2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：古典概型與統(tǒng)計（解析）

專題17統(tǒng)計與古典概型

1.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國，，學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容,

立足全體黨員，面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門/PP.某市

宣傳部門為了解全民利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”了解國家動態(tài)的情況，從全市抽取4000名人員進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計他們每

周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國'’的時長，繪制如圖所示的頻率分布直方圖（每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國'’的時長均分布在［0,14］）.

⑴求實數(shù)。的值，并求所有被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國''的平均時長（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）;

（2）宣傳部為了了解大家利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從［8,10）和［10,12）組中抽取

50人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50人中選5人參加一個座談會，現(xiàn)從參加

座談會的5人中隨機(jī)抽取2人發(fā)言，求［10,12）組中恰好有1人發(fā)言的概率.

【答案】（1）0.075,6.8

（2）30人，20人；|

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖性質(zhì)即利用各組頻率之和為1即可求得a的值；根據(jù)平均數(shù)的計算方法

即可求得平均時長；

（2）根據(jù)分層抽樣即按比例抽樣即可求得兩組各抽取多少人，繼而求得從參加座談會的5人中隨機(jī)抽取2

人各組抽取的人數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.

【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖性質(zhì)可得（0.025+0.050+0.125+0.150+a+0.050+0.025）x2=1,

解得a=0.075；

根據(jù)頻率分布直方圖可得所有被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時長為：

0.05x1+0.1x3+0.25x5+0.3x7+0.15x9+0.1x11+0.05x13=6.8.

（2）由題意得［8,10）組的人數(shù)為4000x0.15=600,［10,12）組的人數(shù)為4000x0.1=400,

這兩組的人數(shù)之比為600:400=3:2,

故［8,10）組抽取的人數(shù)為gx50=30；［10,12）組抽取的人數(shù)為:x50=20；

利用分層抽樣從抽取的50人中選5人參加一個座談會,

則［8,10)組抽取的人數(shù)為3X5=3；［10,12)組抽取的人數(shù)為|x5=2,

從參加座談會的5人中隨機(jī)抽取2人發(fā)言，共有C,=10種抽取方法，

［10,12)組中恰好有1人發(fā)言的抽取方法有CjC：=6,

故［10,12)組中恰好有1人發(fā)言的概率為P=^=|.

2.某學(xué)校參加全國數(shù)學(xué)競賽初賽(滿分100分).該學(xué)校從全體參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的初賽

成績繪制成頻率分布直方圖如圖所示：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖給出的數(shù)據(jù)估計此次初賽成績的中位數(shù)和平均分?jǐn)?shù)；

(2)從抽取的成績在90-100的學(xué)生中抽取3人組成特訓(xùn)組，求學(xué)生力被選的概率.

【答案】⑴中位數(shù)67.5分，平均數(shù)67.75分

(2)0.6

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖求中位數(shù)和平均數(shù)的求法計算即可；

(2)利用列舉法結(jié)合古典概型即可得解.

【詳解】(1)因為10X(0.0075+0.02)=0.275,0.275+10X0.03=0,575,

所以中位數(shù)位于區(qū)間［60,70),

設(shè)中位數(shù)為X,

則10x(0.0075+0,02)+10(x-60)=0.5,解得x=67.5,

即中位數(shù)為67.5分，

平均分為

10x(0.0075x45+0.02x55+0.03x65+0.025x75+0.015x85+0.0025x95)=67.75分;

(2)成績在90-100的學(xué)生有200x10x0.0025=5人,

設(shè)為A,b,c,d,e,

從這5人中抽取3人，

有(A,b,c),(A,b,d),(A,b,e),(A,c,d),(A,c,e),(A,d,e),(b,c,d),(b,c,e),

(b,d,e),(c,d,e)共10種，

其中學(xué)生A被選有(A,b,c),(A,b,d),(A,b,e),(A,c,d),(A,c,e),(A,d,e)共6種，

所以學(xué)生A被選的概率為2=0.6.

3.某重點大學(xué)為了解準(zhǔn)備保研或者考研的本科生每天課余學(xué)習(xí)時間，隨機(jī)抽取了100名這類大學(xué)生進(jìn)行調(diào)

查，將收集到的課余學(xué)習(xí)時間(單位：h)整理后得到如下表格：

課余學(xué)習(xí)時間[1,3：[35[5,7：[7,9：[9,11：

人數(shù)510254020

(1)估計這100名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時間的中位數(shù)；

⑵根據(jù)分層抽樣的方法從課余學(xué)習(xí)時間在［7,9)和［9,11］,這兩組中抽取6人,再從這6人中隨機(jī)抽取2人,

求抽到的2人的課余學(xué)習(xí)時間都在［7,9)的概率.

【答案】(1)7.5

(2)|

【分析】(1)根據(jù)頻數(shù)分布表估計中位數(shù)的方法直接求解即可；

(2)根據(jù)分層抽樣原則可確定從［7,9)和［9,11］兩組中抽取的人數(shù)，采用列舉法可得所有基本事件和滿足題

意的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.

