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2024屆河南省開封五縣聯(lián)考高三3月月考(數(shù)學試題理)注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知正方體的體積為,點,分別在棱,上,滿足最小,則四面體的體積為A. B. C. D.2.已知向量,滿足,在上投影為,則的最小值為()A. B. C. D.3.在長方體中,,則直線與平面所成角的余弦值為()A. B. C. D.4.已知集合A={0,1},B={0,1,2},則滿足A∪C=B的集合C的個數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.15.已知,其中是虛數(shù)單位,則對應(yīng)的點的坐標為()A. B. C. D.6.總體由編號01,,02,…,19,20的20個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體,選取方法是隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個個體的編號為7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B.07 C.02 D.017.在正方體中,球同時與以為公共頂點的三個面相切,球同時與以為公共頂點的三個面相切,且兩球相切于點.若以為焦點,為準線的拋物線經(jīng)過,設(shè)球的半徑分別為,則()A. B. C. D.8.已知棱錐的三視圖如圖所示,其中俯視圖是等腰直角三角形,則該三棱錐的四個面中,最大面積為()A. B. C. D.9.如下的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的a,b分別為176,320,則輸出的a為()A.16 B.18 C.20 D.1510.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則()A. B.C. D.12.已知等差數(shù)列的前n項和為,且,,若(,且),則i的取值集合是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知圓,直線與圓交于兩點,,若,則弦的長度的最大值為_______.14.如果函數(shù)(,且,)在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么的最大值為__________.15.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點,則實數(shù)的取值范圍為______.16.甲、乙、丙、丁四名同學報名參加淮南文明城市創(chuàng)建志愿服務(wù)活動,服務(wù)活動共有“走進社區(qū)”、“環(huán)境監(jiān)測”、“愛心義演”、“交通宣傳”等四個項目,每人限報其中一項,記事件為“4名同學所報項目各不相同”,事件為“只有甲同學一人報走進社區(qū)項目”,則的值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某市為了鼓勵市民節(jié)約用電,實行“階梯式”電價,將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔,月用電量不超過度的部分按元/度收費,超過度但不超過度的部分按元/度收費,超過度的部分按元/度收費.(I)求某戶居民用電費用(單位:元)關(guān)于月用電量(單位:度)的函數(shù)解析式;(Ⅱ)為了了解居民的用電情況,通過抽樣,獲得了今年1月份戶居民每戶的用電量,統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖,若這戶居民中,今年1月份用電費用不超過元的占,求,的值;(Ⅲ)在滿足(Ⅱ)的條件下,若以這戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率,且同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點代替,記為該居民用戶1月份的用電費用,求的分布列和數(shù)學期望.18.(12分)如圖,四棱錐的底面中,為等邊三角形,是等腰三角形,且頂角,,平面平面,為中點.(1)求證:平面;(2)若,求二面角的余弦值大小.19.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若不等式對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖,在三棱錐中,平面平面,,.點,,分別為線段,,的中點,點是線段的中點.(1)求證:平面.(2)判斷與平面的位置關(guān)系,并證明.21.(12分)P是圓上的動點,P點在x軸上的射影是D,點M滿足.(1)求動點M的軌跡C的方程,并說明軌跡是什么圖形;(2)過點的直線l與動點M的軌跡C交于不同的兩點A,B,求以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點E的軌跡方程.22.(10分)已知橢圓C的中心在坐標原點,其短半軸長為1,一個焦點坐標為,點在橢圓上,點在直線上,且.(1)證明:直線與圓相切;(2)設(shè)與橢圓的另一個交點為,當?shù)拿娣e最小時,求的長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
由題意畫出圖形,將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面,可得當時最小,設(shè)正方體的棱長為,得,進一步求出四面體的體積即可.【詳解】解:如圖,
∵點M,N分別在棱上,要最小,將所在的面延它們的交線展開到與所在的面共面,三線共線時,最小,
∴
設(shè)正方體的棱長為,則,∴.
取,連接,則共面,在中,設(shè)到的距離為,
設(shè)到平面的距離為,
.
