2025屆北京市順義一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2025屆北京市順義一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知A，B，C是橢圓M：上三點(diǎn)，且A（A在第一象限，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，過(guò)A作x軸的垂線(xiàn)交橢圓M于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，若直線(xiàn)AC與BC的斜率之積為，則（）A.橢圓M的離心率為 B.橢圓M的離心率為C. D.2．某學(xué)校的校車(chē)在早上6：30，6：45，7：00到達(dá)某站點(diǎn)，小明在早上6：40至7：10之間到達(dá)站點(diǎn)，且到達(dá)的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率是（）A. B.C. D.3．已知圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)AB距離的最大值為（）A. B.C. D.4．已知是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.5．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．為比較甲、乙兩地某月時(shí)的氣溫狀況，隨機(jī)選取該月中的天，將這天中時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)（單位：℃）制成如圖所示的莖葉圖（十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉）.考慮以下結(jié)論：①甲地該月時(shí)的平均氣溫低于乙地該月時(shí)的平均氣溫；②甲地該月時(shí)的平均氣溫高于乙地該月時(shí)的平均氣溫；③甲地該月時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差；④甲地該月時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差.其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的編號(hào)為（）A.①③ B.①④C.②③ D.②④7．下列命題中的假命題是（）A.，B.存在四邊相等的四邊形不是正方形C.“存在實(shí)數(shù)，使”的否定是“不存在實(shí)數(shù)，使”D.若且，則，至少有一個(gè)大于8．命題“，使”的否定是（）A.，有 B.，有C.，使 D.，使9．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則MN的中點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)О的距離為（）A. B.C.2 D.310．已知雙曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，則能使點(diǎn)P為線(xiàn)段AB中點(diǎn)的直線(xiàn)l的條數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.311．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則（）A.5 B.2C.1 D.12．已知為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，其中為的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集為()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布（），若ξ在內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在內(nèi)取值的概率為_(kāi)_____14．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)在的一條漸近線(xiàn)上，若，則的離心率的取值范圍是________15．有公共焦點(diǎn)，的橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率分別為，，點(diǎn)為兩曲線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的值為_(kāi)_____16．已知，求_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與軸的正半軸重合，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，曲線(xiàn)的參數(shù)方程是（是參數(shù)）（1）求直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程及曲線(xiàn)的普通方程；（2）求曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值18．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為8.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓分別交于點(diǎn)、（點(diǎn)不在直線(xiàn)上），求面積的最大值.19．（12分）在等差數(shù)列中，，前10項(xiàng)和（1）求列通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求的前8項(xiàng)和20．（12分）已知點(diǎn)A（1，2）在拋物線(xiàn)C∶上，過(guò)點(diǎn)A作兩條直線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，E，直線(xiàn)AD，AE的斜率分別為kAD，kAE，若直線(xiàn)DE過(guò)點(diǎn)P（-1，-2）（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）求直線(xiàn)AD，AE的斜率之積.21．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，且，E為PD的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求二面角的大?。唬?）在側(cè)棱PC上是否存在點(diǎn)F，使得點(diǎn)F到平面AEC的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由22．（10分）中國(guó)男子籃球職業(yè)聯(lián)賽（ChineseBasketballAssociation），簡(jiǎn)稱(chēng)中職籃（CBA），由中國(guó)國(guó)家體育總局籃球運(yùn)動(dòng)管理中心舉辦的男子職業(yè)籃球賽事，旨在全面提高中國(guó)籃球運(yùn)動(dòng)水平，其中誕生了姚明、王治郅、易建聯(lián)、朱芳雨等球星．該比賽分為常規(guī)賽和季后賽．由于新冠疫情關(guān)系，某年聯(lián)賽采用賽會(huì)制：所有球隊(duì)集中在同一個(gè)地方比賽，分兩個(gè)階段進(jìn)行，每個(gè)階段采用循環(huán)賽，分主場(chǎng)比賽和客場(chǎng)比賽，積分排名前8球隊(duì)進(jìn)入季后賽．下表是A隊(duì)在常規(guī)賽60場(chǎng)比賽中的比賽結(jié)果記錄表．階段比賽場(chǎng)數(shù)主場(chǎng)場(chǎng)數(shù)獲勝場(chǎng)數(shù)主場(chǎng)獲勝場(chǎng)數(shù)第一階段30152010第二階段30152515（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，完成下面列聯(lián)表：A隊(duì)勝A隊(duì)負(fù)合計(jì)主場(chǎng)5客場(chǎng)20合計(jì)60（2）根據(jù)（1）中列聯(lián)表，判斷是否有90%的把握認(rèn)為比賽的“主客場(chǎng)”與“勝負(fù)”之間有關(guān)？附：．0.1000.0500.025k2.7063.8415.024

