簡單出現(xiàn)丟項或添項的問題，導致計算結(jié)果錯誤．2.應用錯位相減法求和時需留意：（1）給數(shù)列和Sn的等式兩邊所乘的常數(shù)應不為零，否則需探討；（2）在轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的和后，求其和時需看準項數(shù)，不肯定為n.高頻考點二數(shù)列與函數(shù)的綜合【典例3】（2025屆浙江省名校新高考探討聯(lián)盟(Z20聯(lián)盟)高三上學期第一次聯(lián)考）已知數(shù)列滿意：，．則下列說法正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】考察函數(shù)，由可得在單調(diào)遞增，由可得在單調(diào)遞減且，可得，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，如圖所示：且，，圖象可得，所以，故選B.【典例4】（2014·四川高考真題（理））設等差數(shù)列的公差為，點在函數(shù)的圖象上（）.（1）若，點在函數(shù)的圖象上，求數(shù)列的前項和；（2）若，函數(shù)的圖象在點處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】.（1），所以.（2）將求導得，所以在處的切線為，令得，所以，.所以，其前項和①兩邊乘以2得：②②－①得：，所以.【總結(jié)提升】數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：①知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象探討數(shù)列問題；②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形．【變式探究】1.（2024·浙江高考模擬）已知數(shù)列{an}的首項a1=1，前n項和為Sn，且an+1=Sn+n+1（n∈N+）（Ⅰ）求證數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列；（Ⅱ）設數(shù)列{}的前n項和為Tn，求證：．（Ⅲ）設函數(shù)，令，求數(shù)列{bn}的通項公式，并推斷其單調(diào)性．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】（Ⅰ）證明：an+1=Sn+n+1，可得當n≥2時，an=Sn﹣1+n，兩式相減可得，an+1﹣an=an+1，可得an+1+1=2（an+1），n≥2，由a1+1=2，a2+1=4，可得數(shù)列{an+1}為公比為2的等比數(shù)列；（Ⅱ）an+1=2?2n﹣1=2n，即有an=2n﹣1，當n=1時，T1=1，當n=2時，T2=1+，當n=3時，T3=1++=明顯有；n＞3時，Tn=1++++…+＜1+++（++…+）=1+++＜1+++=1++＜1++=；（Ⅲ）設函數(shù)，令，f′n（x）=an+2an﹣1x+…+na1xn﹣1，則bn=f′n（1）=an+2an﹣1+…+na1=（2n﹣1）+2（2n﹣1﹣1）+3（2n﹣2﹣1）+…+n（21﹣1）=2n+2?2n﹣1+3?2n﹣2+…+n?21﹣．令A=2n+2?2n﹣1+3?2n﹣2+…+n?21，A=2n﹣1+2?2n﹣2+3?2n﹣3+…+n?20，兩式相減可得，A=2n+2n﹣1+2n﹣2+…+2﹣n=2n+1﹣n﹣2，即A=2n+2﹣2n﹣4，bn=2n+2﹣2n﹣4﹣=2n+2﹣n2﹣n﹣4，{bn}遞增，只需證明當n為自然數(shù)時，bn+1﹣bn=2n+2﹣n﹣3＞0．當n=1時，2n+2﹣n﹣3=4＞0，假設n=k時，2k+2﹣k﹣3＞0，則當n=k+1時，2k+3﹣k﹣4=（2k+2﹣k﹣3）+（2k+2﹣1）＞0恒成立，綜上可得，當n為一切自然數(shù)時，bn+1＞bn．即數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列．2.（2024·上海高考真題）依據(jù)預料，某地第個月共享單車的投放量和損失量分別為和（單位：輛），其中，，第個月底的共享單車的保有量是前個月的累計投放量與累計損失量的差.（1）求該地區(qū)第4個月底的共享單車的保有量；（2）已知該地共享單車停放點第個月底的單車容納量（單位：輛）.設在某月底，共享單車保有量達到最大，問該保有量是否超出了此時停放點的單車容納量？【答案】（1）935；（2）見解析.【解析】（1）（2），即第42個月底，保有量達到最大，∴此時保有量超過了容納量.高頻考點三數(shù)列與不等式的綜合【典例5】（2024年9月浙江省超級全能生高三聯(lián)考）已知等比數(shù)列的公比，且為，的等比中項，為，的等差中項.（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）設數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】（Ⅰ）由題意得則解得.（Ⅱ）由題知，則.當時，；當時，，故，綜上所述，.【典例6】（2025屆浙江省臺州五校高三上學期聯(lián)考）已知函數(shù).（Ⅰ）求方程的實數(shù)解；（Ⅱ）假如數(shù)列滿意，（），是否存在實數(shù)，使得對全部的都成立？證明你的結(jié)論．