【詳解】(1)5+10+25=40,5+10+25+40=80,

??.這100名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時間的中位數(shù)位于［7,9)之間，

則中位數(shù)為7+^X2=75

40

(2)由題意知：從課余學(xué)習(xí)時間在［7,9)這一組抽取6x^=4人，分別記為21應(yīng)兩.4,從課余學(xué)習(xí)時間

60

在［9,11］這一組抽取6X?=2人，分別記為也,b2；

OU

從這6人中隨機(jī)抽取2人，所有的基本事件為：

同,a2},{a1,33},{a1,aj,{a】,b』⑶,b2},{a2,a?},{a2,aj⑶,b』⑶,b2},⑶,aj,

{a?,bj,{a3,b2},{a4lbj,{a*b2}f{b1；b2},共15個基本事件；

其中“抽到的2人的課余學(xué)習(xí)時間都在［7,9）”包含的基本事件為：

（al，a2）＞［al＜a3），{al?a4）＞{a2?a3），（a2?a4）＞{a3?a4）,共6個基本事件；

???抽到的2人的課余學(xué)習(xí)時間都在［7,9）的概率P=2/

4.2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，航天員翟志剛、王亞平、葉光富完成在軌駐

留半年的太空飛行任務(wù)，標(biāo)志著中國空間站關(guān)鍵技術(shù)驗證階段圓滿完成.并將進(jìn)入建造階段某地區(qū)為了激

發(fā)人們對天文學(xué)的興趣，開展了天文知識比賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度

高的有機(jī)人，這a人按年齡分成5組，其中第一組：［20,25）,第二組：［25,30）,第三組：［30,35）,第四組:

［35,40）,第五組：［40,45］,得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這6人的第80百分位數(shù)（中位數(shù)=第50百分位數(shù)）；

（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任“黨章黨史”的宣傳使者.

①若有甲（年齡36）,乙（年齡42）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中,

再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；

②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和■!，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為

42和1,據(jù)此估計這小人中35?45歲所有人的年齡的平均數(shù)和方差.

【答案】（1）37.5

⑵①②年齡的平均數(shù)為38,方差約為10

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可確定第80百分位數(shù)第四組，根據(jù)第80百分位數(shù)定義可構(gòu)造方程求得

結(jié)果；

（2）①根據(jù)分層抽樣原則可求得第四組和第五組抽取的人數(shù)，采用列舉法可得樣本點總數(shù)和滿足題意的樣

本點個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果；

②由z=也等2可求得第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)，由s2=i(4s?+4x2+2s^+2y2—

6N)可求得第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差.

【詳解】(1)設(shè)第80百分位數(shù)為a,

???0.01x5+0.07x5+0.06x5=0.7<0.8,0.01x5+0.07x5+0.06x5+0.04x5=0.9>0.8,

a位于第四組:[35,40)內(nèi);

方法一：由5x0.02+(40-a)x0.04=0.2得：a=37.5.

方法二：由0.7+(a—35)X0.04=0.8得:a=37.5.

(2)①由題意得，第四組應(yīng)抽取0.04x5x20=4人，記為A,B,C,甲；第五組抽取0.02x5x20=2

人，記為D,乙，

對應(yīng)的樣本空間為：AB,AC,A甲，AD,A乙，BC,B甲，BD,B乙，C甲，CD,C乙，甲D,甲乙，D

乙，共15個樣本點.

設(shè)事件M為“甲、乙兩人至少一人被選上”，

則有A甲，A乙，B甲，B乙，C甲，C乙，甲D,甲乙，D乙，共有9個樣本點.

P(M)=嚶=2=2；

'Jn(Q)155

②設(shè)第四組的宣傳使者的年齡分別為Xi，X2，X3，X4,平均數(shù)分別為又=36,方差分別為好=|,

設(shè)第五組的宣傳使者的年齡分別為yi，y2,平均數(shù)分別為y=42,方差分別為y=1,

則友=扛3號，曠=舞=1%,s孑=/11(號-又)2=乂2：汨-4*),s"g2：=i(yi-yi=乂2：=1次-

2y2),

可得卻產(chǎn)=4及，=2y,2：*=4s"鉉2,=2s"2y2,

設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為Z,方差為s2.

則7=葭/+鼠中=軌+21=4X36+2X42=

666

即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為38,

則S2=如2乙(XL7)2+2K(y「訓(xùn)=-4乎)+(2匚斕-2到]

=|(4s?+4x2+2sg+2y2-6z2)=1x(4x|+4x362+2xl+2x422-6x382)=10.

即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10；

據(jù)此估計這m人中年齡在35?45歲的所有人的年齡的平均數(shù)為38,方差約為10.

5.某公司有甲、乙兩支研發(fā)團(tuán)隊，現(xiàn)在要考察兩支團(tuán)隊的研發(fā)水平，隨機(jī)抽取兩個團(tuán)隊往年研發(fā)新品的成

果如下：（4B）,（力,瓦），（4B）,（WB）,（彳,瓦），（4,B）,（AB）,（4互）,（1,8）,（4百）,自如）,（4B）,（4瓦）,

（Z,B）,（4B）.其中41分別表示甲團(tuán)隊研發(fā)成功和失?。籅,互分別表示乙團(tuán)隊研發(fā)成功和失敗.

（1）若某團(tuán)隊成功研發(fā)一種新品，則給該團(tuán)隊記1分，否則記0分.試求兩隊研發(fā)新品的成績的平均數(shù)和方差,

并比較兩團(tuán)隊的研發(fā)水平；

（2）若公司安排兩團(tuán)隊各自研發(fā)一種新品，試估計恰有一隊研發(fā)成功的概率.

【答案】⑴平均數(shù)二=|,x7=|；方差s2=|,s；=9甲團(tuán)隊的研發(fā)水平優(yōu)于乙團(tuán)隊

（2玲

【分析】（1）用平均數(shù)與方差公式計算，并比較可得結(jié)果;

（2）由古典概型可求概率.