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)出點(diǎn)，,的坐標(biāo)，將點(diǎn)，分別代入橢圓方程兩式作差，構(gòu)造直線(xiàn)和的斜率之積，得到，即可求橢圓的離心率，利用，求出，可知點(diǎn)在軸上，且為的中點(diǎn),則.【詳解】設(shè)，，，則，，，兩式相減并化簡(jiǎn)得，即，則,則AB錯(cuò)誤；∵，，∴，又∵，∴，即，解得，則點(diǎn)在軸上，且為的中點(diǎn)即，則正確.故選：C.2、B【解析】求出小明等車(chē)時(shí)間不超過(guò)5分鐘能乘上車(chē)的時(shí)長(zhǎng)，即可計(jì)算出概率.【詳解】6:40至7：10共30分鐘，小明同學(xué)等車(chē)時(shí)間不超過(guò)5分鐘能乘上車(chē)只能是6：40至6:45和6:55至7:00到站，共10分鐘，所以所求概率為.故選：B3、A【解析】判斷圓與的位置并求出直線(xiàn)AB方程，再求圓心C到直線(xiàn)AB距離即可計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，，即圓與相交，直線(xiàn)AB方程為：，圓的圓心，半徑，點(diǎn)C到直線(xiàn)AB距離的距離，所以圓C上的動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)AB距離的最大值為.故選：A4、B【解析】令，再結(jié)合，和已知條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，最后結(jié)合單調(diào)性求解即可.【詳解】解：令，則，因?yàn)?，所以，即函?shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)椋坏仁娇苫癁?，所以，故不等式的解集為故選：B5、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵，∴“”是“”的必要不充分條件.故選：B.6、B【解析】根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)求出平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差即可【詳解】由莖葉圖知甲地該月時(shí)的平均氣溫為，標(biāo)準(zhǔn)差為由莖葉圖知乙地該月時(shí)的平均氣溫為，標(biāo)準(zhǔn)差為則甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫，故①正確，乙平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于甲的標(biāo)準(zhǔn)差，故④正確，故正確的是①④，故選：B7、C【解析】利用簡(jiǎn)易邏輯的知識(shí)逐一判斷即可.【詳解】，故A正確；菱形的四邊相等，但不一定是正方形，故B正確；“存在實(shí)數(shù)，使”的否定是“對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有”，故C錯(cuò)誤；假設(shè)且，則，與矛盾，故D正確；故選：C8、B【解析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題即可得正確答案【詳解】存在量詞命題的否定，只需把存在量詞改成全稱(chēng)量詞，并把后面的結(jié)論否定，所以“，使”的否定為“，有”，故選：B.9、A【解析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及空間中兩點(diǎn)之間的距離公式可得解.【詳解】，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，所以.故選：A10、A【解析】先假設(shè)存在這樣的直線(xiàn)，分斜率存在和斜率不存在設(shè)出直線(xiàn)的方程，當(dāng)斜率k存在時(shí)，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則，，又根據(jù)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則，由此求出與矛盾，故不存在這樣的直線(xiàn)滿(mǎn)足題意；當(dāng)斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)不滿(mǎn)足條件，故符合條件的直線(xiàn)不存在.詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為或，①當(dāng)斜率存在時(shí)有，得(*)當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則必有：，即又方程(*)的兩個(gè)不同的根是兩交點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，又為線(xiàn)段的中點(diǎn)，，即，，使但使，因此當(dāng)時(shí)，方程①無(wú)實(shí)數(shù)解故過(guò)點(diǎn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)、且為線(xiàn)段中點(diǎn)的直線(xiàn)不存在②當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)不滿(mǎn)足條件.綜上，符合條件的直線(xiàn)不存在故選：A11、C【解析】根據(jù)題意橢圓焦點(diǎn)在軸上，且，將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從而得出，得出答案.【詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓焦點(diǎn)在軸上，且將橢圓化為，則由，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則，解得故選：C12、A【解析】根據(jù)已知不等式和要求解的不等式特征，構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式.通過(guò)已知條件研究g(x)的奇偶性和單調(diào)性即可解該不等式.