（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設數(shù)列的前項的和為，證明：．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）存在使得;（Ⅲ）見解析.【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在使得．證法1：因為，當時，單調(diào)遞減，所以．因為，所以由得且．下面用數(shù)學歸納法證明．因為，所以當時結(jié)論成立．假設當時結(jié)論成立，即．由于為上的減函數(shù)，所以，從而，因此，即．綜上所述，對一切，都成立，即存在使得．證法2：，且是以為首項，為公比的等比數(shù)列.所以.易知，所以當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，即存在，使得.（Ⅲ）證明：由（2），我們有，從而.設，則由得.由于，因此n=1，2，3時，成立，左邊不等式均成立．當n>3時，有，因此．從而．即．解法2:由（Ⅱ）可知，所以，所以所以所以當為偶數(shù)時，；所以當為奇數(shù)時，即.(其他解法酌情給分)【總結(jié)提升】1.數(shù)列型不等式的證明常用到“放縮法”，一是在求和中將通項“放縮”為“可求和數(shù)列”；二是求和后再“放縮”．放縮法常見的放縮技巧有：(1)eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1))).(2)eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＜eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k).(3)2(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＜eq\f(1,\r(n))＜2(eq\r(n)－eq\r(n－1))．2.數(shù)列中不等式恒成立的問題數(shù)列中有關項或前n項和的恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題；求項或前n項和的不等關系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解．【變式探究】1.（2024·山東高三下學期開學）已知數(shù)列滿意．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】（1）解：，①當時，．當時，，②由①-②，得，因為符合上式，所以．（2）證明：因為，所以．2．（2024·福建高考模擬（理））已知數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的前項和；（2）設，數(shù)列的前項和為，求證.【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）因為①，所以當時，②，①-②得，，即，又因為，即，所以，即數(shù)列是以為首項，公比的等比數(shù)列，所以，，則.（2）由（1）得，所以，則，則，所以.因為，所以.又，當時，取得最小值為，所以，即.高頻考點四數(shù)列與充要條件

【典例7】（2025屆浙江省寧波市鄞州中學高三下期初）已知等比數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設等比數(shù)列公比為，當時，，當時，，，所以“”是“”的充要條件.故選:C.【典例8】（2024·浙江高三）等差數(shù)列{an}的公差為d，a1≠0，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則“d＝0”是“Z”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】等差數(shù)列{an}的公差為d，a1≠0，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若d＝0，則{an}為常數(shù)列，故an=，即?“Z”，當Z時，d不肯定為0，例如，數(shù)列1，3，5，7，9，11中，4，d＝2，故d＝0是Z的充分不必要條件．故選：A．【規(guī)律方法】充要關系的幾種推斷方法(1)定義法：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分而不必要條件；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要而不充分條件；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要條件；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的既不充分也不必要條件.(2)等價法：即利用與；與；與的等價關系，對于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運用等價法．(3)集合關系法：從集合的觀點理解，即若滿意命題p的集合為M，滿意命題q的集合為N，則M是N的真子集等價于p是q的充分不必要條件，N是M的真子集等價于p是q的必要不充分條件，M＝N等價于p和q互為充要條件，M，N不存在相互包含關系等價于p既不是q的充分條件也不是q的必要條件【變式探究】1.（2025屆浙江寧波市高三上期末）已