第26講圓與圓的位置關(guān)系（三大題型歸納分層練）

第26講圓與圓的位置關(guān)系目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01兩圓位置關(guān)系的判斷 3題型02相交弦問題 7題型03圓與圓的綜合性問題 10分層練習(xí) 12夯實基礎(chǔ) 12能力提升 20創(chuàng)新拓展 29兩圓位置關(guān)系的判斷1．代數(shù)法：設(shè)兩圓的一般方程為C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))則方程組解的個數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：方程組解的個數(shù)2組1組0組兩圓的公共點個數(shù)2個1個0個兩圓的位置關(guān)系相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含2.幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系如下：位置關(guān)系圖示d與r1，r2的關(guān)系外離d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2內(nèi)切d＝|r1－r2|內(nèi)含d<|r1－r2|注意點：利用代數(shù)法判斷兩圓位置關(guān)系時，當(dāng)方程組無解或有一組解時，無法判斷兩圓的位置關(guān)系，應(yīng)優(yōu)先使用幾何法．題型01兩圓位置關(guān)系的判斷【解題策略】判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對值、半徑之和進(jìn)行比較，進(jìn)而判斷出兩圓的位置關(guān)系，這是解析幾何中主要使用的方法．(2)代數(shù)法：將兩圓的方程組成方程組，通過解方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)進(jìn)而判斷兩圓的位置關(guān)系【典例分析】課本例5已知圓C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圓C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，試判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系．解方法一將圓C1與圓C2的方程聯(lián)立，得到方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，①,x2＋y2－4x－4y－2＝0.②))①－②，得x＋2y－1＝0，③由③，得y＝eq\f(1－x,2).把上式代入①，并整理，得x2－2x－3＝0.④方程④的根的判別式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0，所以，方程④有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2.把x1，x2分別代入方程③，得到y(tǒng)1，y2.因此圓C1與圓C2有兩個公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，這兩個圓相交．方法二把圓C1的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，圓C1的圓心是(－1，－4)，半徑r1＝5.把圓C2的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x－2)2＋(y－2)2＝10，圓C2的圓心是(2,2)，半徑r2＝eq\r(10).圓C1與圓C2的圓心距為eq\r(－1－22＋－4－22)＝3eq\r(5).圓C1與圓C2的兩半徑長之和r1＋r2＝5＋eq\r(10)，兩半徑長之差r1－r2＝5－eq\r(10).因為5－eq\r(10)<3eq\r(5)<5＋eq\r(10)，即r1－r2<3eq\r(5)<r1＋r2，所以圓C1與圓C2相交(如圖)，它們有兩個公共點A，B.【例1】已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圓C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．試求a為何值時，兩圓C1，C2的位置關(guān)系為：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)含．解圓C1，C2的方程，經(jīng)配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圓心C1(a,1)，C2(2a,1)，半徑r1＝4，r2＝1.∴|C1C2|＝eq\r(a－2a2＋1－12)＝a.(1)當(dāng)|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5時，兩圓外切；當(dāng)|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3時，兩圓內(nèi)切．(2)當(dāng)3<|C1C2|<5，即3<a<5時，兩圓相交．(3)當(dāng)|C1C2|>5，即a>5時，兩圓外離．(4)當(dāng)|C1C2|<3，即0<a<3時，兩圓內(nèi)含．【變式演練】【變式1】(1)圓C1：x2＋y2－4x＋3＝0與圓C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三條公切線，則實數(shù)a的值是()A．4B．6C．16D．36答案C解析圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝1，∵兩圓有三條公切線，∴兩圓外切，∴eq\r(2＋12＋0－42)＝1＋eq\r(a)，解得a＝16.(2)到點A(－1,2)，B(3，－1)的距離分別為3和1的直線有________條．答案4解析到點A(－1,2)的距離為3的直線是以A為圓心，3為半徑的圓的切線；同理，到點B(3，－1)的距離為1的直線是以B為圓心，半徑為1的圓的切線，所以滿足題設(shè)條件的直線是這兩圓的公切線，而這兩圓的圓心距|AB|＝eq\r(3＋12＋－1－22)＝5.半徑之和為3＋1＝4，因為5>4，所以圓A和圓B外離，因此它們的公切線有4條．【變式2】（2324高二上·廣東中山·期中）已知圓過點，圓.(1)求圓的方程；(2)判斷圓和圓的位置關(guān)系并說明理由.【答案】(1)(2)和圓相交，理由見解析，【分析】（1）先設(shè)出圓的一般方程，把已知點代入，可求解；（2）先確定兩個圓的圓心和半徑，根據(jù)圓心距與半徑和、差的關(guān)系，確定兩圓的位置關(guān)系.