2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級上冊（華師版）教案 第23章圖形的相似23.3.3相似三角形的性質(zhì)

第23章圖形的相似23.3相似三角形3相似三角形的性質(zhì)教學(xué)目標1.掌握相似三角形對應(yīng)高、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線、周長、面積的性質(zhì).2.能利用相似三角形的性質(zhì)解決實際問題.教學(xué)重難點重點：掌握相似三角形對應(yīng)高、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線、周長、面積的性質(zhì).難點：能利用相似三角形的性質(zhì)解決實際問題.教學(xué)過程復(fù)習鞏固1.什么叫相似三角形？對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等的兩個三角形叫做相似三角形.2.什么叫相似比？相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比.3.判定三角形相似的方法：（1）平行于三角形一邊的直線，和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.（2）判定定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似.判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的的兩個三角形相似.判定定理3：三邊成比例的兩個三角形相似.4.相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，相似比等于對應(yīng)邊的比.導(dǎo)入新課【問題1】活動1（學(xué)生交流，教師點評）一個三角形中三類重要線段：高、中線、角平分線.思考：如果兩個三角形相似，除了對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等外，那么這些對應(yīng)線段有什么關(guān)系呢？相似三角形還有哪些性質(zhì)呢？教師引出課題：23.3相似三角形3相似三角形的性質(zhì)探究新知探究點一相似三角形對應(yīng)線段（高、中線、角平分線）的比【問題2】活動2（小組討論，師生互學(xué)）如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對應(yīng)高的比是多少？如圖，分別作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.則∠ADB＝∠A′D′B'＝90°.∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′（兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）.∴＝k.【結(jié)論】相似三角形的對應(yīng)邊上的高的比等于相似比.類似地，可以證明相似三角形對應(yīng)邊上的中線，對應(yīng)角的平分線之比也等于相似比.因而，相似三角形的對應(yīng)高、中線、角平分線的比等于相似比.一般來說，相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比.活動3（學(xué)生交流，教師點評）典例講解（師生互動）例1【探索思路】（引發(fā)學(xué)生思考）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)角平分線的比，列出比例式，從而求出線段EH的長.∵△ABC∽△DEF，∴（相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比），∴，解得EH＝3.2（cm），即EH的長為3.2cm.【即學(xué)即練】（師生互動）1.一個多邊形的邊長分別為2，3，4，5，6，另一個多邊形和這個多邊形相似，且最短邊長為6，則最長邊長為（）A.18B.12C.24D.30【解析】設(shè)這個多邊形的最長邊是x，則，解得x＝18.故選A.【答案】A探究點二相似三角形周長的比【問題3】活動4（小組討論，師生互學(xué)）如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對應(yīng)周長的比是多少？【解】因為△ABC∽△A'B'C'，相似比為k，所以，因此AB＝kA'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，從而.所以△ABC與△A'B'C′的周長比等于相似比.【結(jié)論】相似三角形周長的比等于相似比.【即學(xué)即練】2.已知△ABC與△DEF的相似比為3∶4，則△ABC與△DEF的周長的比為（）A.3∶4B.4∶3C.9∶16D.16∶9【解析】∵△ABC∽△DEF，且相似比為3∶4，又∵相似三角形的周長比等于相似比，∴它們的周長比為3∶4.【答案】A探究點三相似三角形面積的比【問題4】活動5（小組討論，師生互學(xué)）思考：兩個相似三角形的面積的比與相似比之間有什么關(guān)系呢？如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對應(yīng)面積的比是多少？