高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：極值與最值（講義）（原卷版+解析）

第03講極值與最值

目錄

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)高考對(duì)最值、極值的考查相對(duì)穩(wěn)定，屬

在某點(diǎn)取得極值的必要和充分于重點(diǎn)考查的內(nèi)容.高考在本節(jié)內(nèi)容上

2022年乙卷第16題，5分

條件.無(wú)論試題怎樣變化，我們只要把握好導(dǎo)

2022年/卷第10題，5分

(2)會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大數(shù)作為研究函數(shù)的有力工具這一點(diǎn)，將

2022年甲卷第6題，5分

值、極小值.函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等本質(zhì)問(wèn)題

2021年/卷第15題，5分

(3)會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大利用圖像直觀明了地展示出來(lái)，其余的

2021年乙卷第10題，5分

值、最小值.就是具體問(wèn)題的轉(zhuǎn)化了.最終的落腳點(diǎn)

一定是函數(shù)的單調(diào)性與最值，因?yàn)樗鼈?/p>

是導(dǎo)數(shù)永恒的主題.

函數(shù)的極小值

極值與最值

函數(shù)的最大值

函數(shù)的最值函數(shù)的最小值

―夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：極值與最值

1、函數(shù)的極值

函數(shù)/(X)在點(diǎn)X。附近有定義，如果對(duì)X。附近的所有點(diǎn)都有/(%)</(%),則稱/(X。)是函數(shù)的一個(gè)極大

值，記作y極大值=/(%).如果對(duì)X。附近的所有點(diǎn)都有了(X)>/(%),則稱/(無(wú)0)是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作

y極小值=/(%).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱/為極值點(diǎn).

求可導(dǎo)函數(shù)于(X)極值的一般步驟

(1)先確定函數(shù)/(X)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)廣(x)；

(3)求方程-=0的根;

(4)檢驗(yàn)/(x)在方程/'(x)=0的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，

那么函數(shù)y=/(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)y=/(x)

在這個(gè)根處取得極小值.

注：①可導(dǎo)函數(shù)/(尤)在點(diǎn)不處取得極值的充要條件是：不是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即尸(%)=0,且在毛

左側(cè)與右側(cè)，廣(尤)的符號(hào)導(dǎo)號(hào).

②((%)=0是尤。為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如/(尤)=爐，尸(0)=0,但%=0不是極值點(diǎn).另

外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)/。)=國(guó)，在極小值點(diǎn)無(wú)。=0是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：X。為

可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)=>尸(%)=0；但尸(Xo)=O/xo為/(x)的極值點(diǎn).

2、函數(shù)的最值

函數(shù)y=/（?最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)/（元）最小值為極小值與靠近極

大值的端點(diǎn)之間的最小者.

2

導(dǎo)函數(shù)為/（x）=ax+bx+c=。（》-%）（尤-々）（in<xl<x2<n）

（1）當(dāng)a>0時(shí)，最大值是/（菁）與/⑺中的最大者；最小值是/（%）與『（㈤中的最小者.

（2）當(dāng)a<0時(shí)，最大值是/食2）與/（〃2）中的最大者；最小值是/（周）與/（〃）中的最小者.

一般地，設(shè)y=/（x）是定義在[加，川上的函數(shù)，>=/（尤）在（加，〃）內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)y=/（尤）在[，w,n]

上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：

（1）求y=/（x）在。w,77）內(nèi)的極值（極大值或極小值）；

（2）將y=/（無(wú)）的各極值與/（汕和/（〃）比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最

值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；

②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；

③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.

【解題方法總結(jié)】

（1）若函數(shù)在區(qū)間。上存在最小值〃尤）1mli和最大值/（x）max，則

不等式/（X）>。在區(qū)間￡）上恒成立=/（了入山>a；

不等式在區(qū)間。上恒成立o/（X）1ntoNa；

不等式/（x）<b在區(qū)間。上恒成立=/（^）_<b；

不等式W6在區(qū)間D上恒成立o/（x）max4b；

（2）若函數(shù)在區(qū)間。上不存在最大（小）值，且值域?yàn)椋?，n）,則

不等式“X）>a（或/'（x）2a）在區(qū)間D上恒成立o/n2a.

不等式/（x）〈”或在區(qū)間D上恒成立07〃.