再用直線與圓相交求弦長的方法求公共弦長.【詳解】（1）設(shè)圓的一般方程為：，把已知點代入得：，所以圓的方程為：（2）由（1）得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.∴，，，∵所以圓和圓相交【變式3】（2324高二上·安徽銅陵·期中）已知圓經(jīng)過，兩點．(1)求圓的半徑；(2)判斷圓（且）與圓的位置關(guān)系．【答案】(1)2(2)圓與圓外離【分析】（1）根據(jù)已知條件可求得a、b的值，再將圓的一般方程標(biāo)準(zhǔn)化后即可求得結(jié)果.（2）比較兩圓心距與即可判斷.【詳解】（1）由題可得，解得，所以圓的一般方程為，則標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓的半徑為2．（2）由（1）可知圓的圓心．半徑，又圓N的圓心，半徑，所以，，又因為，所以，所以圓與圓外離題型02相交弦問題【解題策略】(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦長的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求出弦長．②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解【典例分析】【例2】已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長；(2)求經(jīng)過兩圓交點且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．解(1)設(shè)兩圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立圓C1與圓C2的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，①,x2＋y2＋6y－28＝0.②))由①－②，得x－y＋4＝0.∵A，B兩點的坐標(biāo)都滿足此方程，∴x－y＋4＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程．又圓C1的圓心(－3,0)，r＝eq\r(13)，∴C1到直線AB的距離d＝eq\f(|－3＋4|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(13－\f(1,2))＝5eq\r(2)，即兩圓的公共弦長為5eq\r(2).(2)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，,x2＋y2＋6y－28＝0，))得兩圓的交點A(－1,3)，B(－6，－2)．設(shè)所求圓的圓心為(a，b)，因為圓心在直線x－y－4＝0上，故b＝a－4.則eq\r(a＋12＋a－4－32)＝eq\r(a＋62＋a－4＋22)，解得a＝eq\f(1,2)，故所求圓的圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(7,2)))，半徑為eq\r(\f(89,2)).故所求圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(7,2)))2＝eq\f(89,2)，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.【變式演練】【變式1】（2324高二下·廣東·期中）已知圓：和圓：，則兩圓公共弦所在直線的方程為.【答案】【分析】兩圓作差相減，以能求出兩圓的公共弦所在的直線方程.【詳解】圓：和圓：，兩圓作差相減，得直線方程為，經(jīng)檢驗，直線方程滿足題意.故答案為：【變式2】圓心在直線x－y－4＝0上，且經(jīng)過圓x2＋y2－4x－6＝0與圓x2＋y2－4y－6＝0的交點的圓的方程為________________．答案(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0)解析方法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－6＝0，,x2＋y2－4y－6＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,y1＝－1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝3，,y2＝3，))所以圓x2＋y2－4x－6＝0與圓x2＋y2－4y－6＝0的交點分別為A(－1，－1)，B(3,3)，連接AB(圖略)，則線段AB的垂直平分線的方程為y－1＝－(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝－x－1，,x－y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1，))所以所求圓的圓心坐標(biāo)為(3，－1)，半徑為eq\r(3－32＋3＋12)＝4，所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝16.方法二同方法一求得A(－1，－1)，B(3,3)，設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b－4＝0，,－1－a2＋－1－b2＝r2，,3－a2＋3－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－1，,r2＝16，))所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝16.【變式3】（2324高二上·河南鄭州·期末）已知圓的圓心為，過直線上一點作圓的切線，且切線段長的最小值為2．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若圓與圓：相交于，兩點，求兩圓公共弦的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理即可由點到直線的距離公式求解，（2）根據(jù)兩圓相減可得相交弦所在直線方程，即可根據(jù)點到直線的距離公式，結(jié)合弦長公式求解.【詳解】（1）設(shè)圓的半徑為，過向圓所作切線的一個切點為，由知，當(dāng)最小時，切線段的長度有最小值，自圓心向直線引垂線段，此時有最小值．圓心到直線的距離．即．．圓的方程為．（2）由圓：和圓：，由于兩圓的圓心距為，故兩圓相交，兩圓方程相減得，公共弦所在直線方程為．圓心到直線的距離為．弦長題型03圓與圓的綜合性問題【解題策略】通過直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，利用方程思想，解決求圓的方程問題．