【詳解】（1）甲團(tuán)隊研發(fā)新產(chǎn)品的成績?nèi)缦拢?/p>

1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1；

乙團(tuán)隊研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)椋?/p>

1,0,1,1,0,1,1,0,I,0,0,1,0,1,1.

祠〉二，s備＜s5,通過兩隊平均數(shù)、方差的比較，

1T乙中乙

可以看出甲團(tuán)隊的研發(fā)水平優(yōu)于乙團(tuán)隊.

（2）記恰有一隊研發(fā)成功的概率為P

所抽的15個結(jié)果中，恰有一組研發(fā)成功包括

（A,B）,（A,B）,（A.B）,（A,B）,（A,B）,（氏百）共7個，

P=工.

15

6.我市某校為了解高一新生對物理科與歷史科方向的選擇意向，對1000名高一新生發(fā)放意向選擇調(diào)查表,

統(tǒng)計知，有600名學(xué)生選擇物理科，400名學(xué)生選擇歷史科.分別從選擇物理科和歷史科的學(xué)生中隨機(jī)各抽

取20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績得如下累計表（下表）：

分?jǐn)?shù)段物理人數(shù)歷史人數(shù)

試分析數(shù)學(xué)成績對學(xué)生選擇物理科或歷史科的影響,

并繪制選擇物理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖，并求出選擇物理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)（如

圖）;

（2）從數(shù)學(xué)成績低于80分的選擇物理科和歷史科的學(xué)生中按照分層抽樣的方法抽取5個成績，再從這5個成

績中抽2個成績，求至少有一個選擇物理科學(xué)生的概率.

【答案】（1）答案見解析，79.5

⑵看

【分析】（1）從統(tǒng)計表看出選擇理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績高于選擇文科的學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績，反映了

數(shù)學(xué)成績對學(xué)生選擇文理科有一定的影響，然后根據(jù)數(shù)據(jù)繪制出直方圖即可；

（2）按照分層抽樣的方法確定選擇物理學(xué)科的數(shù)學(xué)成績和選擇歷史學(xué)科的數(shù)學(xué)成績各有多少，從中抽2個

成績，列舉出所有的基本事件，進(jìn)而根據(jù)古典概型的概率公式求解即可.

【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)知，隨著數(shù)學(xué)成績分?jǐn)?shù)的提升，選擇物理方向?qū)W生的占比有明顯的提升，

所以數(shù)學(xué)成績越好，其選擇物理科方向的概率越大.

頻率分布直方圖如下：

選擇物理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為天=55x0.05+65x0.15+75x0.3+85x0.3+95x0.2=

79.5.

(2)由題可知，數(shù)學(xué)成績低于80分的選擇物理學(xué)科的成績有10個，選擇歷史學(xué)科的成績有15個，一共

有25個,

則按照分層抽樣的方法在選擇物理學(xué)科的數(shù)學(xué)成績應(yīng)抽取10x^=2個，設(shè)為A,B,

在選擇歷史學(xué)科的數(shù)學(xué)成績應(yīng)抽取15X卷=3個，設(shè)為a,b,c,

基本事件列舉如下：AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Be,Ab,ac,be.

所以，一共有10個基本事件，滿足條件的有7個：AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Be,

所以至少有一個選擇物理科學(xué)生的概率為P=看.

7.今年是中國共青團(tuán)建團(tuán)100周年，我校組織了1000名高中同學(xué)進(jìn)行團(tuán)的知識競賽成績分成6組:[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數(shù)據(jù)a,b,

c成等差數(shù)列，成績落在[40,50)U[70,80)內(nèi)的人數(shù)為400.

(1)求出直方圖中a,b,c的值;

(2)估計中位數(shù)(精確到0.1)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)；

(3)在區(qū)間［80,100］內(nèi)的學(xué)生中通過分層抽樣抽取了5人，現(xiàn)從5人中再隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行現(xiàn)場知識答辯，求

抽取兩人中恰好有1人得分在區(qū)間［90,100］內(nèi)的事件概率.

【答案】(l)a=0.01,b=0.015,c=0.02,

⑵平均數(shù)為70.5,中位數(shù)為71.7.

【分析】(1)根據(jù)頻率之和為1、a,b,c成等差數(shù)列以及成績落在［40,50)U［70,80)內(nèi)的人數(shù)為400可得關(guān)于

a,b,c的方程，求出其解即可.

(2)利用組中值可求均值，利用公式可求中位數(shù).

(3)根據(jù)頻率之比可得抽取人數(shù)之比，再用列舉法求出基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中的基本事件的個數(shù)，

故可求對應(yīng)的概率.

【詳解】(1)因為a,b,c為等差數(shù)列，故2b=a+c,

又(2a+2b+c+0.03)x10=1,故2a+2b+c=0.07,

因為成績落在［40,50)U［70,80)內(nèi)的人數(shù)為400,故(a+0.03)X10=部，

故a=0.01,故b=0.015,c=0.02.

(2)由頻率分布直方圖可得平均數(shù)為：

45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5,

前3組的頻率之和為0.1+0.15+0.2=0.45,

前4組的頻率之和為0.1+0.15+0.2+0.3=0.75,

故中位數(shù)在區(qū)間［70,80)中，設(shè)該數(shù)為x,則答

1UU.DO

故X=70+971.7.

(3)區(qū)間［80,90)、［90,100］上的頻率之比為0.15:0.1=3:2,

故5人中在分?jǐn)?shù)在［80,90)內(nèi)的人數(shù)為3人，記為a,b,c,

分?jǐn)?shù)在［90,100］內(nèi)的人數(shù)為2人，記為A,B,

從5人中隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行現(xiàn)場知識答辯，共有10種取法：

{a,A},{b,A},{a,B},{b,B},{c,A},{c,B},{a,b},{a,c},{c,b},{A,B}.