（3）若函數(shù)“X）在區(qū)間。上存在最小值〃x）1nhi和最大值/（x）max，即/（x）e[m,n],則對(duì)不等式有解

問(wèn)題有以下結(jié)論：

不等式在區(qū)間。上有解0a<“X）1mx；

不等式aW/（尤）在區(qū)間。上有解oa4f（^）max;

不等式在區(qū)間。上有解；

不等式a2/（尤）在區(qū)間D上有解=。2/⑴向口；

（4）若函數(shù)”X）在區(qū)間O上不存在最大（小）值，如值域?yàn)椋樱?則對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)

論:

不等式”〃司(或@4/(X))在區(qū)間。上有解oa<w

不等式“〃x)(或b2/(x))在區(qū)間￡)上有解ob>/"

(5)對(duì)于任意的外句凡6],總存在電e[m,n],使得〃大)Vg(%)o"xj1mx4g(xj1mx；

(6)對(duì)于任意的演e[a,可，總存在n],使得〃xj2g(%)o"x%/；

(7)若存在占e[a,b],對(duì)于任意的馬仁回，,使得"再)4g(%)O/(%)1nhi4g(%)1nhi;

(8)若存在,e[a,b],對(duì)于任意的々e[m,〃],使得〃％)wg(x2)of(%)一千g(%)1mx；

(9)對(duì)于任意的%e[a,b],x2e[m,可使得/(xjVg(x?)o"xj1mxVgRhn；

(10)對(duì)于任意的再b],.e[m,〃]使得/(%)幺(％)0〃%)="(zL;

(11)若存在占e[a,6],總存在々e[m,司，使得/㈤V83)o/㈤1nhiVg(%)1mx

(12)若存在占e[a,可，總存在％e[m,n],使得〃%)/gfx?)o/(無(wú)之8優(yōu)工?

.提升?必考題型歸納

題型一：求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)

【例1】(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)〃x)存在一個(gè)極大值/(石)與一個(gè)極小值/(%)滿足

"%)>/&),則/■(工)至少有()個(gè)單調(diào)區(qū)間.

A.3B.4C.5D.6

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(尤)，其導(dǎo)函數(shù)尸(x)的大致圖象如

A./(&)>/(?)>/(￡■)

B.函數(shù)/■(“在x=c處取得最大值，在x=e處取得最小值

C.函數(shù)/■(*)在X=c處取得極大值，在x=e處取得極小值

D.函數(shù)外力的最小值為/(d)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)為廣⑺，則“'=/'(》)在(0,2)上有兩個(gè)

零點(diǎn)”是“〃X)在(。,2)上有兩個(gè)極值點(diǎn)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3](2023?廣西南寧?南寧三中校考一模)設(shè)函數(shù)〃x)=(x—a)(x-b)(x-c),a,b,ceR,f'(x)

為/(x)的導(dǎo)函數(shù).

⑴當(dāng)a5=c=0時(shí)，過(guò)點(diǎn)*1,0)作曲線y=的切線，求切點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若標(biāo)b,b=c,且和尸(x)的零點(diǎn)均在集合12,-2,才中，求〃尤)的極小值.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】(2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=4-nln(x+b).

(1)證明：當(dāng)。>0力=0時(shí)，/■(*)有唯一的極值點(diǎn)為%,并求/(%)取最大值時(shí)吃的值;

(2)當(dāng)6>0時(shí)，討論“X)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】(2023?江蘇無(wú)錫?校聯(lián)考三模)已知函數(shù)4)=^皿+111(1),工十宗4求〃工)的極值；

【解題方法總結(jié)】

1、因此，在求函數(shù)極值問(wèn)題中，一定要檢驗(yàn)方程((x)=0根左右的符號(hào)，更要注意變號(hào)后極大值與極

小值是否與已知有矛盾.

2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時(shí)，導(dǎo)函數(shù)正處于零點(diǎn)，歸納起來(lái)一句話：原極導(dǎo)零.這個(gè)零點(diǎn)必須穿越x軸，否

則不是極值點(diǎn).判斷口訣：從左往右找穿越(導(dǎo)函數(shù)與x軸的交點(diǎn))；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大.