分別作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.由前面的結(jié)論，我們有【結(jié)論】相似三角形面積的比等于相似比的平方.活動6（學(xué)生交流，教師點評）典例講解（師生互動）例2已知△ABC∽△DEF，eq\f(DE,AB)＝eq\f(2,3)，△ABC的周長是12cm，面積是30cm2.（1）求△DEF的周長；（2）求△DEF的面積.【探索思路】已知相似三角形的對應(yīng)邊的比，然后根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方列式計算即可.（1）∵△ABC∽△DEF，eq\f(DE,AB)＝eq\f(2,3)，∴△DEF的周長＝12×＝8（cm）.（2）∵△ABC∽△DEF，eq\f(DE,AB)＝eq\f(2,3)，∴△DEF的面積＝30×＝（cm2）.活動7拓展延伸（學(xué)生對學(xué)）例3如圖，△ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點E、H分別在AB、AC上.已知BC＝40cm，AD＝30cm.（1）求證：△AEH∽△ABC.（2）求這個正方形的邊長與面積.【探索思路】（1）利用平行于三角形一邊的直線截得的三角形與原三角形相似直接證得結(jié)論成立.（2）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比，面積比等于對應(yīng)邊的平方比可求解（1）∵四邊形EFGH是正方形，∴EH∥FG，即EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.（2）如圖，HE與AD交于點P，由（1）知△AEH∽△ABC，∴.∵AD是BC邊上的高，∴四邊形EFDP是矩形，∴PD＝EF.∵EF＝FG＝GH＝EH，∴AP＝AD-PD＝AD-EF＝AD-EH.∴.解得EH＝（cm），∴EH2＝＝（cm2）.∴這個正方形的邊長為cm，面積為cm2.【題后總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點評）解決此類問題的關(guān)鍵是：利用觀察法和圖形的性質(zhì)找出隱含條件（如公共角、公共邊等）以及相似三角形的對應(yīng)邊，利用相似三角形的性質(zhì)及正方形的面積公式求出相關(guān)的線段，從而使問題得到解決.課堂練習1.如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.D.2.如圖所示，在△ABC中，D，E分別是AB，BC上的點，且DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶4，則∶＝（）A.1∶16B.1∶18C.1∶20D.1∶243.在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面積分別為4和9，求△ABC的面積.4.如圖，已知△ABC是面積為的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC與DE相交于點F，則△AEF的面積等于多少？（結(jié)果保留根號）參考答案1.C【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴.∵，∴.故A，B選項均錯誤.∵△ADE∽△ABC，2.C【解析】∵S△BDE∶S△CDE＝1∶4，∴若設(shè)△BDE的面積為a，則△CDE的面積為4a.∵△BDE中BE邊上的高和△CDE中EC邊上的高都是點D到BC的距離，∴，∴.∵DE∥AC，∴△DBE∽△ABC，∴∶＝1∶25，∴＝25a4a＝20a，∴∶＝a∶20a＝1∶20.3.∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，∠ADE＝∠EFC，∠A＝∠CEF，∴△ADE∽△EFC.又∵S△ADE∶S△EFC＝4∶9，∴AE∶EC＝2∶3，則AE∶AC＝2∶5，∴S△ADE∶S△ABC＝4:25，∴S△ABC＝25.4.∵AB＝2AD，∴＝2.又∵△ABC∽△ADE，△ABC的面積為，∴＝＝22＝4，∴S△ADE＝.∵△ABC∽△ADE，△ABC是等邊三角形，∴△ADE也是等邊三角形，其面積為AE·AE·＝，即AE2＝，∴AE＝1.如圖，過點F作FG⊥AE于點G.∵∠BAD＝45°，∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠EAF＝45°，∴△AFG是等腰直角三角形.設(shè)AG＝FG＝h，則EG＝1-h.在Rt△FGE中，∵∠E＝60°，F(xiàn)G＝h，∴∠EFG＝30°，∴FG＝EG＝h，∴EG＝h，∴1-h＝h.解得h＝，∴S△AEF＝×1×＝.課堂小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點評）相似三角形的性質(zhì)：1.相似三角形對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等.2.相似三角形對應(yīng)邊上的高、對應(yīng)邊上的中線、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.3.相似三角形周長的比等于相似比.4.相似三角形面積的比等于相似比的平方.布置作業(yè)教材第72頁練習題第1，2，