2025屆高考數(shù)學二輪考前復(fù)習第一篇解透必考小題穩(wěn)拿分必須突破的17個熱點專題專題10函數(shù)與方程導(dǎo)數(shù)的幾何意義學案文含解析

PAGE專題10函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.巧用曲線、切線、切點(1)切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率;(2)切點在切線上;(3)切點在曲線上.2.處理函數(shù)與方程必記兩結(jié)論(1)若連綿不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù),則f(x)至多有一個零點.函數(shù)的零點不是一個“點”,而是方程f(x)=0的實根.(2)由函數(shù)y=f(x)(圖象是連綿不斷的)在閉區(qū)間[a,b]上有零點不肯定能推出f(a)·f(b)<0,如圖所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有零點的充分不必要條件.1.函數(shù)中的轉(zhuǎn)化思想(1)方程f(x)-g(x)=0解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)y=f(x),y=g(x)圖象交點的個數(shù)問題;(2)已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題.2.推斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法(1)通過解方程來推斷.(2)依據(jù)零點存在性定理,結(jié)合函數(shù)性質(zhì)來推斷.(3)將函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象公共點的個數(shù)1.對f′(x0)與f′(x)理解有誤【案例】T1,應(yīng)先求導(dǎo)再求函數(shù)值,同時要留意f′(1)是常數(shù).2.忽視切點的位置【案例】T4求曲線的切線方程要留意分清已知點是否是切點.若已知點是切點,則可通過點斜式干脆寫方程,若已知點不是切點,則需設(shè)出切點.3.忽視了“至少有一個零點”與“零點存在性定理”的不等價致錯【案例】T10,錯解是因為對至少一個零點理解不透徹,至少有一個零點即有一個或多個零點,結(jié)合函數(shù)對稱軸及判別式即可求解.考向一函數(shù)零點的應(yīng)用【典例】(2024·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)fQUOTE=QUOTEgQUOTE=fQUOTE+x+a①,若gQUOTE存在2個零點②,則a的取值范圍是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTED.QUOTE①分段函數(shù),函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合②零點轉(zhuǎn)化為圖象交點考向二導(dǎo)數(shù)的幾何意義【典例】(2024·全國Ⅲ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTE.若f′(1)=QUOTE,則a=________.

1.已知函數(shù)f(x)=x2+2xf′(1),則f′(0)的值為()A.0 B.-4 C.-2 D.22.函數(shù)f(x)=lnQUOTE-QUOTE的零點所在的區(qū)間是 ()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4)3.函數(shù)f(x)=x+QUOTE在x=1處的切線方程為2x-y+b=0,則a+b= ()A.-3 B.-1 C.0 D.14.已知函數(shù)f(x)=x+QUOTE.若曲線y=f(x)存在兩條過(1,0)點的切線,則a的取值范圍是 ()A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,-1)∪(2,+∞)C.(-∞,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,+∞)5.我們處在一個有聲世界里,不同場合,人們對聲音的音量會有不同要求.音量大小的單位是分貝(dB),對于一個強度為I的聲波,其音量的大小η可由如下公式計算:η=10lgQUOTE(其中I0是人耳能聽到聲音的最低聲波強度),則70dB的聲音的聲波強度I1是60dB的聲音的聲波強度I2的 ()A.QUOTE倍 B.10QUOTE倍 C.10倍 D.lnQUOTE倍6.若函數(shù)f(x)=QUOTEx3+x2-ax在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,且在區(qū)間QUOTE上有零點,則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.(-∞,3]7.已知x0是函數(shù)f(x)=2x+QUOTE的一個零點,若x1∈(1,x0),x2∈(x0+∞),則 ()A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>08.已知α,β(α<β)是方程(x-a)(x-b)+2=0的兩根,其中a<b,則α,β,a,b的大小關(guān)系 ()A.a<α<β<b B.a<α<b<βC.α<a<b<β D.α<a<β<b9.定義域和值域均為[-a,a](常數(shù)a>0)的函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象如圖所示,方程g[f(x)]=0解的個數(shù)不行能是 ()A.1 B.2 C.3 D.410.若函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在(0,4)上至少有一個零點,則實數(shù)a的取值范圍為________.

11.已知函數(shù)f(x)=QUOTE,則f(f(0))=________;設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-kx存在3個零點,則實數(shù)k的取值范圍是________.

12.已知函數(shù)f(x)=QUOTE若關(guān)于x的方程f(x)=kx+1有3個互異的實數(shù)解,則實數(shù)k的取值范圍是________.