設(shè)C為“兩人中恰好有1人得分在區(qū)間［90,100］內(nèi)”，則C中的基本事件為：

{a,A},{b,A},{a,B},{b,B),{c,A},{c,B},共6個,

故P(A)=".

8.今年是中國共青團(tuán)建團(tuán)100周年，我校組織了1000名高中同學(xué)進(jìn)行團(tuán)的知識競賽.成績分成5組:［50,60),

［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］,得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數(shù)據(jù)a,b,c成等差

數(shù)列，成績落在區(qū)間［60,70)內(nèi)的人數(shù)為400.

(2)估計中位數(shù)(精確到0.1)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)；

(3)在區(qū)間［80,100］內(nèi)的學(xué)生中通過分層抽樣抽取了5人，現(xiàn)從5人中再隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行現(xiàn)場知識答辯，求

抽取兩人中恰好有1人得分在區(qū)間［90,100］內(nèi)的事件概率.

【答案】(l)a=0.04,b=0.03,c=0.02；

⑵中位數(shù)為71.7,平均數(shù)為73；

(3)|

【分析】(1)先由在區(qū)間［60,70)內(nèi)的人數(shù)求出a值，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和頻率分布直方圖中所有小矩

形的面積之和為1,求出b,c的值；

(2)設(shè)中位數(shù)為x,根據(jù)中位數(shù)左側(cè)直方圖的面積為0.5求解中位數(shù)，利用平均數(shù)等于每個小矩形的面積

乘上小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和求解平均數(shù)；

(3)先利用分層抽樣求出抽取的5人中4人來自區(qū)間［80,90),1人來自區(qū)間［90,100］,再利用古典概型求

出抽取兩人中恰好有1人得分在區(qū)間［90,100］內(nèi)的概率.

【詳解】(1)由已知可得a=400+1000+10=0.04,

則(0.005+0.04+b+c+0.005)X10=1,即b+c=0.05,

又：a,b,c成等差數(shù)列，；.2b=0.04+c,

解得c=0.02,b=0.03,

(2)V(0.005+0.04)x10=0.45<0.5,(0.005+0.04+0.03)X10=0,75>0,5,

二設(shè)中位數(shù)為x,且xe［70,80),

二(0.005+0.04)x10+(x-70)X0.03=0.5,解得x?71.7,

即中位數(shù)為71.7,

平均數(shù)為(55X0.005+65X0.04+75x0.03+85x0.02+95x0.005)x10=73,

(3)成績位于區(qū)間［80,90)內(nèi)的學(xué)生有0.02X10X1000=200人，成績位于區(qū)間［90,100］內(nèi)的學(xué)生有

0.005x10x1000=50人，

通過分層抽樣抽取了5人中來自區(qū)間［80,90)的人數(shù)為

5x就標(biāo)=4人,來自區(qū)間［90,100］的人數(shù)為5x募部=1人，

抽取兩人中恰好有1人得分在區(qū)間［90,l()0］內(nèi)的概率為P=罷=■j.

9.全國中學(xué)生生物學(xué)競賽隆重舉行.為做好考試的評價工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了

50名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照

［40,50),［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中小的值，并估計這50名學(xué)生成績的中位數(shù)；

⑵在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在［70,80),［80,90),［90,100］的三組中抽取了11人，再從這11

人中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績都不在［70,80)的概率.

【答案】(l)m=0.012；68

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1求出參數(shù)m的值，再根據(jù)中位數(shù)計算規(guī)則

計算可得；

(2)首先求出各組抽取的人數(shù)，將這11人按所在的組編號分別為：AI，A2，A3，A4，A5，A&A7,B1,B2,B3,C,

求出基本事件總數(shù)，再找出符合題意的事件，最后利用古典概型的概率公式計算可得.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，(0.004+m+0.022+0.03+0.028+0.004)xl0=1,

解得m=0.012,

設(shè)中位數(shù)為a,因為(0.004+0.022)x10=0.26<0.5,(0.004+0.022+0.030)X10=0.56>0.5,

所以ae[60,70),

???0.004x10+0.022x10+(a-60)x0.03=0.5解得a=68；

(2)v[70,80),[80,90),[90,100]的三組頻率之比為0.28:0.12:0.04=7:3:1,

.??從[70,80),[80,90),[90,100]中分別抽取11X元1=7人，llx”7T=3人，11乂忌？=1人，

將這11人按所在的組編號分別為：AI，A2，A3，A4，A5，A6，A7，Bi.B2,B3,C,

從中任取2人,所有的取法有(A1，A2),(A1，A3),…,(B3，C),共衛(wèi)#=55種取法,

其中2人成績都不在[70,80)的取法有：

(Bi，B2),(BI，B3),(B2,B3),&C),(B2,C),(B3,C),共6種情況，

所以這2人成績都不在[70,80)的概率P=總

10.清明期間，某校為緬懷革命先烈，要求學(xué)生通過前往革命烈士紀(jì)念館或者線上網(wǎng)絡(luò)的方式參與“清明祭

英烈”活動，學(xué)生只能選擇一種方式參加.已知該中學(xué)初一、初二、初三3個年級的學(xué)生人數(shù)之比為4:5:6,

為了解學(xué)生參與“清明祭英烈”活動的方式，現(xiàn)采用分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù).

