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第7題導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用一、原題呈現(xiàn)【原題】若過點可以作曲線的兩條切線,則()A. B.C. D.【答案】D【解析】解法一:設(shè)過點的切線與曲線切于,對函數(shù)求導(dǎo)得,所以曲線在點處的切線方程為,即,由題意可知,點在直線上,所以,過點可以作曲線的兩條切線,則方程有兩個不同實根,令,則.當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增,且,當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減,所以,,如圖所示,當(dāng)直線與曲線的圖象有兩個交點時,當(dāng)時,直線與曲線的圖象有兩個交點.故選D.解法二:畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示,根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.故選D.【就題論題】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究確定的切線,注意等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用:切線有兩條切點有2個關(guān)于t的方程有2個不同實根直線與有2個交點.另外由解法二可知:點在曲線下方且在x軸上方時符合條件的切線有2條;點在曲線上或在x軸上或在x軸下方時符合條件的切線有1條;點在曲線上方時符合條件的切線不存在;若把題中的切線換成,點位置與切線條數(shù)有何關(guān)系,有興趣的同學(xué)可以探討一下.二、考題揭秘【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用,考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度:中等.【考情分析】導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高考的一個高頻考點,考查熱點主要有:求曲線在某點處的切線;求兩條曲線的公切線;確定滿足條件的曲線的條數(shù).【得分秘籍】(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是研究曲線的切線的基石,函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率.也就是說,曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率是.求以曲線上的點(x0,f(x0))為切點的切線方程的求解步驟:①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x);②求切線的斜率f′(x0);③寫出切線方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),并化簡.(2)研究曲線的公切線,一般是分別設(shè)出兩切點,寫出兩切線方程,然后再使這兩個方程表示同一條直線.(3)求曲線切線的條數(shù)一般是設(shè)出切點,由已知條件整理出關(guān)于t的方程,把切線條數(shù)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程的實根個數(shù)問題.【易錯警示】求導(dǎo)出錯,如一下幾個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較容易出錯:;(2)混淆在某點處的切線與過某點的切線,注意求曲線過某點的切線,一般是設(shè)出切點(x0,y0),解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0=f(x0),,\f(y1-y0,x1-x0)=f′(x0),))得切點(x0,y0),進(jìn)而確定切線方程.(3)對曲線的切線理解失誤,如誤認(rèn)為曲線的切線與曲線只有1個公共點,又如誤認(rèn)為不是曲線在處的切線方程.三、以例及類(以下所選試題均來自新高考Ⅰ卷地區(qū)2020年1-6月模擬試卷)單選題1.(2021廣東省肇慶市高三二模)曲線在處的切線方程為()A. B. C. D.2.(2021湖南省部分學(xué)校高三下學(xué)期聯(lián)考)函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為()A. B. C. D.3.(2021山東省濱州市高三二模)設(shè)曲線(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù))在點處的切線及直線和兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的四邊形有外接圓,則()A. B. C. D.14.(2021江蘇省鹽城市高三5月第三次模擬)韋達(dá)是法國杰出的數(shù)學(xué)家,其貢獻(xiàn)之一是發(fā)現(xiàn)了多項式方程根與系數(shù)的關(guān)系,如:設(shè)一元三次方程的3個實數(shù)根為,,,則,,.已知函數(shù),直線與的圖象相切于點,且交的圖象于另一點,則()A. B.C. D.5.(2021湖南省永州市高三下學(xué)期二模)曲線在處的切線過原點,則的方程是()A. B.C. D.6.(2021廣東省肇慶市高三下學(xué)期5月模擬)函數(shù)的圖像的切線斜率可能為()A. B. C. D.7.(2021河北省衡水中學(xué)高三第一次聯(lián)考)已知M為拋物線上一點,C在點M處的切線交C的準(zhǔn)線于點P,過點P向C再作另一條切線,則的方程為()A. B. C. D.8.(2021湖南省衡陽市高三下學(xué)期聯(lián)考)若函數(shù)與的圖象存在公切線,則實數(shù)a的最小值為()A. B. C. D.19.(2021江蘇省南通等七市2021屆高三下學(xué)期2月調(diào)研)已知曲線在,,兩點處的切線分別與曲線相切于,,則的值為()A.1 B.2 C. D.10.(2021江蘇省蘇州市常熟市高三抽測)已知兩曲線,,相交于點,若兩曲線在點處的切線互相垂直,則實數(shù)的值為()A.2 B. C. D.11.(2021山東省高考考前熱身押題)若,,,求的最小值為()A. B. C. D.12.(2021河北省邢臺市高考模擬)若曲線存在兩條垂直于y軸的切線,則m的取值范圍為()A. B. C. D.13.(2021福建省龍巖市高三三模)若直線是曲線的切線,也是曲線的切線,則()A. B. C. D.二、多選題14.(2021廣東省深圳市高三下學(xué)期二模)設(shè)函數(shù)和,其中是自然對數(shù)的底數(shù),則下列結(jié)論正確的為()A.的圖象與軸相切B.存在實數(shù),使得的圖象與軸相切C.若,則方程有唯一實數(shù)解D.若有兩個零點,則的取值范圍為15.(2021河北省邯鄲市高三三模)英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出了一種求方程近似根的方法——牛頓迭代平法,做法如下:如圖,設(shè)r是的根,選取作為r的初始近似值,過點作曲線的切線,則l與x軸的交點的橫坐標(biāo),稱是r的一次近似值;過點作曲線的切線,則該切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為x2,稱x2是r的二次近似值;重復(fù)以上過程,得r的近似值序列,其中,稱是r的n+1次近似值,這種求方程近似解的方法稱為牛頓迭代法.若使用該方法求方程的近似解,則()A.若取初始近似值為1,則該方程解的二次近似值為B.若取初始近似值為2,則該方程解的二次近似值為C.D.16.(2021河北省唐山市高三下學(xué)期第二次模擬)若直線與曲線相交于不同兩點,,曲線在A,點處切線交于點,則()A. B.C. D.存在,使得三、填空題17.(2021山東省百所名校高三下學(xué)期4份聯(lián)考)已知函數(shù),曲線在不同的三點,,處的切線均平行于軸,則的取值范圍是______.18.(2021江蘇
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