4.5.2形形色色的函數(shù)模型課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)形形色色的函數(shù)模型湘教版

數(shù)學(xué)

必修第一

冊(cè)課標(biāo)要求1.在實(shí)際情境中,會(huì)選擇合適的函數(shù)類型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律.2.體會(huì)如何借助函數(shù)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題,感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)一常見(jiàn)的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0)(2)二次函數(shù)模型y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)(3)指數(shù)函數(shù)模型y=bax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0,且a≠1)(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型y=mlogax+n(m,a,n為常數(shù),m≠0,a>0,且a≠1)(5)冪函數(shù)模型y=axn+b(a,b為常數(shù),a≠0)(6)分段函數(shù)模型

過(guò)關(guān)自診某城市現(xiàn)有人口數(shù)為100萬(wàn),如果20年后該城市人口總數(shù)不超過(guò)120萬(wàn),那么該市年人口自然增長(zhǎng)率大約應(yīng)控制在多少?解

設(shè)該市年人口自然增長(zhǎng)率為x,依題意得100×(1+x)20≤120,所以(1+x)20≤1.2,兩邊取常用對(duì)數(shù),得20lg(1+x)≤lg

1.2,即lg(1+x)≤

lg

1.2,解得x近似小于或等于0.9%.所以該市年人口自然增長(zhǎng)率大約應(yīng)控制在0.9%.知識(shí)點(diǎn)二擬合函數(shù)模型數(shù)學(xué)建模的步驟:(1)正確理解并簡(jiǎn)化實(shí)際問(wèn)題;(2)建立數(shù)學(xué)模型;(3)求得數(shù)學(xué)問(wèn)題的解;(4)將求解時(shí)分析計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較,驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性.過(guò)關(guān)自診某商場(chǎng)在空調(diào)銷(xiāo)售旺季的4天內(nèi)的利潤(rùn)如下表所示:時(shí)間1234利潤(rùn)/千元23.988.0115.99現(xiàn)構(gòu)建一個(gè)銷(xiāo)售這種空調(diào)的函數(shù)模型,應(yīng)是下列函數(shù)中的(

)A.y=log2x

B.y=2xC.y=x2

D.y=2xB重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)模型【例1】

一片森林原來(lái)的面積為a,計(jì)劃每年砍伐一些樹(shù),且每年砍伐面積的百分比相等,當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí),所用時(shí)間是10年,為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,森林面積至少要保留原面積的

,已知到今年為止,森林剩余面積為原來(lái)的

.(1)求每年砍伐面積的百分比.(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?(3)今后最多還能砍伐多少年?規(guī)律方法

1.本題涉及平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題,求解可用指數(shù)函數(shù)模型表示,通?？梢员硎緸閥=N·(1+p)x(其中N為原來(lái)的基礎(chǔ)數(shù),p為增長(zhǎng)率,x為時(shí)間)的形式.2.在實(shí)際問(wèn)題中,有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題,都常用到指數(shù)函數(shù)模型.變式訓(xùn)練1為落實(shí)國(guó)家“精準(zhǔn)扶貧”政策,讓市民吃上放心蔬菜,某企業(yè)于2020年在其扶貧基地投入100萬(wàn)元研發(fā)資金,用于蔬菜的種植及開(kāi)發(fā),并計(jì)劃今后十年內(nèi)在此基礎(chǔ)上每年投入的資金比上一年增長(zhǎng)10%.(1)寫(xiě)出第x年(2021年為第一年)該企業(yè)投入的資金數(shù)y(單位:萬(wàn)元)與x的函數(shù)關(guān)系式,并指出函數(shù)的定義域;(2)該企業(yè)從第幾年開(kāi)始(2021年為第一年),每年投入的資金數(shù)將超過(guò)200萬(wàn)元?(參考數(shù)據(jù):lg0.11≈-0.959,lg1.1≈0.041,lg11≈1.041,lg2≈0.301)解

(1)第一年投入的資金數(shù)為100(1+10%)萬(wàn)元,第二年投入的資金數(shù)為100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2萬(wàn)元,第x年(2021年為第一年)該企業(yè)投入的資金數(shù)y(單位:萬(wàn)元)與x的函數(shù)關(guān)系式為y=100(1+10%)x,其定義域?yàn)閧x∈N+|x≤10}.即企業(yè)從第8年開(kāi)始(2021年為第一年),每年投入的資金數(shù)將超過(guò)200萬(wàn)元.探究點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)模型【例2】