年級人數(shù)方式初一年級初二年級初三年級

前往革命烈士紀(jì)念館2a-l810

線上網(wǎng)絡(luò)ab2

(1)求a,b的值；

(2)從該校各年級被調(diào)查且選擇線上網(wǎng)絡(luò)方式參與“清明祭英烈”活動的學(xué)生人任選兩人，求這兩人是同一個

年級的概率.

【答案】(l)a=3,b=2

【分析】(1)根據(jù)分層抽樣的原理，按比例計算出a,b；

(2)根據(jù)條件，求出任取2人的結(jié)果數(shù)和任取2人是同一個年級的結(jié)果數(shù)，再求出概率即可.

【詳解】(1)由題可知,4:5:6=(3a—l):(b+8):12,解得a=3,b=2；

(2)由(1)知，選擇網(wǎng)絡(luò)方式的，初一有3人(分別記為ai，a2，a3),

初二和初三都是2人(分別記為瓦,b2和J,c2),

任取2人有(a1(a2),(a1,a3),(a1,bj,(a1,b2),(a1(c。(a1(c2),(a2,a3),⑶,b。⑶,b2)，

acaca

(2>i)>(2>2)>(3>bj,(a3,b2),(a3,Cj),(a3,c2),(b1；b2),(b?cj,

(bl，C2),(b2,cj,(Y>2'C2)>(CI>C2)共21種方法；

同一個年級的有(ai，a2),(a1,a3),(a2,a3),(b1；b2),Q,c?)共5種方法，

故2人是同一年級的概率為P=捺

11.已知1個不透明的袋子中裝有6個白球和4個黃球(這些球除顏色外無其他差異).甲從袋中摸出1球,

若摸出的是白球，則除將摸出的白球放回袋子中外，再將袋子中的1個黃球拿出，放入1個白球；若摸出

的是黃球，則除將摸出的黃球放回袋子中外，再將袋子中的1個白球拿出，放入1個黃球.再充分?jǐn)嚢杈?/p>

勻后，進(jìn)行第二次摸球，依此類推，直到袋中全部是同一種顏色的球，已知甲進(jìn)行了4次摸球，記袋子中

白球的個數(shù)為X.

(1)求袋子中球的顏色只有一種的概率；

⑵求X的分布列和期望.

【答案】(1送

(2)分布列見解析，禁

【分析】(1)根據(jù)袋子中有6個白球和4個黃球，摸4次只剩一種顏色，則只會剩下白球求解;

(2)由X的所有可能取值為2,4,6,8,10,分別求得其概率，然后列出分布列求解.

【詳解】(1)解：分別記第i次摸到白球和黃球為事件A”Bj,

記“4次摸球后，袋子中球的顏色只有一種”為事件D,

6789189

則P(D)=P(AiA2A3A4)=_x_x__x_=__

10101010—625

(2)X的所有可能取值為2,4,6,8,10.

P(X=2)=P(B1B2B3B4)=±X^XAXZ=^

634

P(X=4)=P(A1B2B3B4)+P81A2B3B4)+P(B$2A3B4)+P(B1B2B3A4)=—X—x—

5.4545,4545.456319

X------1-----X—X—X----1-------X—X—X----1-------X—X-X—=—

10101010101010101010101010125

45

P(X=8)=P(B]A2A3A4)+P(A]B2A3A4)+P(A1A2B3A4)+P(A1A2A3B4)=-X—x

6、716一3、，6,7,6,7_2、，7,6,7、8163

—X-----1-----X—X—X------1-----X—X—X-------1-----X—X-X—=------

1010101010101010101010101010250

6789189

P(X=10)=P(AAAA)=—X—X-X—=-----,

123410101010625

P(X=6)=1-P(X=10)-P(X=2)-P(X=4)-P(X=8)=景.

故X的分布列為

X246810

211913163189

P

250125625250625

M.一八C21,.19..131,63,“1894421

故E(X)=2X-------F4X—+6X-------Fo8X-------F10X—=

k7250125625250625625

12.在數(shù)學(xué)探究實驗課上，小明設(shè)計了如下實驗:在一個盒子中裝有藍(lán)球、紅球、黑球等多種不同顏色的小球,

一共有偶數(shù)個小球，現(xiàn)在從盒子中一次摸一個球，不放回.

(1)若盒子中有6個球，從中任意摸兩次，摸出的兩個球中恰好有一個紅球的概率為,.

①求紅球的個數(shù)；

②從盒子中任意摸兩次球,記摸出的紅球個數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(2)已知盒子中有一半是紅球，若“從盒子中任意摸兩次球，至少有一個紅球”的概率不大于9求盒子中球的總

個數(shù)的最小值.

【答案】(1)①紅球的個數(shù)為3;②分布列見解析;數(shù)學(xué)期望為1

(2)最小值為8

【分析】(1)設(shè)出紅球的個數(shù),根據(jù)古典概型的概率公式列出等式，即可解出紅球的個數(shù);根據(jù)紅球的個數(shù)寫出X

的所有可能取值,分別求出概率，列出分布列即可；

(2)設(shè)出球的個數(shù)，求出從盒子中任意摸兩次球，都不是紅球的概率，進(jìn)而求得至少有一個紅球的概率，使其小于

等于2即可求得球的總個數(shù)范圍，進(jìn)而求出結(jié)果.