故選D.【點睛】本題考查多面體體積的求法,考查了多面體表面上的最短距離問題,考查計算能力,是中檔題.2、B【解析】
根據(jù)在上投影為,以及,可得;再對所求模長進行平方運算,可將問題轉(zhuǎn)化為模長和夾角運算,代入即可求得.【詳解】在上投影為,即又本題正確選項:【點睛】本題考查向量模長的運算,對于含加減法運算的向量模長的求解,通常先求解模長的平方,再開平方求得結(jié)果;解題關(guān)鍵是需要通過夾角取值范圍的分析,得到的最小值.3、C【解析】
在長方體中,得與平面交于,過做于,可證平面,可得為所求解的角,解,即可求出結(jié)論.【詳解】在長方體中,平面即為平面,過做于,平面,平面,平面,為與平面所成角,在,,直線與平面所成角的余弦值為.故選:C.【點睛】本題考查直線與平面所成的角,定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”,三步驟缺一不可,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
由可確定集合中元素一定有的元素,然后列出滿足題意的情況,得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2,所以符合要求的集合有,共4種情況,所以選A項.【點睛】考查集合并集運算,屬于簡單題.5、C【解析】
利用復(fù)數(shù)相等的條件求得,,則答案可求.【詳解】由,得,.對應(yīng)的點的坐標為,,.故選:.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,考查復(fù)數(shù)相等的條件,是基礎(chǔ)題.6、D【解析】從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數(shù)劃去大于20的數(shù)分別為:08,02,14,07,01,所以第5個個體是01,選D.考點:此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機數(shù)表法,考查學習能力和運用能力.7、D【解析】
由題先畫出立體圖,再畫出平面處的截面圖,由拋物線第一定義可知,點到點的距離即半徑,也即點到面的距離,點到直線的距離即點到面的距離因此球內(nèi)切于正方體,設(shè),兩球球心和公切點都在體對角線上,通過幾何關(guān)系可轉(zhuǎn)化出,進而求解【詳解】根據(jù)拋物線的定義,點到點的距離與到直線的距離相等,其中點到點的距離即半徑,也即點到面的距離,點到直線的距離即點到面的距離,因此球內(nèi)切于正方體,不妨設(shè),兩個球心和兩球的切點均在體對角線上,兩個球在平面處的截面如圖所示,則,所以.又因為,因此,得,所以.故選:D【點睛】本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化,拋物線幾何性質(zhì)的使用,內(nèi)切球的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化思想,直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)8、B【解析】
由三視圖可知,該三棱錐如圖,其中底面是等腰直角三角形,平面,結(jié)合三視圖求出每個面的面積即可.【詳解】由三視圖可知,該三棱錐如圖所示:其中底面是等腰直角三角形,平面,由三視圖知,因為,,所以,所以,因為為等邊三角形,所以,所以該三棱錐的四個面中,最大面積為.故選:B【點睛】本題考查三視圖還原幾何體并求其面積;考查空間想象能力和運算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.9、A【解析】
根據(jù)題意可知最后計算的結(jié)果為的最大公約數(shù).【詳解】輸入的a,b分別為,,根據(jù)流程圖可知最后計算的結(jié)果為的最大公約數(shù),按流程圖計算,,,,,,,易得176和320的最大公約數(shù)為16,故選:A.【點睛】本題考查的是利用更相減損術(shù)求兩個數(shù)的最大公約數(shù),難度較易.10、C【解析】
化簡得到,得到答案.【詳解】,故,對應(yīng)點在第三象限.故選:.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡和對應(yīng)象限,意在考查學生的計算能力.11、D【解析】
利用是偶函數(shù)化簡,結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性,比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù),,而,因為在上遞減,,即.故選:D【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
首先求出等差數(shù)列的首先和公差,然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d,由題知,,解得,,所以數(shù)列為,故.故選:C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè)為的中點,根據(jù)弦長公式,只需最小,在中,根據(jù)余弦定理將表示出來,由,得到,結(jié)合弦長公式得到,求出點的軌跡方程,即可求解.【詳解】設(shè)為的中點,在中,,①在中,,②①②得,即,,.,得.所以,.故答案為:.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、相交弦長的最值,解題的關(guān)鍵求出點的軌跡方程,考查計算求解能力,屬于中檔題.14、18【解析】
