第二章相交線與平行線章末檢測卷-2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊高頻考點專題突破（北師大版）

第二章相交線與平行線章末檢測卷（北師大版）姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分120分，考試時間90分鐘，試題共26題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2021·安徽長豐·七年級期末）下列圖形中，有關(guān)角的說法正確的是（）A．∠1與∠2是同位角B．∠3與∠4是內(nèi)錯角C．∠3與∠5是對頂角D．∠4與∠5相等【答案】C【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、對頂角的定義判斷即可求解．【詳解】A、∠1與∠2不是同位角，原說法錯誤，故此選項不符合題意；B、∠1與∠4不是內(nèi)錯角，原說法錯誤，故此選項不符合題意；C、∠3與∠5是對頂角，原說法正確，故此選項符合題意；D、∠4與∠5不相等，原說法錯誤，故此選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查同位角、內(nèi)錯角、對頂角的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三線八角的定義及其區(qū)分．2．（2021·山東寒亭·七年級期中）一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次轉(zhuǎn)彎后，在與原來相同的方向上平行行駛，那么汽車兩次轉(zhuǎn)彎的角度可能是（）A．第一次右轉(zhuǎn)，第二次左轉(zhuǎn) B．第一次左轉(zhuǎn)，第二次右轉(zhuǎn)C．第一次左轉(zhuǎn)，第二次左轉(zhuǎn) D．第一次右轉(zhuǎn)，第二次右轉(zhuǎn)【答案】B【分析】依照題意畫出圖形，根據(jù)平行線的判定判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、如圖，∵∠1＝40°，∠2＝60°，∴∠1≠∠2，∴兩次轉(zhuǎn)彎后，現(xiàn)在的方向與原來的方向不平行，故A選項錯誤；B、如圖，∵∠1＝30°，∠2＝30°，∴∠1＝∠2，∴兩次轉(zhuǎn)彎后，現(xiàn)在的方向與原來的方向平行，故B選項正確；C、如圖，∵兩次都是向左轉(zhuǎn)，∴兩次轉(zhuǎn)彎后，現(xiàn)在的方向與原來的方向不平行，故C選項錯誤；D、如圖，∵兩次都是向右轉(zhuǎn)，∴兩次轉(zhuǎn)彎后，現(xiàn)在的方向與原來的方向不平行，故D選項錯誤；故選：B．【點睛】本題考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)行駛方向得出∠1＝∠2．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，依照題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是關(guān)鍵．3．（2021·山西廣靈·七年級期中）繪圖員畫圖時經(jīng)常使用丁字尺，丁字尺分尺頭、尺身兩部分，尺頭的里邊和尺身的上邊應(yīng)平直，并且一般互相垂直，也有把尺頭和尺身用螺栓連接起來，可以轉(zhuǎn)動尺頭，使它和尺身成一定的角度．用丁字尺畫平行線的方法如下面的三個圖所示．畫直線時要按住尺身，推移丁字尺時必須使尺頭靠緊圖畫板的邊框．請你說明：利用丁字尺畫平行線的理論依據(jù)是什么？

A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 D．兩直線平行，同位角相等【答案】A【分析】根據(jù)平行線的判定條件即可得到答案.【詳解】解：由題意可知：畫直線時要按住尺身，推移丁字尺時必須使尺頭靠緊圖畫板的邊框由此可見畫直線時，是保持著一定的角度進(jìn)行的即根據(jù)同位角相等，兩直線平行來畫平行直線的，故選A.【點睛】本題主要考查了平行線的判定條件，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的判定條件.4．（2021·河南中原·七年級期末）如圖，直線a，b被直線c所截，a∥b，則下列結(jié)論不正確的是（）A．∠3+∠5＝180° B．∠2＝∠4 C．∠2＝∠5 D．∠5+∠1＝180°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)逐一判斷即可得解．【詳解】解：A、由a∥b，根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”可得∠3+∠5=180°，故A不符合題意；B、由a∥b，根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”可得∠2+∠4=180°，但∠2與∠4不一定相等，故B符合題意；C、由a∥b，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可得∠2=∠5，故C不符合題意；D、由a∥b，得到∠3+∠5=180°，又因為∠3=∠1，所以∠5+∠1=180°，故D不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”、“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解題的關(guān)鍵．5．（2021·河北·七年級期末）如圖，已知直線，的平分線交于點F，，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)推出，，然后結(jié)合角平分線的定義求解即可得出，從而得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，，∵的平分線交于點F，∴，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，理解并熟練運用平行線的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2021·山東招遠(yuǎn)·七年級期中）如圖，將矩形紙條ABCD折疊，折痕為EF，折疊后點C，D分別落在點C′，D′處，D′E與BF交于點G．已知∠BGD′＝26°，則∠α的度數(shù)是（）