【詳解】(1)①設(shè)紅球的個數(shù)為兀521),則摸出的兩個球中恰好有一個紅球的概率P=%&=|,

5

解得幾=3,所以紅球的個數(shù)為3;

②X的所有可能取值為0,1,2,

則P(x=0)=|=和(X=1)=沁X=2)='*

故隨機(jī)變量X的分布列為

所以E(X)=0x^+lx|-+2x-1=l;

(2)設(shè)球的總個數(shù)為2科則紅球的個數(shù)為犯

則從盒子中任意摸兩次球，都不是紅球的概率:P=患=黑尚=急，

所以至少有一個紅球的概率p=1-/=/==+擊4,

解得?。?,所以盒子中球的總個數(shù)的最小值為8.

13.某班在一次班會課上推出了一項趣味活動：在一個箱子里放有4個完全相同的小球，小球上分別標(biāo)注

有1、2、3、4號碼.參加活動的學(xué)生有放回地摸兩次球，每次摸1個，并分別記錄下球的號碼數(shù)字x,y.獎

勵規(guī)則如下：①若次3,則獎勵筆記本1本；②若個次，則獎勵水杯1個；③其余情況獎勵飲料1瓶.

(1)求小王獲得筆記本的概率；

(2)試分析小王獲得水杯與獲得飲料，哪一個概率大?

【答案】(1后

(2)獲得水杯的概率大

【分析】(1)采用列舉的方法，得到(x,y)的所有基本事件的個數(shù)，以及滿足xyS3的基本事件的個數(shù)，利

用古典概型的概率公式，即可求解；

(2)同樣采用列舉的方法，求小王獲得水杯和獲得飲料的概率，再比較大小，即可判斷.

【詳解】(1)小王兩次摸球，(x,y)的情況包含(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,

4)共16種情況，其中滿足xyW3的有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),共有5種情況,

所以小王獲得筆記本的概率P=2

16

(2)滿足xy28的基本事件包含(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)共6個基本事件，

所有小王獲得水杯的概率P=5=［，

168

小王獲得飲料的概率p=l—9-=白，

16816

因為5>2所有獲得水杯的概率大.

O16

14.2022年2月4日，第24屆北京冬奧會在國家體育館隆重開幕，本屆冬奧會吸引了全球91個國家和地

區(qū)的2892名冰雪健兒前來參賽.各國冰雪運動健兒在“一起向未來”的愿景中，共同詮釋“更快、更高、更強(qiáng)、

更團(tuán)結(jié)”的奧林匹克新格言，創(chuàng)造了一項又一項優(yōu)異成績，中國隊9金4銀2銅收官，位列金牌榜第三，金

牌數(shù)和獎牌數(shù)均創(chuàng)歷史新高.中國健兒在賽場上努力拼搏，激發(fā)了全國人民參與冰雪運動的熱情，憨態(tài)可掬

的外貌加上富有超能量的冰晶外殼的吉祥物“冰墩墩”備受大家喜愛.某商場舉行“玩摸球游戲，領(lǐng)奧運禮品”

的促銷活動，活動規(guī)定：顧客在該商場一次性消費滿300元以上即可參加摸球游戲.摸球游戲規(guī)則如下：在

一個不透明的袋子中裝有10個大小相同、四種不同顏色的小球，其中白色、紅色、藍(lán)色、綠色小球分別有

1個、2個、3個、4個，每個小球上都標(biāo)有數(shù)字代表其分值，白色小球上標(biāo)30、紅色小球上標(biāo)20、藍(lán)色小

球上標(biāo)10、綠色小球上標(biāo)5.摸球時一次只能摸一個，摸后不放回.若第一次摸到藍(lán)色或綠色小球，游戲結(jié)束,

不能領(lǐng)取奧運禮品；若第1次摸到白色小球或紅色小球，可再摸2次.若摸到球的總分不低于袋子中剩下球

的總分，則可免費領(lǐng)取奧運禮品.

(1)求參加摸球游戲的顧客甲能免費領(lǐng)取奧運禮品的概率；

(2)已知顧客乙在第一次摸球中摸到紅色小球，設(shè)其摸球所得總分為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1點

(2)分布列見解析，等.

【分析】(1)分甲第一次摸到白球或者紅球兩種情況討論，利用互斥事件的概率和古典概型的概率公式求

解；

(2)由條件可知X=70,60,55,50,45,40,35,30,再求出對應(yīng)的概率即得解.

【詳解】(1)解：因所有小球的總分為120分，若甲第1次摸到白球，再摸兩個球的顏色若都是紅色，或

者一紅一藍(lán)即可領(lǐng)取奧運禮品，其概率為=工；

若甲第1次摸到紅球，再摸2個球的顏色若是一白一紅，一白一藍(lán)即可領(lǐng)取奧運禮品，其概率為

2x（lxlx2+lx3x2）_1

10x9x8-45；

所以顧客甲能免費領(lǐng)取奧運禮品的概率為1+2=白

3ol）45Z4

(2)解：由條件可知x=70,60,55,50,45,40,35,30,

P(X=「7。）」；，3P（X—6。）一■一：,

P(X=55)=44「二=5。）=蜜=2

P(X=45)=44P（X=40）=蕊T

P(X=35)=若號

P(X=30)=告4

于是X的分布列為:

X7060555045403530

11111111

P

361291291236

其數(shù)學(xué)期望為

E（X）——70X—F60XF55X—F50XF45X—F40XF35X—F30X—=—.