題型二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)

【例2】(2023?貴州?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃了)=加+及在x=l處取得極大值4,貝京-6=()

A.8B.-8C.2D.-2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023?陜西商洛?統(tǒng)考三模）若函數(shù)/'（x）=/+G2+（a+6）x無(wú)極值，則。的取值范圍為（）

A.[-3,6]B.(-3,6)

C.(-OO,-3]U[6,-FW)D.(―℃,—3)?(6,+oo)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)8（0=*在區(qū)間上）[eN*）上

存在極值，貝"的最大值為（）

A.2B.3C.4D.5

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃元）=gx2-（l+a）x+alnx在x=a處取得極小值,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.[1,+?）B.（1,-H?）C.（0,1]D.（0,1）

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023?廣東梅州梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃無(wú)）=e-^-ax（aeR）

有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍（）

A.~,1）B.（0,1）

C.[0,1]D.。收）

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10]（2023?江蘇揚(yáng)州?高三揚(yáng)州市新華中學(xué)校考開學(xué)考試）若x=a是函數(shù)/（x）=（x-a）2（x_l）的

極大值點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

A.a<\B.a<lC.a>lD.a>\

【解題方法總結(jié)】

根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)

（1）列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為。和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；

（2）驗(yàn)證：求解后驗(yàn)證根的合理性.

題型三：求函數(shù)的最值（不含參）

【例3】（2023?山東淄博?山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)/'（x）=e'sinx-2x.

⑴求曲線y=在點(diǎn)（0"（0））處的切線方程；

⑵求在區(qū)間[-U]上的最大值；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】(2023?云南昆明?高三昆明一中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ln尤-一二在區(qū)間[l,e]上

x

最大值為M，最小值為相，則"-相的值是.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】(2023遼寧葫蘆島統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(x)=2sinx(l+cosx)/l]/a)的最大值是.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13](2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)”《J"sin”，xjo,』，則函數(shù)〃x)

2cosx+sin%L，」

的最小值為.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14](2023?山西?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知尤>0,y>0,且In(孫尸=e*,貝|Yy-lnx-x的最

小值為.

n

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15](2023?海南?？?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))己知正實(shí)數(shù)機(jī)，”滿足："1!1〃=招-〃111加，則一的最小

m

值為.

【解題方法總結(jié)】

求函數(shù)在閉區(qū)間[a,切上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值/(a),f(b)與

/(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.

題型四：求函數(shù)的最值(含參)

【例4】(2023?天津和平?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/'(x)=?-alnx,g(x)=(cosx-1)b,其中aeR.

⑴若曲線y=〃x)在x=l處的切線4與曲線y=g(x)在x、處的切線4平行，求。的值；

(2)若無(wú)?0㈤時(shí),求函數(shù)g(x)的最小值；

⑶若/'(x)的最小值為M。)，證明：當(dāng)ae(0,+oo)時(shí)，

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16](2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃尤)=alnx+gx-a,aeR.討論函數(shù)f(x)的最值;

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練171(2023?四川成都?成都七中校考模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)

=$3-g（6+a）x2+（8+6a）x-8aln尤-4a,

其中aeR.

⑴若a=2,求的單調(diào)區(qū)間;

(2)已知"2)="4),求””的最小值.(參考數(shù)據(jù)：1<30_41n2)<2)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=ln(l+x)+axeT.

(1)當(dāng)a=-l時(shí)，討論函數(shù)/(尤)在(。,+e)上的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a20時(shí)，求在(T0］內(nèi)的最大值；

{1_1_1r)yA

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練191(2023?湖南長(zhǎng)沙?湖南師大附中校考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(尤)=1+'inx-—-1(^w0).

⑴若/(x)存在最大值證明：M+k>l；

M-1

⑵在(1)的條件下，設(shè)函數(shù)ga)=xe'+丁-x，求g(無(wú))的最小值(用含加，左的代數(shù)式表示).

【解題方法總結(jié)】

若所給的閉區(qū)間團(tuán)，句含參數(shù)，則需對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而

得到函數(shù)/(x)的最值.

題型五：根據(jù)最值求參數(shù)

【例5】(2023?四川宜賓?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(x)=〃zxeT+x-lnM>〃eR).