A．77° B．64° C．26° D．87°【答案】A【分析】本題首先根據(jù)∠BGD′＝26°，可以得出∠AEG=∠BGD′＝26°,由折疊可知∠α=∠FED，由此即可求出∠α=77°．【詳解】解：由圖可知：AD∥BC∴∠AEG=∠BGD′＝26°,即：∠GED=154°，由折疊可知:∠α=∠FED，∴∠α==77°故選：A．【點睛】本題主要考察的是根據(jù)平行得性質(zhì)進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)化．7．（2021·山東青島·七年級期中）如圖，AB∥EF，則∠A，∠C，∠D，∠E滿足的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°【答案】C【分析】如圖，過點C作CG∥AB，過點D作DH∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，根據(jù)AB∥EF可得CG∥DH，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CDH＝∠DCG，進(jìn)而根據(jù)角的和差關(guān)系即可得答案．【詳解】如圖，過點C作CG∥AB，過點D作DH∥EF，∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E），∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°．故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；熟練掌握平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．8．（2021·浙江·溫州市南浦實驗中學(xué)八年級期中）一副三角板擺放如圖所示，斜邊FD與直角邊AC相交于點E，點D在直角邊BC上，且FDAB，∠B＝30°，則∠ADB的度數(shù)是（）A．95° B．105° C．115° D．125°【答案】B【分析】題意可知∠ADF＝45°，則由平行線的性質(zhì)可得∠B+∠BDF＝180°，求得∠BDF＝150°，從而可求∠ADB的度數(shù)．【詳解】解：由題意得∠ADF＝45°，∵，∠B＝30°，∴∠B+∠BDF＝180°，∴∠BDF＝180°﹣∠B＝150°，∴∠ADB＝∠BDF﹣∠ADF＝105°．故選：B【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．9．（2021·江蘇·常州實驗初中七年級期中）如圖，下列說法錯誤的是（）

A．如果∠AED＝∠C，則DE//BCB．如果∠1＝∠2，則BD//EFC．如果AB//EF，則∠FEC＝∠AD．如果∠ABC+∠BDE＝180°，則AB//EF【答案】D【分析】在復(fù)雜的圖形中具有相等關(guān)系或互補關(guān)系的兩角首先要判斷它們是否是同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，被判斷平行的兩直線是否由“三線八角”而產(chǎn)生的被截直線．【詳解】解：A、∠AED＝∠C，則DE//BC，故原選項正確，不符合題意；B、∠1＝∠2，則BD//EF，故原選項正確，不符合題意；C、AB//EF，則∠FEC＝∠A，故原選項正確，不符合題意；D、∠ABC+∠BDE＝180°，則BC//DE，故原選項錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，正確識別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵．10．（2021·湖南荷塘·七年級期末）①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線，點O在直線EF上，則．以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】如圖1所示，過點E作EF//AB，由平行線的性質(zhì)即可得到∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，則∠A+∠C+∠AEC=360°，故①錯誤；如圖2所示，過點P作PE//AB，由平行線的性質(zhì)即可得到∠A=∠APE=180°，∠C=∠CPE，再由∠APC=∠APE=∠CPE，即可得到∠APC=∠A∠C，即可判斷②；如圖3所示，過點E作EF//AB，由平行線的性質(zhì)即可得到∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，再由∠AEF+∠CEF=∠AEC，即可判斷③；由平行線的性質(zhì)即可得到，，再由，即可判斷④．【詳解】解：①如圖所示，過點E作EF//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//EF，∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=360°，又∵∠AEF+∠CEF=∠AEC，∴∠A+∠C+∠AEC=360°，故①錯誤；②如圖所示，過點P作PE//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//PE，∴∠A=∠APE=180°，∠C=∠CPE，又∵∠APC=∠APE=∠CPE，∴∠APC=∠A∠C，故②正確；③如圖所示，過點E作EF//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//EF，∴∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，又∵∠AEF+∠CEF=∠AEC，∴180°∠A+∠1=∠AEC，故③錯誤；④∵，∴，，∵，∴，∴，故④正確；故選B【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質(zhì)二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）11．（2021·河南正陽·七年級期中）現(xiàn)有2021條直線a1，a2，a3，…，a2021，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，則直線a1與a2021的位置關(guān)系是___．