專(zhuān)題06 全等模型-角平分線模型（原卷版）

專(zhuān)題06全等模型-角平分線模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R(shí)點(diǎn)，需要掌握其各類(lèi)模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，本專(zhuān)題就角平分線的幾類(lèi)全等模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線、于點(diǎn)A時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作.結(jié)論：、≌.圖1圖2常見(jiàn)模型1（直角三角形型）條件：如圖2，在中，，為的角平分線，過(guò)點(diǎn)D作.結(jié)論：、≌.（當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，還有.）圖3常見(jiàn)模型2（鄰等對(duì)補(bǔ)型）條件：如圖3，OC是∠COB的角平分線，AC=BC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA、CE⊥OB。結(jié)論：①；②；③.例1．（2023秋·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交于點(diǎn)D、E．②分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F．③作射線交于點(diǎn)G．如果，，的面積為18，則的面積為（

）

A．20 B．36 C．27 D．例2．（2023春·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交與點(diǎn)P，若，則（

）

A． B． C． D．例3．（2023秋·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形中，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，且平分．(1)求證：平分；(2)求證：；(3)求證：．

例4．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)C是∠MAN平分線上一點(diǎn)，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點(diǎn)，且∠ABC+∠ADC＝180°．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，求證：BC＝DC；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，探究線段AB、AD與BE之間的等量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，連接DO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長(zhǎng)．模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線，，結(jié)論：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三線合一等。圖1圖2圖3條件：如圖2，為的角平分線，，延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F.結(jié)論：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三線合一等。例1．（2023·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC的面積為16，∠PBC與∠PAB互余，AP⊥BP，則△PBC的面積．例2．（2022·綿陽(yáng)市·九年級(jí)期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF交BD于點(diǎn)E．若AB=BF，求證：BD垂直平分AF．（2）如圖2，CE⊥BD，垂足E在BD的延長(zhǎng)線上．試判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）如圖3，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足為E，EF與AC交于點(diǎn)M．直接寫(xiě)出線段CE與線段FM的數(shù)量關(guān)系．例3．（2022秋·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）情景觀察：如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分別為D、E，CD與AE交于點(diǎn)F．①寫(xiě)出圖1中所有的全等三角形；②線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是，并寫(xiě)出證明過(guò)程．問(wèn)題探究：如圖2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足為D，AD與BC交于點(diǎn)E．求證：AE=2CD．模型3.角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)模型（角平分線+截線段相等）【模型解讀與圖示】條件：如圖，為的角平分線，A為任意一點(diǎn)，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，CB=CA。條件：如圖，分別為和的角平分線，，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，≌，AB+CD=BC。例1．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為．（2）如圖2，AC＞AB，點(diǎn)P在線段AD延長(zhǎng)線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明．（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿(mǎn)足AB+AC＝EC，請(qǐng)求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫(huà)圖，寫(xiě)思路，求出度數(shù)）．例2．（2023·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，，是的平分線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，，試求的度數(shù)．例3．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于點(diǎn)E．試說(shuō)明AD＝AB﹣BC的理由．例4．（2022·山東煙臺(tái)·九年級(jí)期末）已知在中，滿(mǎn)足，(1)【問(wèn)題解決】如圖1，當(dāng)，為的角平分線時(shí)，在上取一點(diǎn)使得，連接，求證：．(2)【問(wèn)題拓展】如圖2，當(dāng)，為的角平分線時(shí)，在上取一點(diǎn)使得，連接，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)你證明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)【猜想證明】如圖3，當(dāng)為的外角平分線時(shí)，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)使得，連接，線段、、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022春·江蘇宿遷·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，的角平分線、相交于點(diǎn)，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，是邊上的高，是的平分線，交于點(diǎn)F，下面說(shuō)法：①；②；③；④．其中正確的說(shuō)法有（

）個(gè)．

A．1 B．2 C．3 D．43．（2023春·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，分別是和的角平分線，，交于點(diǎn)O，分別過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（

）

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)4．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，平分，，，則與之間的大小關(guān)系是（）

A． B． C． D．無(wú)法確定5．（2023春·陜西西安·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，，和分別平分和，過(guò)點(diǎn)P且與垂直，若，，則的面積為（

）

A．15 B．20 C．30 D．806．（2023春·山東泰安·七年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，交于點(diǎn)平分交于點(diǎn)的面積為20，則的長(zhǎng)為．

7．（2023春·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，．以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交、邊于點(diǎn)、；再分別以、為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)；作射線交邊于點(diǎn)．若的面積為，則的面積為．8．（2023春·山東棗莊·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，已知直線平分且，求與之間的關(guān)系并說(shuō)明理由．

9．（2023·重慶·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀與思考下面是小明同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)您仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：構(gòu)造全等三角形解決圖形與幾何問(wèn)題在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中，常常會(huì)遇到一些問(wèn)題無(wú)法直接解答，需要添加輔助線才能解決．比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過(guò)延長(zhǎng)垂線段與三角形的一邊相交構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．例：如圖1，是內(nèi)一點(diǎn)，且平分，，連接，若的面積為10，求的面積．

該問(wèn)題的解答過(guò)程如下：解：如圖2，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，、交于點(diǎn)，

平分，．，．在和中，，（依據(jù)1）（依據(jù)2），，，．……任務(wù)一：上述解答過(guò)程中的依據(jù)1，依據(jù)2分別是___________，___________；任務(wù)二：請(qǐng)將上述解答過(guò)程的剩余部分補(bǔ)充完整；應(yīng)用：如圖3，在中，，，平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)．

10．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長(zhǎng)線上．求證：BE＝CD．11．（2023春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知在四邊形ABCD中，BD是的平分線，．2求證：．12．（2022秋·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知B（-1，0），C（1，0），A為y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D為第二象限一動(dòng)點(diǎn)，E在BD的延長(zhǎng)線上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．（1）求證：∠ABD=∠ACD；（2）求證：AD平分∠CDE；（3）若在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有DC=DA+DB，在此過(guò)程中，∠BAC的度數(shù)是否變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出∠BAC的度數(shù)．13．（2023秋·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，平分．求證：是的平分線．14．（2023秋·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，且平分．(1)求證：平分；(2)求證：．15．（2022春·江西萍鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知是的平分線，點(diǎn)P是射線上一點(diǎn)，，點(diǎn)C、D分別在射線、上，連接、．(1)如圖①，當(dāng)，時(shí)，則與的數(shù)量關(guān)系是___________．(2)如圖②，點(diǎn)C、D在射線、上滑動(dòng)，且，當(dāng)時(shí)與在（1）中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?說(shuō)明理由．(3)在問(wèn)題（2）中，則四邊形的面積S是否會(huì)發(fā)生變化?若不會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)直接寫(xiě)出面積S的值，若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由16．（2022·江蘇·一模）如