⑴討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)若機(jī)>0,/(X)的最小值是1+In加，求實(shí)數(shù)機(jī)的所有可能值.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20］（2023?山東?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤艉瘮?shù)〃切=；/+f一2在區(qū)間（a-4,a）上存在

最小值，則整數(shù)。的取值可以是.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2。（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（x）=12x-Y在區(qū)間（〃-5,2機(jī)+1）上有最小值，則

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22］（2023?福建泉州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=|x-l|-alnx的最小值為0,則。的

取值范圍為.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2023?江蘇南通?高三?？奸_學(xué)考試）若函數(shù)/（X）=\ex+a\-x的最小值為T,則。=.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24］（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若函數(shù)〃%）=^（-^+2*+°）在區(qū)間（。,4+1）上存在最大值，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25］（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=g/+:x2-2尤+1,若函數(shù)在

（2a-2,2a+3）上存在最小值.則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用

【例6】（2023?天津河北?統(tǒng)考二模）已知。＞0,函數(shù)〃x）=xlna-alnx+（x-e）2,其中e是自然對(duì)數(shù)的

底數(shù).

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=在點(diǎn)。，/⑴）處的切線方程；

⑵當(dāng)a=e時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）求證：函數(shù)/（x）存在極值點(diǎn)，并求極值點(diǎn)與的最小值.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26］（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/5）=2/-3（。+1）尤2+6AX+1,其中aeR.

⑴當(dāng)°=3時(shí),求函數(shù)在（0,3）內(nèi)的極值;

⑵若函數(shù)“X）在［1,2］上的最小值為5）求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)x）=e*sinx.

⑴求函數(shù)/（尤）在［0,2對(duì)內(nèi)的極值點(diǎn)；

7171

⑵求函數(shù)g（x）=/（x）-x在上的最值.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28］（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)y（x）=ln（a-x）,已知x=0是函數(shù)y=W（x）的極值

點(diǎn).

⑴若函數(shù)g（x）=〃x）+e2在（一1,1）內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

⑵討論函數(shù)九（x）=4/（x）-x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（3）求°（%）=在內(nèi)的最值.

xL'

題型七：不等式恒成立與存在性問(wèn)題

【例7】（2023?貴州黔東南?凱里一中?？寄M預(yù)測(cè)）若存在實(shí)數(shù)（0<&<2）,使得關(guān)于x的不等式

3/W6+6<2/+2對(duì)x?（°收）恒成立，則b的最大值是----------

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29］（2023?陜西安康?高三陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若不等式三+21114+%-220對(duì)

e'-2x

Vxe（O,y）恒成立，則a的取值范圍是.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30］（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若存在,使得不等式2x-sinx?7"成立，則機(jī)的

取值范圍為

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31】(2023?浙江金華?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))對(duì)任意的x>l,不等式e-尤4+3尤31nA.一依320恒成立，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32】(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(幻=2/+x-k,g(x)=ax3+te2+cx+47(a*O)上

的奇函數(shù)，當(dāng)X=1時(shí)，g(x)取得極值一2.

(1)求函數(shù)g(M的單調(diào)區(qū)間和極大值；

(2)若對(duì)任意xe[-1,3],都有/(x)Wg(x)成立，求實(shí)數(shù)％的取值范圍；

(3)若對(duì)任意％目-1,3],X2G[-1,3],都有/a)vg(%)成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【解題方法總結(jié)】

在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最

值或值域問(wèn)題加以求解，可采用分離參數(shù)或不分離參數(shù)法直接移項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù).

1.(2022.全國(guó).統(tǒng)考高考真題)函數(shù)/(x)=cos尤+(x+l)sinx+l在區(qū)間[0,2兀]的最小值、最大值分別為()

兀兀B.-羽二-兀兀C-3兀兀c

A.—，一C.—,—F2D.------,—F2

22222222

b

2.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)當(dāng)x=l時(shí),函數(shù)/(x)=oln無(wú)+'取得最大值一2,則f'(2)=()

X

1

A.-1B.——C.ID.1

2

3.(2021.全國(guó).統(tǒng)考高考真題)設(shè)awO,若為函數(shù)〃尤)=a(x-a)2(x的極大值點(diǎn)，則

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

第03講極值與最值

目錄

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)借助函數(shù)圖象，了解高考對(duì)最值、極值的考查相對(duì)穩(wěn)

函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必定，屬于重點(diǎn)考查的內(nèi)容.高考

要和充分條件.在本節(jié)內(nèi)容上無(wú)論試題怎樣變

2022年乙卷第16題，5分

(2)會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極化，我們只要把握好導(dǎo)數(shù)作為研

2022年/卷第10題，5分

大值、極小值.究函數(shù)的有力工具這一點(diǎn)，將函

2022年甲卷第6題，5分

(3)會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等本質(zhì)

2021年/卷第15題，5分

最大值、最小值.問(wèn)題利用圖像直觀明了地展示出

2021年乙卷第10題，5分

來(lái)，其余的就是具體問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

了.最終的落腳點(diǎn)一定是函數(shù)的

單調(diào)性與最值，因?yàn)樗鼈兪菍?dǎo)數(shù)

永恒的主題.