【答案】平行【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和規(guī)律得到：4條直線的位置關(guān)系為一個循環(huán)．【詳解】解：∵a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，∴a1⊥a2，a1⊥a3，a1∥a4，a1∥a5，依此類推，a1⊥a6，a1⊥a7，a1∥a8，a1∥a9，∵（20211）÷4＝505，∴a1∥a2021．故答案是：平行．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到直線位置關(guān)系的規(guī)律．12．（2021·全國·七年級單元測試）張雷同學(xué)從A地出發(fā)沿北偏東60°的方向行駛到B地，再由B地沿南偏西35°的方向行駛到C地，則∠ABC＝____度．【答案】25【分析】根據(jù)題意作出圖形即可判斷求解．【詳解】解：如圖所示，∵AD∥BE，∠1＝60°，∴∠ABE＝∠DAB＝60°，又∵∠CBE＝35°，∴∠ABC＝60°﹣35°＝25°．故答案為：25．【點睛】此題主要考查方位角的計算，涉及了平行線的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出圖形，即可進(jìn)行求解．13．（2021·廣東珠?！て吣昙壠谥校┤鐖D，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，則下列結(jié)論：①∠BOE＝70°；②OF平分∠BOD；③∠1＝∠2；④∠POB＝2∠3．其中正確的結(jié)論有______．（填序號）【答案】①②③【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和∠ABO=40°，由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，可計算出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可計算出∠BOC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出∠BOE的度數(shù)，可判斷①是否正確．根據(jù)OF⊥OE，由∠BOE的度數(shù)計算出∠BOF的度數(shù)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等的性質(zhì)，得到∠BOD的度數(shù)，可計算出∠3的度數(shù)，可得出結(jié)論②是否正確，由②中的結(jié)論可判斷③是否正確．根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得到∠OPB=90°，可計算出∠POB的度數(shù)，可得出④結(jié)論是否正確．【詳解】解：∵AB∥CD，∠ABO＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠B0E＝∠BOC＝＝70°，故結(jié)論①正確；∵OF⊥OE，∠B0E＝70°，∴∠BOF＝90°﹣70°＝20°，∵AB∥CD，∠ABO＝40°，∴∠BOD＝∠ABO＝40°，∴∠FOD＝∠BOD﹣∠BOF＝20°，∴∠BOF＝∠DOF，∴OF平分∠BOD，故結(jié)論②正確；由②的結(jié)論可得，∴∠1＝∠2＝20°，故結(jié)論③正確；∵OP⊥CD，∴∠OPB＝90°，∴∠POB＝90°﹣∠ABO＝50°，∵2∠3＝2×20°＝40°，∴∠POB≠2∠3，故結(jié)論④錯誤．故答案為：①②③．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，合理應(yīng)用平行線的性質(zhì)是解決本題關(guān)鍵．14．（2021·安徽瑯琊·七年級期末）一副直角三角尺按如圖①所示的方式疊放，現(xiàn)將含45°角三角尺固定不動，將含30°角的三角尺繞頂點順時針轉(zhuǎn)動，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行；如圖②，當(dāng)時，，則其他所有可能符合條件的度數(shù)為_____．【答案】45°或60°【分析】分三種情況進(jìn)行分析討論即可：當(dāng)AC∥DE時；當(dāng)BC∥AD時；當(dāng)BC∥DE時，分別求出即可．【詳解】解：當(dāng)AC∥DE時，∠BAD＝∠DAE＝45°；

當(dāng)BC∥AD時，∠DAB＝∠B＝60°；當(dāng)BC∥DE時，為題目所給情形；

綜上所述，當(dāng)兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，則∠BAD（0°＜∠BAD＜90°）其他所有可能符合條件的度數(shù)為：45°或60°，故答案為：45°或60°．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意得出多種情況分析討論是解本題的關(guān)鍵．15．（2021·遼寧建昌·七年級期末）一副三角板按如圖所示疊放在一起，其中點B、D重合，若固定三角形AOB，改變?nèi)前錋CD的位置（其中A點位置始終不變），下列條件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序號）【答案】①④【分析】分兩種情況，根據(jù)CD∥AB，利用平行線的性質(zhì)，即可得到∠BAD的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示：當(dāng)CD∥AB時，∠BAD=∠D=30°；如圖所示，當(dāng)AB∥CD時，∠C=∠BAC=60°，∴∠BAD=60°+90°=150°；∴∠BAD=150°或∠BAD=30°．故答案為：①④．【點睛】本題主要考查了平行線的判定，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由直線的平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．16.（2021.