科學(xué)研究表明:人類對(duì)聲音有不一樣的感覺(jué),這與聲音的強(qiáng)度I(單位:瓦/平方米)有關(guān).在實(shí)際測(cè)量時(shí),常用L(單位:分貝)來(lái)表示聲音強(qiáng)弱的等級(jí),它與聲音的強(qiáng)度I滿足關(guān)系式:L=(a是常數(shù)),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如風(fēng)吹落葉沙沙聲的強(qiáng)度I=1×10-11瓦/平方米,它的強(qiáng)弱等級(jí)L=10分貝.(1)已知生活中幾種聲音的強(qiáng)度如下表:聲音來(lái)源風(fēng)吹落葉沙沙聲輕聲耳語(yǔ)很嘈雜的馬路強(qiáng)度I/(瓦/平方米)1×10-111×10-101×10-3強(qiáng)弱等級(jí)L/分貝10m90求a和m的值.(2)為了不影響正常的休息和睡眠,聲音的強(qiáng)弱等級(jí)一般不能超過(guò)50分貝,求此時(shí)聲音強(qiáng)度I的最大值.規(guī)律方法

1.基本類型:有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用題一般都會(huì)給出函數(shù)解析式,然后根據(jù)實(shí)際問(wèn)題再求解.2.求解策略:首先根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù),或給出具體情境,從中提煉出數(shù)據(jù),代入解析式求值,然后根據(jù)數(shù)值回答其實(shí)際意義.變式訓(xùn)練2大西洋鮭魚(yú)每年都要逆流而上,游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.記鮭魚(yú)的游速為v(單位:m/s),鮭魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為Q,研究中發(fā)現(xiàn)v與

成正比,且當(dāng)Q=900時(shí),v=1.(1)求出v關(guān)于Q的函數(shù)解析式;(2)計(jì)算一條鮭魚(yú)的游速是1.5m/s時(shí)耗氧量的單位數(shù);(3)一條鮭魚(yú)要想把游速提高1m/s,其耗氧量的單位數(shù)應(yīng)怎樣變化?探究點(diǎn)三擬合函數(shù)模型的應(yīng)用題【例3】

為了估計(jì)山上積雪融化對(duì)下游灌溉的影響,在山上建立了一個(gè)觀察站,測(cè)量最大積雪深度xcm與當(dāng)年灌溉面積yhm2.現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測(cè)資料,如下表所示:年序最大積雪深度x/cm灌溉面積y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描出灌溉面積yhm2隨積雪深度xcm變化的數(shù)據(jù)點(diǎn)(x,y);(2)建立一個(gè)能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型y=f(x),并作出其圖象;(3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型,若今年最大積雪深度為25cm,則可以灌溉的土地面積是多少?解

(1)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布如圖1所示.

(2)從圖1中可以看到,數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近,由此,我們假設(shè)灌溉面積y

hm2和最大積雪深度x

cm滿足線性函數(shù)模型y=a+bx(a,b為常數(shù),b≠0).取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4,21.1),(24.0,45.8),解得a≈2.4,b≈1.8.這樣,我們得到一個(gè)函數(shù)模型y=2.4+1.8x.作出函數(shù)圖象如圖2,可以發(fā)現(xiàn),這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好,這說(shuō)明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關(guān)系.(3)由(2)得當(dāng)x=25時(shí),y=2.4+1.8×25=47.4,即當(dāng)最大積雪深度為25

cm時(shí),可以灌溉土地47.4

hm2.規(guī)律方法

對(duì)于此類實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,關(guān)鍵是先建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式,再解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,然后驗(yàn)證并結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義作出回答,這個(gè)過(guò)程就是先擬合函數(shù)再利用函數(shù)解題.函數(shù)擬合與預(yù)測(cè)的一般步驟是:(1)能夠根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格,描出數(shù)據(jù)點(diǎn).(2)通過(guò)數(shù)據(jù)點(diǎn),畫(huà)出“最貼近”的直線或曲線,即擬合直線或擬合曲線.如果所有實(shí)際點(diǎn)都落到了擬合直線或曲線上,滴“點(diǎn)”不漏,那么這將是個(gè)十分完美的事情,但在實(shí)際應(yīng)用中,這種情況一般是不會(huì)發(fā)生的.因此,使實(shí)際點(diǎn)盡可能地均勻分布在直線或曲線兩側(cè),得出的擬合直線或擬合曲線就是“最貼近”的了.(3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識(shí),求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式.(4)利用函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)條件對(duì)所給問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制,為決策和管理提供依據(jù).變式訓(xùn)練3某籃球運(yùn)動(dòng)員為了測(cè)試自己的投籃最佳距離,他在每個(gè)測(cè)試點(diǎn)投籃30次,得到投籃命中數(shù)量y(單位:個(gè))與測(cè)試點(diǎn)投籃距離x(單位:米)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:x3568y25292820為了描述球員在測(cè)試點(diǎn)投籃命中數(shù)量y與投籃距離x的變化關(guān)系,現(xiàn)有以下三種y=f(x)函數(shù)模型供選擇:①f(x)=ax3+b,②f(x)=-x2+ax+b,③f(x)=abx.(1)選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型并說(shuō)明理由,同時(shí)求出相應(yīng)的函數(shù)解析式;(2)在第(1)問(wèn)的條件下,若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,m]上的最大值為29,最小值為4,求m的取值范圍.解