函數(shù)的極小值

函數(shù)的極大值

極小值點(diǎn)

極值與最值極大值點(diǎn)

函數(shù)的最大值

函數(shù)的最值函數(shù)的最小值

?夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：極值與最值

1、函數(shù)的極值

函數(shù)/(X)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)毛附近的所有點(diǎn)都有f(x)</(x0),則稱f(x0)是

函數(shù)的一個(gè)極大值，記作，極大值=/(無(wú)0).如果對(duì)與附近的所有點(diǎn)都有了(XlA/Oo),則稱

/(%)是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作y極小值=/(%).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱X。為極值

點(diǎn).

求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的一般步驟

(1)先確定函數(shù)/(元)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)((無(wú))；

(3)求方程—(x)=0的根；

(4)檢驗(yàn)「(x)在方程-(無(wú))=0的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在

右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)y=/(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右

側(cè)附近為正，那么函數(shù)>=/(x)在這個(gè)根處取得極小值.

注：①可導(dǎo)函數(shù)/(X)在點(diǎn)X。處取得極值的充要條件是：X。是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即

,

/(xo)=O,且在與左側(cè)與右側(cè)，((x)的符號(hào)導(dǎo)號(hào).

②/(%)=0是％為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如/(%)=尤3,f'(0)=0，但/=0

不是極值點(diǎn).另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)/(x)=N，在極小值點(diǎn)%=0是不可

導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：升為可導(dǎo)函數(shù)/(無(wú))的極值點(diǎn)=>/(%)=0;但尸(%)=0/\)為/(%)

的極值點(diǎn).

2、函數(shù)的最值

函數(shù)y=/(x)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)/(幻最小值為

極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者.

2

導(dǎo)函數(shù)為/(x)=ax+bx+c=a(x-xl)(x-x2')(m<xl<x2<n)

(1)當(dāng)a>0時(shí)，最大值是/(西)與/(〃)中的最大者；最小值是/(%)與/(〃。中的最小

者.

(2)當(dāng)。<0時(shí)，最大值是/(%)與/Xm)中的最大者；最小值是/(占)與/(〃)中的最小

者.

一般地，設(shè)>=/(元)是定義在［〃?，〃］上的函數(shù)，y=/(x)在(m,w)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)

y=f(x)在［加，n\上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：

(1)求y=/(x)在(〃?，〃)內(nèi)的極值(極大值或極小值)；

(2)將y=f(x)的各極值與7'(如和/(〃)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一

個(gè)為最小值.

注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最

值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可

能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；

②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；

③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.

【解題方法總結(jié)】

(1)若函數(shù)〃尤)在區(qū)間。上存在最小值"冷向"和最大值/(X)1mJ則

不等式〃x)>a在區(qū)間D上恒成立0/(x)m，n>a；

不等式2a在區(qū)間。上恒成立O/⑴而"2a；

不等式/'(x)<b在區(qū)間。上恒成立o/(x)max<b；

不等式4b在區(qū)間D上恒成立o/(x)max<b；

(2)若函數(shù)〃尤)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，且值域?yàn)?皿?),則

不等式/(x)>a(或f(x)>a)在區(qū)間D上恒成立<=>m>a.

不等式/(無(wú))〈/或/(x)Wb)在區(qū)間。上恒成立07〃V/?.