江蘇鎮(zhèn)江七年級期中）鎮(zhèn)江市旅游局為了亮化某景點，在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發(fā)出的光束自AM逆時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)；B燈發(fā)出的光束自BP逆時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動12°，B燈每秒轉(zhuǎn)動4°．B燈先轉(zhuǎn)動12秒，A燈才開始轉(zhuǎn)動．當(dāng)B燈光束第一次到達(dá)BQ之前，兩燈的光束互相平行時A燈旋轉(zhuǎn)的時間是．【答案】6秒或19.5秒.【解析】解：設(shè)A燈旋轉(zhuǎn)t秒，兩燈的光束平行①如圖，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；②如圖，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；故答案為：6秒或19.5秒．17．（2021·湖南岳陽·七年級期末）如圖，將一副三角板按如圖所示放置，，，，且，則下列結(jié)論中：①；②若平分，則有；③將三角形繞點旋轉(zhuǎn)，使得點落在線段上，則此時；④若，則．其中結(jié)論正確的選項有______．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】②③④【分析】①根據(jù)同角的余角相等得∠1=∠3，但不一定得45°；②都是根據(jù)角平分線的定義、內(nèi)錯角相等，兩條直線平行，可得結(jié)論；③根據(jù)對頂角相等和三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角得和，可得結(jié)論；④根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及同角的余角相等，可得結(jié)論．【詳解】解：①如圖，∵∠CAB=∠DAE=90°，即∠1+∠2=∠3+∠2+90°，∴∠1=∠3≠45°，故①不正確；②∵AD平分∠CAB，∴∠1=∠2=45°，∵∠1=∠3，∴∠3=45°，又∵∠C=∠B=45°，∴∠3=∠B，∴BC∥AE，故②正確；③將三角形ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使得點D落在線段AC上，則∠4=∠ADE∠ACB=60°45°=15°，故③正確；④∵∠3=2∠2，∠1=∠3，∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∴∠3=60°，又∠E=30°，設(shè)DE與AB交于點F，則∠AFE=90°，∵∠B=45°，∴∠4=45°，∴∠C=∠4，故④正確，故答案為：②③④．【點睛】本題主要考查了同角的余角相等、角平分線定義、平行線的判定的運用，解題關(guān)鍵是熟練掌握同角的余角相等及平行線的判定．18．（2021·貴州碧江·七年級期末）如圖①，已知，，的交點為，現(xiàn)作如下操作：第一次操作，分別作和的平分線，交點為；第二次操作，分別作和的平分線，交點為；第三次操作，分別作和的平分線，交點為……第次操作，分別作和的平分線，交點為．如圖②，若，則的度數(shù)是__________．【答案】【分析】先過作，根據(jù)，得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得到；先根據(jù)和的平分線交點為，運用圖①的結(jié)論，得出；同理可得；根據(jù)和的平分線，交點為，得出；據(jù)此得到規(guī)律，最后求得的度數(shù)即可．【詳解】解：如圖①，過作，，，，，，，由此可得：如圖②，和的平分線交點為，，和的平分線交點為，，和的平分線，交點為，，以此類推，，∴，當(dāng)時，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義以及平行線性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等的運用．解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，解題時注意：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．三、解答題（本大題共8小題，共66分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2021·北京八十中七年級期中）如圖，∠AOB內(nèi)有一點P．根據(jù)下列語句畫圖：（1）過點P作OB的垂線段，垂足為Q；（2）過點P作線段PC∥OB交OA于點C，作線段PD∥OA交OB于點D；（3）如果∠O=40°，那么∠DPQ=°；（4）比較PQ和PD的大?。篜QPD，依據(jù)是．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）；（4）；垂線段最短【分析】（1）利用三角板的直角，過點P作OA⊥PQ即可；（2）過點P畫線段PC∥OB交OA于點C，畫線段PD∥OA交OB于點D即可；（3）利用平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解．（4）根據(jù)直線外一點與直線上所有點的連線中垂線段距離最短即可求解.【詳解】如圖：（2）如圖：（3）∵AO∥PD，∴∠O=∠ODP=40°，∵PQ⊥BO，∴∠PQD=90°，∴∠DPQ=50°，故答案為：50°．（4）因為PQ⊥BO，所以；點到直線上所有連線中，垂線段距離最短.故答案為：垂線段最短.【點睛】本題主要考查了基本作圖的中的垂線和平行線的作法以及作一個角等于已知角，要求能夠熟練地運用尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡．20．（2021·山西廣靈·七年級期中）已知：如圖，，、分別平分與，且．求證：．證明：，．（）又∵、分別平分與，，．（）∵∠______＝∠______．（）∵，（）∴∠2＝______．（等量代換）∴______//______．（）【答案】等式的性質(zhì)；角平分線的定義；1；2；等量代換；已知；3；；；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】由，、分別平分與，可得∠1＝∠2，又由，得到，從而得到．【詳解】證明：，，（等式的性質(zhì)）又∵、分別平分與，，，（角平分線的定義）∵∠1＝∠2，（等量代換）∵，（已知）∴（等量代換）∴．