(1)由表中數(shù)據(jù)可知,f(x)先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減,∵f(x)=ax3+b與f(x)=abx都是單調(diào)函數(shù),∴不符合題意;∵f(x)=-x2+ax+b先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減,∴符合題意.∴f(x)=-x2+10x+4.

(2)由(1)知f(x)=-x2+10x+4,故對(duì)稱軸為直線x=5,∴f(x)在(-∞,5]上單調(diào)遞增,在(5,+∞)上單調(diào)遞減,∵f(0)=4,f(5)=29,∴m≥5,又f(x)=-x2+10x+4=4時(shí),x=0或10,∴m≤10.綜上所述,5≤m≤10,故m的取值范圍是[5,10].學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練123456789101.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長(zhǎng)10.4%,要增長(zhǎng)到原來(lái)的x倍,需經(jīng)過(guò)y年,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是(

)D解析

設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a,由題意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以函數(shù)y=f(x)的圖象大致為D中圖象.123456789102.(多選題)有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律,其中最接近的一個(gè)是(

)AC123456789103.地震釋放出的能量E(單位:焦耳)與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M.據(jù)此推斷里氏8.0級(jí)地震所釋放的能量與里氏5.0級(jí)地震所釋放的能量的倍數(shù)是(

)A.lg4.5倍 B.4.510倍C.450倍 D.104.5倍D123456789104.已知某個(gè)病毒經(jīng)30min可繁殖為原來(lái)的2倍,且病毒的繁殖規(guī)律為y=ekt(其中k為常數(shù),t表示時(shí)間,單位:h,y表示病毒個(gè)數(shù)),則k=

,經(jīng)過(guò)5h,1個(gè)病毒能繁殖

個(gè).

2ln21024123456789105.一個(gè)駕駛員喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小時(shí)25%的速度減少,為了保障交通安全,根據(jù)有關(guān)規(guī)定:駕駛員血液中的酒精含量不得超過(guò)0.2mg/mL,那么這個(gè)駕駛員至少要經(jīng)過(guò)

h才能開(kāi)車(chē)(結(jié)果精確到1h,參考數(shù)據(jù)lg2≈0.30,lg3≈0.48).

212345678910解析

設(shè)經(jīng)過(guò)n

h后才能開(kāi)車(chē),此時(shí)酒精含量為0.3(1-25%)n.根據(jù)題意,有0.3(1-25%)n≤0.2,123456789106.有關(guān)數(shù)據(jù)顯示,中國(guó)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾在2015年約為400萬(wàn)噸,2016年的年增長(zhǎng)率為50%,有專家預(yù)測(cè),如果不采取措施,未來(lái)包裝垃圾還將以此增長(zhǎng)率增長(zhǎng),從哪年開(kāi)始,快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾會(huì)超過(guò)4000萬(wàn)噸.(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)12345678910解

設(shè)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾為y萬(wàn)噸,n表示從2015年開(kāi)始增加的年份的數(shù)量,∴n(0.477

1-0.301

0)=1,0.176

1n=1,解得n≈6,∴從2015+6=2021年開(kāi)始,快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾會(huì)超過(guò)4

000萬(wàn)噸.12345678910B級(jí)關(guān)鍵能力提升練7.某化工原料廠原來(lái)月產(chǎn)量為100噸,月份增產(chǎn)20%,二月份比一月份減產(chǎn)10%,則二月份產(chǎn)量為(

)A.106噸 B.108噸

C.110噸 D.112噸B解析

因?yàn)榛ぴ蠌S原來(lái)月產(chǎn)量為100噸,月份增產(chǎn)20%,所以一月份的產(chǎn)量為100×(1+20%)=120(噸).又因?yàn)槎路荼纫辉路轀p產(chǎn)10%,所以二月份的產(chǎn)量為120×(1-10%)=108(噸).故選B.123456789108.如圖,是某受污染的湖泊在自然凈化過(guò)程中,某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時(shí)間t(單位:月)的近似函數(shù)關(guān)系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下敘述:則t1+t2=t3.其中所有正確的敘述是

.(填序號(hào))

①③12345678910123456789109.為了給廣大市民提供優(yōu)質(zhì)的飲用水,某礦泉水廠特別重視生產(chǎn)