(3)若函數(shù)在區(qū)間。上存在最小值〃尤)n11n和最大值〃力3,即網(wǎng)可，

則對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論:

不等式a</(X)在區(qū)間。上有解oa</(尤)max;

不等式a4在區(qū)間。上有解=a<〃對(duì)2；

不等式4>/(尤)在區(qū)間。上有解O。>〃尤)1nto；

不等式a2〃尤)在區(qū)間。上有解oa2/(x).；

(4)若函數(shù)〃x)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，如值域?yàn)?八〃)，則對(duì)不等式有

解問(wèn)題有以下結(jié)論：

不等式或aW〃力)在區(qū)間￡>上有解=a<〃

不等式/(力(或52/(⑼在區(qū)間。上有解O機(jī)

(5)對(duì)于任意的石目。，可，總存在馬式!!!，n],使得

〃%)Vg(%)O〃%)a&g(3/；

(6)對(duì)于任意的王￡[〃，可，總存在々4m,n\,使得

/&)zg㈤o/()1111n>g(x2)min；

(7)若存在b],對(duì)于任意的％[m,n],使得

"為)<g(x2)o/a)1nhi泊㈤1nh,；

(8)若存在%]￡[〃，b],對(duì)于任意的馬耳111，n\,使得

(9)對(duì)于任意的b],x2e[m,3使得“xjWgf%?)o〃否)111ax<g(%)1nhi；

(10)對(duì)于任意的％?a,句,x2e[m,"]使得fa)2g(%)ofa)1nhi2g(w)皿;

(11)若存在6],總存在％w[m,n],使得f(石)4g(4)o/(%)111ta4義仁濡

(12)若存在占6[a,0，總存在/e[m,,使得2(須)2g(3)o〃玉)111ax"伍心.

一提升?必考題型歸納

題型一：求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)

【例1】(2023唾國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)/(x)存在一個(gè)極大值/(不)與一個(gè)極小值/(々)

滿足了(%)>/(%)，則/'(x)至少有()個(gè)單調(diào)區(qū)間.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】若函數(shù)f(x)存在一個(gè)極大值/&)與一個(gè)極小值/(々)，則f(x)至少有3個(gè)單調(diào)

區(qū)間，

若/(x)有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，

不妨設(shè)了（X）的定義域?yàn)椋?,6），若。＜玉＜%＜6，其中?？梢詾?00,Z?可以為+°0,

則”X）在（與⑼上單調(diào)遞增，在（占，%）上單調(diào)遞減，（若“X）定義域?yàn)椋ā?）內(nèi)不連

續(xù)不影響總體單調(diào)性），

故/'（龍2）＜/（石），不合題意，

若。＜%＜見＜6，則”X）在（。,％）,（石,6）上單調(diào)遞減，在（彳2，石）上單調(diào)遞增，有

〃%）＜/&）,不合題意；

若/（X）有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，

例如f（X）=X+上的定義域?yàn)?|X片0},則/（X）=中,

XX

令/＜x）＞0，解得x＞l或x＜-l,

則“X）在（F,-l）,（l,+向上單調(diào)遞增，在（-1,0）,（0,1）上單調(diào)遞減，

故函數(shù)〃x）存在一個(gè)極大值〃T）=-2與一個(gè)極小值/⑴=2,且/（-1）＜/（1）,滿足題意,

此時(shí)“X）有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，

綜上所述：/（x）至少有4個(gè)單調(diào)區(qū)間.

故選：B.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)/（x）,其導(dǎo)函數(shù)尸（x）

C.函數(shù)/（x）在無(wú)=。處取得極大值，在x=e處取得極小值

D.函數(shù)“力的最小值為/（d）

【答案】C

【解析】由題圖可知，當(dāng)x＜c時(shí)，f'（x）＞0,所以函數(shù)〃無(wú)）在（-?,c］上單調(diào)遞增,

又a＜b＜c,所以/'（a）＜/（》）＜/（c）,故A不正確.

因?yàn)?'（c）=0，/'（e）=0,且當(dāng)x＜c時(shí)，/^x）＞0；當(dāng)cave時(shí)，/（%）＜0；

當(dāng)x>e時(shí)，/^)>0.所以函數(shù)在x=c處取得極大值，但不一定取得最大值，在尤=

e處取得極小值，不一定是最小值，故B不正確，C正確.

由題圖可知，當(dāng)dWe時(shí)，尸(力<0,所以函數(shù)在⑷e]上單調(diào)遞減，從而/(d)>/(e),

所以D不正確.