（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）【點睛】本題主要考查了平行線的判定，角平分線的定義，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．21．（2021·黑龍江龍鳳·七年級期中）已知一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，分別結(jié)合下圖，試探索這兩個角的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（1）如圖1，AB∥EF，BC∥DE，與的關(guān)系是_____．（2）如圖2，AB∥EF，BC∥DE，與的關(guān)系是________________．（3）經(jīng)過上述證明，我們可以得到一個結(jié)論：（4）若兩個角的兩邊分別平行，且一個角比另一個角的倍少，則這兩個角分別是多少度？【答案】（1）；（2）；（3）如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補；（4）這兩個角分別是，或，．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及對頂角的性質(zhì)求解即可；（3）結(jié)合已知條件以及（1）（2）的結(jié)論求解即可；（4）設(shè)其中一個角為，根據(jù)（3）的結(jié)論，列方程求解即可．【詳解】解：（1）∵∴又∵∴∴；故答案為（2）∵∴又∵∴又∵∴；故答案為（3）如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補．（4）解：設(shè)其中一個角為，列方程得或，故或，所以或，答：這兩個角分別是，或，．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，涉及了一元一次方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)，得出結(jié)論，列方程求解即可．22．（2021·黑龍江龍鳳·七年級期中）已知：如圖，EF∥CD，．（1）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．（2）若平分，平分，且，求的度數(shù)．【答案】（1）平行，理由見解析；（2）80°【分析】（1）根據(jù)可得，再由可得由此即可證明；（2）由平行線的性質(zhì)可得，再由角平分線的定義可得，則，由此即可得到答案．【詳解】解：（1）．理由：，，又，，；（2），，平分，，∴，平分，．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定條件以及角平分線的定義．23．（2021·黑龍江·哈爾濱德強學(xué)校八年級期中）已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP∠APD=180°；（3）∠AND=45°．【分析】（1）首先過點P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補以及內(nèi)錯角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可證得∠PAB+∠CDP∠APD=180°；（3）先證明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的結(jié)論即可求解．【詳解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，過點P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，則∠DPQ=180°150°=30°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）∠PAB+∠CDP∠APD=180°，如圖，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°∠CDP，∵∠APD=∠APQ∠DPQ，∴∠APD=∠PAB(180°∠CDP)=∠PAB+∠CDP180°；∴∠PAB+∠CDP∠APD=180°；(3)設(shè)PD交AN于O，如圖，∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，由題知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，又∵∠POA+∠PAN=180°∠APO=90°，∴∠POA=∠PAB，∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=∠PDC，∴∠AND=180°∠NOD∠ODN=180°(∠PAB+∠PDC)，由(2)得∠PAB+∠CDP∠APD=180°，∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，∴∠AND=180°(∠PAB+∠PDC)=180°(180°+∠APD)=180°(180°+90°)=45°，即∠AND=45°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．24．（2021·山西·渾源縣教育科技局教研室七年級期中）已知：三角形ABC和三角形DEF位于直線MN的兩側(cè)中，直線MN經(jīng)過點C，且，其中，，，點E、F均落在直線MN上．（1）如圖1，當(dāng)點C與點E重合時，求證：；聰明的小麗過點C作，并利用這條輔助線解決了問題．請你根據(jù)小麗的思考，寫出解決這一問題的過程．（2）將三角形DEF沿著NM的方向平移，如圖2，求證：；（3）將三角形DEF沿著NM的方向平移，使得點E移動到點，畫出平移后的三角形DEF，并回答問題，若，則________．（用含的代數(shù)式表示）【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；．【分析】（1）過點C作，得到，再根據(jù)，，得到，進(jìn)而得到，最后證明；（2）先證明，再證明，得到，問題得證；（3）根據(jù)題意得到，根據(jù)（２）結(jié)論得到∠DEF=∠ECA=，進(jìn)而得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：（1）過點C作，，，，，，，，，；（2）解：，，又，，，，，，；（3）如圖三角形DEF即為所求作三角形．