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),分一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系建立不等式,利用基本不等式求解即可.【詳解】解:①當時,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,即,則.②當時,,函數(shù)開口向上,對稱軸為,因為在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,因為,則,整理得,又因為,則.所以即,所以當且僅當時等號成立.綜上所述,的最大值為18.故答案為:18【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.15、【解析】
先求得與關(guān)于軸對稱的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點,即方程有解.對分成三種情況進行分類討論,由此求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為關(guān)于軸對稱的函數(shù)為,因為函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點,所以與的圖象有交點,方程有解.時符合題意.時轉(zhuǎn)化為有解,即,的圖象有交點,是過定點的直線,其斜率為,若,則函數(shù)與的圖象必有交點,滿足題意;若,設(shè),相切時,切點的坐標為,則,解得,切線斜率為,由圖可知,當,即時,,的圖象有交點,此時,與的圖象有交點,函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點,綜上可得,實數(shù)的取值范圍為.故答案為:【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求解函數(shù)的零點以及對稱性,函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識,考查學生分析問題,解決問題的能力,推理與運算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想和應(yīng)用意識.16、【解析】
根據(jù)條件概率的求法,分別求得,再代入條件概率公式求解.【詳解】根據(jù)題意得所以故答案為:【點睛】本題主要考查條件概率的求法,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2),;(3)見解析.【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意分段表示出函數(shù)解析式;(2)將代入(1)中函數(shù)解析式可得,即,根據(jù)頻率分布直方圖可分別得到關(guān)于的方程,即可得;(3)取每段中點值作為代表的用電量,分別算出對應(yīng)的費用值,對應(yīng)得出每組電費的概率,即可得到的概率分布列,然后求出的期望.試題解析:(1)當時,;當當時,;當當時,,所以與之間的函數(shù)解析式為.(2)由(1)可知,當時,,則,結(jié)合頻率分布直方圖可知,∴,(3)由題意可知可取50,150,250,350,450,550,當時,,∴,當時,,∴,當時,,∴,當時,,∴,當時,,∴,當時,,∴,故的概率分布列為25751402203104100.10.20.30.20.150.05所以隨機變量的數(shù)學期望18、(1)見解析;(2)【解析】
(1)設(shè)中點為,連接、,首先通過條件得出,加,可得,進而可得平面,再加上平面,可得平面平面,則平面;(2)設(shè)中點為,連接、,可得平面,加上平面,則可如圖建立直角坐標系,求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法可得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:設(shè)中點為,連接、,為等邊三角形,,,,,,即,,,平面,平面,平面,為的中位線,,平面,平面,平面,、為平面內(nèi)二相交直線,平面平面,平面DMN,平面;(2)設(shè)中點為,連接、為等邊三角形,是等腰三角形,且頂角,,、、共線,,,,,平面平面.平面平面平面,交線為,平面平面.設(shè),則在中,由余弦定理,得:又,,,,,為中點,,建立直角坐標系(如圖),則,,,.,,設(shè)平面的法向量為,則,,取,則,,平面的法向量為,,二面角為銳角,二面角的余弦值大小為.【點睛】本題考查面面平行證明線面平行,考查向量法求二面角的大小,考查學生計算能力和空間想象能力,是中檔題.19、(1)(2)【解析】
(1)按絕對值的定義分類討論去絕對值符號后解不等式;(2)不等式轉(zhuǎn)化為,求出在上的最小值即可,利用絕對值定義分類討論去絕對值符號后可求得函數(shù)最小值.【詳解】解:(1)或或解得或或無解綜上不等式的解集為.(2)時,,即所以只需在時恒成立即可令,由解析式得在上是增函數(shù),∴當時,即【點睛】本題考查解絕對值不等式,考查不等式恒成立問題,解決絕對值不等式的問題,分類討論是常用方法.掌握分類討論思想是解題關(guān)鍵.20、(1)見解析(2)平面.見解析【解析】
(1)要證平面,只需證明,,即可求得答案;(2)連接交于點,連接,根據(jù)已知條件求證,即可判斷與平面的位置關(guān)系,進而求得答案.【詳解】(1),為邊的中點,,平面平面,平面平面,平面,平面,,在內(nèi),,為所在邊的中點,,又,,平面.(2)判斷可知,平面,證明如下:連接交于點,連接.、、分別為邊、、的中點,.又是的重心,,,平面,平面,平面.【點睛】本題主要考查了求證線面垂直和線面平行,解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判定定理和線面平行判斷定理,考查了分析能力和空間想象能力,屬于中檔題.21、(1)點M的軌跡C的方程為,軌跡C是以,為焦點,長軸長為4的橢圓(2)【解析】
(1)設(shè),根據(jù)可求得,代入圓的方程可得所求軌跡方程;根據(jù)軌跡方程可知軌跡是以,為焦點,
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