故選：C.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)為廣⑺，則“y=「(x)在

(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn)”是“〃x)在(0,2)上有兩個(gè)極值點(diǎn)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

【答案】D

【解析】只有當(dāng)了'(X)在(0,2)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)時(shí)，在(0,2)上才有兩個(gè)極值點(diǎn)，故充

分性不成立；若“X)在(0,2)上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則廣(x)在(0,2)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，則廣⑺

在(0,2)上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，故必要性不成立.綜上，“廣(x)在(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn)”是“〃x)在

2)上有兩個(gè)極值點(diǎn)”的既不充分也不必要條件，

故選：D.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】(2023?廣西南寧?南寧三中?？家荒?設(shè)函數(shù)〃x)=(x-a)(x->)(x-c),

a,b,cwR,尸(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

⑴當(dāng)a=b=c=0時(shí)，過(guò)點(diǎn)P(l,0)作曲線y=的切線，求切點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若出b,b=c,且和尸(x)的零點(diǎn)均在集合，，-2,g，中，求的極小值.

【解析】(1)當(dāng)〃=b=c=0時(shí),/(x)=x3,求導(dǎo)得1(%)=3爐,

設(shè)過(guò)點(diǎn)尸(1,0)作曲線y=/⑺的切線的切點(diǎn)為(吃,片)，則r(x。)=3x；,

于是切線方程為y-片=3x；(x-x。)，即y=3%尤-2￡,因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)尸(1,0),

即有0=3年-2焉，解得%=0或%所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),|-,yI.

(2)當(dāng)a1b,=c時(shí)，/(x)=(x-tz)(x-Z?)2=x3-(tz+2Z?)x2+b(2a+b^x-ab2,

求導(dǎo)得*x)=3(尤一bjx令/'(x)=0,得x=b或戶立了，

上,2a+b七“?-人。2〕n,,2a+ba-b

依題忌〃，b,一--都在集合j2,-2,中，且a]b,a------=—^~,

當(dāng)時(shí)，a----------=------->0,且。-------<a-b,貝|〃=2,力=-2,---------=一,

33333

、r,,42a+ba-b八2a+b，皿2a+b2丁人“

當(dāng)a<Z?時(shí)，a-------<0,且。------->a—b,則。=—2,Z7?=2,-----=—,不付

33333

合題意，

因此a=2,b=-2,/(X)=(X-2)(X+2)2,/Z(X)=(X+2)(3X-2),

當(dāng)XV—2或時(shí)2，rw>o,當(dāng)一2<兀2<*時(shí)，/(％)<0,

33

于是函數(shù)“X)在(-0-2),1,+，|上單調(diào)遞增，在1-2,二上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=g時(shí)，函數(shù)〃x)取得極小值為，|]=-磬.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】(2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=4-aln(x+b).

(1)證明：當(dāng)。>0,》=()時(shí)，f(x)有唯一的極值點(diǎn)為%,并求/(%)取最大值時(shí)與的值；

⑵當(dāng)6>0時(shí)，討論了(X)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【解析】(1)證明：當(dāng)a>0,8=0時(shí)，/(x)=Vx-<7Inx,可得/'(x)的定義域?yàn)?。,+°°),

口，，(、1ay[x-2a人r”\郎/日

且尸(x)=^-一=------，令/'(x)=0n,解得x=46,2

2Vxx2x

當(dāng)0<x<44時(shí)，f(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)尤>4/時(shí)，/(x)>0,單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=4/時(shí)，〃x)有唯一的極小值，即有唯一的極值點(diǎn)為%=4〃，

由/(.^0)=/(4a2)=V4a2—aln(4a2)=2a—2aln(2a),a>0>

令t=2a，設(shè)g(f)=fTlnf,t>。,可得g'⑺=-Inf,

由g(r)=0,解得t=l,

當(dāng)0<r<l時(shí)，g'")>0,g?)單調(diào)遞增；當(dāng)t>i時(shí)，g'?)<0,gQ)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)』，即"三時(shí),g⑺有唯一的極大值，即g⑺取得最大值1,

2

所以當(dāng)/(%)的最大值1時(shí)，Xo=4a=l

1ax—2aG+b

(2)當(dāng)6>0時(shí),“X)的定義域?yàn)閇0,+⑹，且-(無(wú))=

2\[xx+b2石(x+6)

①當(dāng)aWO時(shí)，尸(幻>0時(shí)網(wǎng)6(0,+8)恒成立，此時(shí)單調(diào)遞增,

所以/(尤)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)；

②當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)h(&)=x-2a&+b,BPh(x)=x2-lax+b(x>0)