專題10函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)的幾何意義///真題再研析·提升審題力///考向一C因為g(x)=f(x)+x+a存在2個零點,即y=f(x)與y=-x-a有兩個交點,圖象如下:要使得y=-x-a與f(x)有兩個交點,則有-a≤1即a≥-1.考向二【解析】由函數(shù)的解析式可得:f′QUOTE=QUOTE=QUOTE,則f′(1)=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以a2-2a+1=0,解得:a=1.答案:1///高考演兵場·檢驗考試力///1.B由f(x)=x2+2xf′(1),得f′(x)=2x+2f′(1).所以f′(1)=2×1+2f′(1).所以f′(1)=-2.從而f′(x)=2x-4.所以f′(0)=-4.2.B因為f(1)=ln2-2<lne2-2=0,f(2)=ln3-1>lne-1=0,則f(1)f(2)<0,所以函數(shù)f(x)=lnQUOTE-QUOTE的零點所在區(qū)間是(1,2),當x>0,且x→0時,f(x)=lnQUOTE-QUOTE<0fQUOTE=lnQUOTE-QUOTE>lne-QUOTE>0,fQUOTE=lnQUOTE-QUOTE>lne-QUOTE>0,fQUOTE=lnQUOTE-QUOTE>lne-QUOTE>0,故選B.3.A由題知f′(x)=1-QUOTE,則f′(1)=1-a=2,得a=-1,則切點為(1,0),又由切點(1,0)在切線2x-y+b=0上,得b=-2,則a+b=-3.4.Df′(x)=1-QUOTE,設(shè)切點坐標為QUOTE,則切線方程為y-x0-QUOTE=QUOTE(x-x0),又切線過點(1,0),可得-x0-QUOTE=(1-QUOTE)(1-x0),整理得2QUOTE+2ax0-a=0,曲線存在兩條切線,故方程有兩個不等實根,即滿意Δ=4a2-8QUOTE>0,解得a>0或a<-2.5.C由η=10lgQUOTE得I=I01QUOTE,所以I1=I0107,I2=I0106,所以QUOTE=10,所以70dB的聲音的聲波強度I1是60dB的聲音的聲波強度I2的10倍.6.C因為函數(shù)f(x)=QUOTEx3+x2-ax,則f′(x)=x2+2x-a,其對稱軸為x=-1,f′(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,又有函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,等價于在區(qū)間(1,+∞)上f′(x)≥0恒成立,則f′(x)min>f′(1)=3-a≥0?a≤3,由零點的存在性定理可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間QUOTE上有零點且單調(diào)遞增,則f(1)·f(2)<0?QUOTE<0?QUOTE<a<QUOTE,綜上,實數(shù)a的取值范圍是QUOTE.7.B因為x0是函數(shù)f(x)=2x+QUOTE的一個零點,則x0是函數(shù)y=2x與y=QUOTE的交點的橫坐標,畫出函數(shù)圖象,如圖所示,則當x1∈(1,x0)時,y=2x在y=QUOTE下方,即f(x1)<0;當x2∈(x0,+∞)時,y=2x在y=QUOTE上方,即f(x2)>0,故選B.8.A設(shè)函數(shù)y=(x-a)(x-b)+2,圖象為開口向上的拋物線,x=α,x=β是拋物線與x軸交點的橫坐標,而當x=a時,函數(shù)值y=2>0,所以a在α的左邊,即a<α,同理β<b,所以正確選項為A.9.D因為x∈[-a,a]時,g(x)=0有唯一解,不妨設(shè)唯一解為k,由g(x)圖象可知k∈(0,a),則由g[f(x)]=0可得f(x)=k,因為k∈(0,a),由f(x)圖象可知,f(x)=k可能有1根,2根,3個根,不行能有4個根,故選D.10.【解析】因為函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在(0,4)上至少有一個零點,且f(0)=2>0,所以f(4)<0或QUOTE解得a>QUOTE或QUOTE≤a<4,即a≥QUOTE.所以實數(shù)a的取值范圍為QUOTE.答案:QUOTE11.【解析】因為f(x)=QUOTE所以f(f(0))=f(1)=0,因為函數(shù)g(x)=f(x)-kx存在3個零點,所以方程f(x)=kx存在3個根,即y=kx與y=f(x)存在3個交點,設(shè)y=kx與f(x)=e-x(x≤0)相切于點(x0,QUOTE),則k=QUOTE=f′(x0)=-QUOTE,解得x0=-1,所以k=-e,如圖,由圖可知,當k<-e時,y=kx與y=f(x)存在3個交點.答案:0(-∞,-e)12.【解析】作圖y=f(x)如下,A(1,2),直線y=kx+1過定點P(0,1),