【詳解】令，則根據(jù)題意可知，，∴g(x)是奇函數(shù)，∵，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∵g(x)是奇函數(shù)，g(0)＝0，∴g(x)在R上單調(diào)遞減，由不等式得，.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4##【解析】根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求解【詳解】因?yàn)棣畏恼龖B(tài)分布（），即正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可知ξ在與取值的概率相同，所以ξ在內(nèi)取值的概率為0.4.故答案為：0.414、【解析】設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)是線(xiàn)段中點(diǎn)，所以有，代入坐標(biāo)求出點(diǎn)的軌跡為圓，因?yàn)辄c(diǎn)在漸近線(xiàn)上，所以圓與漸近線(xiàn)有公共點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求出臨界狀態(tài)下漸近線(xiàn)的斜率，數(shù)形結(jié)合求出有公共點(diǎn)時(shí)漸近線(xiàn)斜率的范圍，從而求出離心率的范圍.【詳解】解：設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以有，即有，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以滿(mǎn)足：，代入可得：，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，如圖所示：因?yàn)辄c(diǎn)在漸近線(xiàn)上，所以圓與漸近線(xiàn)有公共點(diǎn)，當(dāng)兩條漸近線(xiàn)與圓恰好相切時(shí)為臨界點(diǎn)，則：圓心到漸近線(xiàn)的距離為，因?yàn)?，所以，即，且，所以，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，漸近線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，.故答案為：.15、4【解析】可設(shè)為第一象限的點(diǎn)，，，求出，，化簡(jiǎn)即得解.【詳解】解：可設(shè)為第一象限的點(diǎn)，，，由橢圓定義可得，由雙曲線(xiàn)的定義可得，可得，，由，可得，即為，化為，則故答案為：416、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】，所以，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程是，曲線(xiàn)的普通方程是（2）【解析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的公式進(jìn)行求解，消去參數(shù)求出普通方程；（2）設(shè)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)以，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式和輔助角公式進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，即，將，代入，得直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程是由得曲線(xiàn)的普通方程是【小問(wèn)2詳解】設(shè)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)以，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離當(dāng)時(shí)，，故曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)周長(zhǎng)可求，再根據(jù)離心率可求，求出后可求橢圓的方程.（2）當(dāng)直線(xiàn)軸時(shí)，計(jì)算可得的面積的最大值為，直線(xiàn)不垂直軸時(shí)，可設(shè)，聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程可求，設(shè)與平行且與橢圓相切的直線(xiàn)為：，結(jié)合橢圓方程可求的關(guān)系，從而求出該直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離，從而可求的面積的最大值為.【詳解】（1）由橢圓的定義可知，的周長(zhǎng)為，∴，，又離心率為，∴，，所以橢圓方程為.（2）當(dāng)直線(xiàn)軸時(shí)，；當(dāng)直線(xiàn)不垂直軸時(shí)，設(shè)，，，∴.設(shè)與平行且與橢圓相切的直線(xiàn)為：，，∵，∴，∴距的最大距離為，∴，綜上，面積的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，而面積的最值的計(jì)算，則可以轉(zhuǎn)化為與已知直線(xiàn)平行且與橢圓相切的直線(xiàn)與已知直線(xiàn)的距離來(lái)計(jì)算，此類(lèi)轉(zhuǎn)化為面積最值計(jì)算過(guò)程的常規(guī)轉(zhuǎn)化.19、（1）；（2）347.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，解方程組即得解；（2）先求出，再分組求和得解.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得所以（2）由題意，，所以所以的前8項(xiàng)和為20、（1）（2）【解析】（1）代入點(diǎn)即可求得拋物線(xiàn)方程；（2）聯(lián)立方程后利用韋達(dá)定理求出，，，，然后代入即可求得斜率的積.【小問(wèn)1詳解】解：點(diǎn)A（1，2）在拋物線(xiàn)C∶上故【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn)方程為：聯(lián)立方程，整理得：由題意及韋達(dá)定理可得：，21、（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在；【解析】（1）作出輔助線(xiàn)，證明線(xiàn)面垂直，進(jìn)而證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解二面角；（3）設(shè)出F點(diǎn)坐標(biāo)，用空間向量的點(diǎn)到平面距離公式進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】證明：連接BD，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，連接PO．因?yàn)?，所以四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，則又，所以平面PBD，因?yàn)槠矫鍼BD，所以【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所以由?）知平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向