'13612912912369

15.春節(jié)是中國民間最隆重盛大的傳統(tǒng)節(jié)日，春節(jié)歷史悠久，在傳承發(fā)展中已形成了一些較為固定的習(xí)俗,

有許多還相傳至今，如買年貨、貼對聯(lián)、吃年夜飯、拜年、放鞭炮、逛廟會、賞花燈等.在春節(jié)期間，全

國各地均舉行各種賀歲活動，各地因地域文化不同而又存在著習(xí)俗內(nèi)容或細(xì)節(jié)上的差異，帶有濃郁的各民

族特色.在某地的一個廟會上，一個商戶為了吸引客人，舉行摸獎游戲.在一個口袋內(nèi)裝有形狀大小相同

的5個小球，其中，3個紅球、1個黑球、1個黃球；若中獎就送價值10元的一件禮品，若不中獎，就在商

戶這里買一件價值不低于20元的商品.

（1）若從中一次性摸出2個球，摸出黃球就中獎，求某個客人能領(lǐng)到一件禮品的概率；

（2）商戶約定：從口袋中連續(xù)取兩次球，每次取一球后放回，若取出的兩個球中沒有紅球，則商戶可以讓

客人免費拿一件價值50元的商品，否則，客人就得買一件價值100元的商品，某客人想試一試，問這位客

人免費拿一件價值50元的商品的可能性會超過20%嗎？

【答案】⑴~（2）不會.

【分析】（1）設(shè)3個紅球的編號為1,2,3,黑球為a,黃球為b,寫出一次性摸出2個球的所有可能，結(jié)合

古典概型的概率公式即可求解.

(2)寫出從袋中連續(xù)取兩次球，每次取一球后放回，則所包含的基本事件，結(jié)合古典概型概率公式，從而可

求出取出的兩個球中沒有紅球，即可判斷.

【詳解】設(shè)3個紅球的編號為1,2,3,黑球為a,黃球為b,

(1)從袋中一次性摸出2個球，所包含的基本事件有：(1,2),(1,3),(2,3),(l,a),(2,a),(3,a),(l,b),

(2,b),(3,b),(a,b)共10個基本事件,

有黃球的基本事件有：(l,b),(2,b),(3,b),(a,b)共4個基本事件;

所以，某個客人能領(lǐng)到一件禮品的概率為P=5=|;

(2)從袋中連續(xù)取兩次球，每次取一球后放回，則所包含的基本事件有：(1,1),(1,2),(1,3),(l,a),(l,b),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(3,b),(a,l).(a,2),(a,3),(a,a),(a,b),

(b,l),(b,2),(b,3),(b,a),(b,b)共25個基本事件；

取出的兩個球中沒有紅球的基本事件有(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)共四個基本事件；

所以客人能免費拿一件價值50元的商品的概率為P=卷，

因此，這位客人免費拿一件價值50元的商品的可能性不會超過20%.

【點睛】關(guān)鍵點睛：

本題的做題關(guān)鍵是對球進(jìn)行編號標(biāo)記，列舉所有的基本事件，結(jié)合古典概型概率公式進(jìn)行概率的求解.

16.2023年3月中旬，我國很多地區(qū)出現(xiàn)倒春寒現(xiàn)象，突然大幅降溫，河南下起了暴雪.研究表明，溫度的

突然變化會引起機(jī)體產(chǎn)生呼吸道上皮組織的生理不良反應(yīng)，從而導(dǎo)致呼吸系統(tǒng)疾病的發(fā)生或惡化.某數(shù)學(xué)

建模興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒學(xué)生人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某周連續(xù)六天的溫差，

查閱了這六天中每天去校醫(yī)新增患感冒而就診的學(xué)生人數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下表：

日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天

晝夜溫差X(℃)47891412

新增就診人數(shù)y(位)71丫375丫6

參考數(shù)據(jù)：久=一，

3160,7)2256xf=1(xi-x)(yi-y)=120.

(1)已知第一天新增患感冒而就診的學(xué)生中有6位女生，從第一天新增的患感冒而就診的學(xué)生中隨機(jī)抽取3

位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率為三求yi的值；

(2)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程9=bx+a,且據(jù)此估計晝夜溫差為16K時，該校新增患感冒的學(xué)生數(shù)(用

四舍五入法結(jié)果保留整數(shù)).

附：1賽?早，a可一曲

乙i=]—即

【答案】(1)10；

⑵約為35人.

【分析】(1)利用對立事件及古典概率列式求出yi的值作答.

(2)利用數(shù)表及給定的和求出區(qū)已再利用最小二乘法公式求出回歸直線方程，并估計數(shù)據(jù)作答.

【詳解】(1)依題意，1一導(dǎo)=三整理得，6%=

ci6yi(yi-i)(yi-2)6

即yi(yi-i)(yi-2)=720=10x9x8,解得y1=10,

所以yi的值是10.

(2)由數(shù)表知，￡匚產(chǎn)=54,即芯=9,則2：1(&一幻2=(—5)2+(—2)2+(—1)2+()2+52+32=64,

干耳6=E1i(xr-幻(y；-y)=120=15

_ZM(XL?2一G一萬'

2622

又2；1(力一切2=2；1城一2y-2*L1yi+6(y)=2匕城-(Y)=3160-6(y)=256,解得y=22,

因此@=y-bx=22-yX9=^,則#=y+yX,

當(dāng)x=16時，y=—+—X16?35,

,88

所以可以估計，晝夜溫差為16°C時，該校新增患感冒的學(xué)生數(shù)為35人.

17.猜燈迷是我國一種民俗娛樂活動，某社區(qū)在元宵節(jié)當(dāng)天舉行了猜燈謎活動，工作人員給每位答題人提

供了5道燈謎題目，答題人從中隨機(jī)選取2道燈迷題目作答，若2道燈謎題目全答對，答題人便可獲得獎

品.

⑴若甲只能答對工作人員所提供的5道題中的2道，求甲能獲得類品的概率；

(2)若甲不能獲得獎品的概率為高，求甲能答對所提供燈謎題目的數(shù)量.