⑴當(dāng)4a2_傷40,即0<a4揚(yáng)時(shí)，可得/i(x)N0,即/'(x)2。對(duì)Vxe(0,+oo)恒成立,

即/(x)在(0,+8)上無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，所以此時(shí)/(X)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為。個(gè)；

(ii)當(dāng)4a2-4Z?>0,即a>揚(yáng)時(shí)，

設(shè)/z(x)的兩零點(diǎn)為石,三，且不<%，占+%2=2。>0,=Z?>0,可得玉>0,尤2>。

即/(X)在(0,+8)上有2個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以此時(shí)“X)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)；

綜上所述，當(dāng)而時(shí)，/(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)a>新時(shí)，〃x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】(2023?江蘇無(wú)錫?校聯(lián)考三模)已知函數(shù)〃x)=tan^+ln(17)”［q』［

求〃x)的極值；

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=taiu:+ln(l-,所以

rf(\_1-1_11_X-1+COS2%

J1%J=7?=9?=7C2―，

cosx1-xcosxx-1(x-l)cosX

設(shè)/z(x)=x—1+cos2x,"(x)=1—2cosxsinx=1—sin2x>0,

所以〃(x)在1上單調(diào)遞增.

又"0)=0,所以當(dāng)｝寸，/i(x)<0；當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/z(x)>0.

又因?yàn)?xT)cos、<0對(duì)恒成立，

所以當(dāng)時(shí)，/^)>0；當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/'(x)<0.

即/(x)在區(qū)間［-今，°)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

故“X)極大值=〃°)=°，〃x)沒(méi)有極小值?

【解題方法總結(jié)】

1、因此，在求函數(shù)極值問(wèn)題中，一定要檢驗(yàn)方程/(彳)=0根左右的符號(hào)，更要注意變

號(hào)后極大值與極小值是否與己知有矛盾.

2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時(shí)，導(dǎo)函數(shù)正處于零點(diǎn)，歸納起來(lái)一句話：原極導(dǎo)零.這個(gè)零點(diǎn)必

須穿越x軸，否則不是極值點(diǎn).判斷口訣：從左往右找穿越(導(dǎo)函數(shù)與x軸的交點(diǎn))；上坡

低頭找極小，下坡抬頭找極大.

題型二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)

【例2】(2023?貴州?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=依3+反在》=1處取得極大值4,

則〃一6=()

A.8B.-8C.2D.-2

【答案】B

【解析】因?yàn)?(%)=加+〃丫，所以/'(%)=3加+6,

所以/''(1)=3。+人=0,/(1)=4+6=4,解得。=_2,6=6,

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以。-6=-8.

故選：B

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】(2023?陜西商洛?統(tǒng)考三模)若函數(shù)/(尤)=Y+ax2+(a+6)x無(wú)極值，貝匹

的取值范圍為()

A.[-3,6]B.(—3,6)

C.(-QO,-3]u[6,+00)D.(-00,-3)II(6,+oo)

【答案】A

【解析】因?yàn)槲鼍?=爐+依2+3+6)%,所以L=3f+2ax+a+6,因?yàn)?(%)無(wú)極值，所

以(2〃)2-4x3x(〃+6)K0,解得-所以〃的取值范圍為[-，6].

故選：A.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】(2023?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí))函數(shù)g(x)="在區(qū)間

上,+00)?￡N*)上存在極值，貝"的最大值為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】函數(shù)g(x)=￡的定義域?yàn)?0,+功，

一?(x+l)_ln尤,11

\-x____________x+1—xlnx,

g(xJ_--——一一--5-

(x+1)尤(了+1)

=x+1—xlnx,==—In%,

所以當(dāng)x?o,i)時(shí),/(以>0,當(dāng)尤qi,物)時(shí)，尸(以<o,

所以/(x)=x+l-xlnx在(0,1)單調(diào)遞增，(1,+⑹單調(diào)遞減，

所以/(尤)2=")=2>0,

又因?yàn)楫?dāng)xe(0,1)時(shí)，lnx<0,-xlnx>0,則/'(x)=:t+l-xlnx>。,

/(3)=4-31n3=lne4-ln27>0,

/(4)=5-41n4=lne5-ln256<ln243-In256<0,

所以存在唯一毛e(3,4),使