【答案】(1*

⑵3

【分析】(1)根據(jù)古典概型公式計算即可；

(2)根據(jù)對立事件概率和為1,由甲不能獲得獎品的概率求出甲能獲得獎品的概率，再求出答對的題目數(shù)

量.

【詳解】（1）設(shè)工作人員提供的5道燈謎題目為a,b,c,x,y,甲能答對的題目為x,y.

從這5道題目中隨機(jī)選取2道，總的事件有ab,ac,ax,ay,be,bx,by,ex,cy,xy,共10種情況，

甲2道題目全答對的事件有xy這1種情況，故甲能獲得獎品的概率為

（2）因為甲不能獲得獎品的概率為強(qiáng)所以甲能獲得獎品的概率為1-看=得.

設(shè)甲能答對所提供燈謎題目的數(shù)量為n,由（1）可知，n>3.

若n=3,不妨設(shè)甲能答對的題目為a,b,c,

則甲2道題目全答對的事件有ab,ac,be,共3種情況，

甲能獲得獎品的概率為卷，符合題意，

故甲能答對所提供燈謎題目的數(shù)量為3.

18.為提高核酸檢測效率，某醫(yī)學(xué)實驗室現(xiàn)準(zhǔn)備采用某種檢測新冠肺炎病毒核酸的新型技術(shù)進(jìn)行新一輪大

規(guī)模核酸篩查.經(jīng)過初步統(tǒng)計分析得出該項技術(shù)的錯檢率約為0.04,漏檢率約為0.01.（錯檢率指在檢測出陽

性的情況下未感染的概率，漏檢率指在感染的情況下檢測出陰性的概率）

⑴當(dāng)有100個人檢測出核酸陽性時，求預(yù)計檢出的假陽性人數(shù)；

（2）為節(jié)約成本，實驗室在該技術(shù)的基礎(chǔ)上采用“混采”的方式對個別疫區(qū)進(jìn)行核酸檢測，即將n個人的樣本

裝進(jìn)一根試管內(nèi)送檢；若某組檢測出核酸陽性，則對這n個人分別進(jìn)行單人單試管核酸采樣.現(xiàn)對兩個疫區(qū)

的居民進(jìn)行核酸檢測，/疫區(qū)共有10000名居民，采用幾=1。的混采策略；3疫區(qū)共有20000名居民，采

用九=20的混采策略.已知兩個疫區(qū)每個居民感染新冠肺炎的概率相等且均小于0.00032,通過計算比較4

B兩個疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量.

參考數(shù)據(jù)：O.986710?0.8747,.比2.24

【答案】（1）4；

（2）A疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量比B疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量少.

【分析】（1）利用錯檢率計算得解；

（2）先求出整個A疫區(qū)檢測次數(shù)的期望值E（X）和整個B疫區(qū)檢測次數(shù)的期望值E（Y）,再作差比較大小即

得解.

【詳解】（1）解：當(dāng)有100個人檢測出核酸陽性時，預(yù)計檢出的假陽性人數(shù)為100x0.04=4.

（2）解：先計算A疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量.設(shè)A疫區(qū)每個居民感染新冠肺炎的概率為P（0<P<

0.00032),

采用n=10的混采策略，則該小組所需檢測次數(shù)為1和11,對應(yīng)的概率分別為(1-P)1°和1-(1-P)10,

所以該小組檢測次數(shù)的期望為(1一P)10+11[1-(1-P)10]=11-10(1一P)10,

10000名居民分成1000個小組，所以整個A疫區(qū)檢測次數(shù)的期望值E(X)為11000-10000(1-P)10.

再計算B疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量.設(shè)B疫區(qū)每個居民感染新冠肺炎的概率為P,

采用n=20的混采策略，則該小組所需檢測次數(shù)為1和21,對應(yīng)的概率分別為(1-P)2。和1-(1-P)2。,

所以該小組檢測次數(shù)的期望為(1-P)20+21[1-(1-P)2。]=21-20(1-P)20,

20000名居民分成1000個小組，所以整個B疫區(qū)檢測次數(shù)的期望值E(Y)為21000-20000(1-P)20.

E(X)-E(Y)=-10000-10000(1-P)10+20000(1-P)20=10000[2(1-P)20-(1-P)10-1]

=10000[2(1-P)10+1][(1-P)10-1]

因為0<P<0,00032,所以2(1-P)10+1>0,(1-P)10-1<O.9996810-1<0,

所以E(X)-E(Y)<0,

所以A疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量比B疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量少.

19.某職業(yè)培訓(xùn)學(xué)校現(xiàn)有六個專業(yè)，往年每年各專業(yè)的招生人數(shù)和就業(yè)率(直接就業(yè)的學(xué)生人數(shù)與招生人

數(shù)的比值)統(tǒng)計如下表：

專業(yè)機(jī)電維修藝術(shù)舞蹈汽車美容餐飲電腦技術(shù)美容美發(fā)

招生人數(shù)100100300200800500

就業(yè)率100%70%90%80%50%80%

(I)從該校往年的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該生是“餐飲”專業(yè)且直接就業(yè)的概率；

(II)為適應(yīng)人才市場的需求，該校決定明年將“電腦技術(shù)”專業(yè)的招生人數(shù)減少a(0<m<400),將“機(jī)

電維修”專業(yè)的招生人數(shù)增加g假設(shè)“電腦技術(shù)”專業(yè)的直接就業(yè)人數(shù)不變，“機(jī)電維修”