【典例分析】【例3】求與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋eq\r(3)y＝0相切于點M(3，－eq\r(3))的圓的方程．解設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由題知所求圓與圓x2＋y2－2x＝0外切，則eq\r(a－12＋b2)＝r＋1.①又所求圓過點M的切線為直線x＋eq\r(3)y＝0，故eq\f(b＋\r(3),a－3)＝eq\r(3).②eq\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r.③由①②③解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4eq\r(3)，r＝6.故所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.【變式演練】【變式1】（2324高二上·江西上饒·期末）以為圓心且與圓外切的圓的方程為．【答案】【分析】求出兩圓圓心距，利用兩圓外切求出圓的半徑，即可得出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的半徑為，圓的圓心為坐標(biāo)原點，半徑為，兩圓圓心距為，故，因此，以為圓心且與圓外切的圓的方程為.故答案為：【變式2】（2324高二上·全國·期中）以點為圓心，且與圓相切的圓的方程是．【答案】或【分析】利用圓心距等于半徑和與差，求出所求圓的半徑，進(jìn)而得到所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】解：由圓，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)所求圓的半徑為，可得或，解得或，所求圓的方程為或.故答案為：或【變式3】（2324高二上·陜西渭南·期末）（1）已知直線經(jīng)過點，在兩坐標(biāo)軸上的截距都不等于零，且在軸上的截距等于在軸上的截距的2倍，求該直線的方程；（2）求以為圓心，且與圓相外切的圓的方程．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用直線的截距式與待定系數(shù)法即可得解；（2）利用待定系數(shù)法與兩圓外切列式求得，從而得解.【詳解】（1）依題意，設(shè)直線的方程為，由該直線過點可得，解得，所以該直線的方程為，即．（2）設(shè)所求圓的方程為，因為兩個圓的圓心距，又兩個圓外切時滿足，故，所以所求圓的方程為【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2223高二下·上?！て谥校﹫A與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．外切 C．外離 D．內(nèi)含【答案】B【分析】求出圓心距，利用圓心距和兩圓半徑的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】的圓心為，半徑為1，的圓心為，半徑為1，可知兩圓圓心距為2，恰好等于兩圓半徑之和，所以兩圓是外切.故選：B2．（2324高二上·四川成都·期末）圓和圓的公共弦所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩圓公共弦方程特征進(jìn)行求解即可.【詳解】兩個圓的方程相減，得，故選：C3．（2324高二下·山西太原·階段練習(xí)）若過點向圓C：作兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出以為直徑的圓的方程，再與已知圓的方程相減即得公共弦所在直線的方程.【詳解】過點向圓作兩條切線，切點分別為、，則，于是點、在以為直徑的圓上，而，則的中點為，，因此以為直徑的圓方程為，圓與圓方程相減，得公共弦所在直線的方程為，所以直線AB的方程為.故選：A4．（2324高二上·甘肅慶陽·期末）圓：與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．相離【答案】A【分析】求出兩圓的圓心距，則有，即可判斷兩圓位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心為，半徑為；，則圓的圓心為，半徑為.兩圓心之間的距離，且滿足，可知兩圓相交.故選：A.二、多選題5．（2324高二下·河南·期中）已知圓，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若圓和圓相交，則B．若圓和圓外切，則C．當(dāng)時，圓和圓有且僅有一條公切線D．當(dāng)時，圓和圓相交弦長為【答案】ABD【分析】根據(jù)題意求圓心和半徑.對于AB：根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系分析求解；對于C：結(jié)合選項A分析判斷；對于D：先兩圓方程作差求公共弦所在直線的方程，結(jié)合垂徑定理求弦長.【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；則，對于選項A：若圓和圓相交，則，即，解得，故A正確；對于選項B：若和外切，則，即，解得，故B正確；對于選項C：當(dāng)時，由選項A可知：圓和圓相交，所以圓和圓有且僅有2條公切線，故C錯誤；對于選項D：當(dāng)時，由選項A可知：圓和圓相交，且圓，，兩圓方程作差得，即公共弦所在直線的方程為，圓心到直線的距離，所以公共弦長為，故D正確.故選：ABD6．（2324高二上·貴州黔南·期中）已知圓：，則下列說法正確的是（

）A．圓的半徑為16B．圓截軸所得的弦長為C．圓與圓：相外切D．若圓上有且僅有兩點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍是【答案】BC【分析】先運用配方法將一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可確定其圓心個半徑，可判斷A；根據(jù)點到弦的距離可求出弦長，判斷B；圓心距和半徑的關(guān)系可確定圓與圓的位置關(guān)系，判斷C；圓心到直線的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系可確定圓C上有且僅有兩點到直線的距離為1，判斷D.【詳解】由圓，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓的半徑為4，故A錯誤；令，得，設(shè)圓與軸交點的橫坐標(biāo)分別為，，則，是的兩個根，所以，，所以，故B正確；兩圓圓心距，故C正確；由圓上有且僅有兩點到直線的距離為1，則，解得或，即實數(shù)的取值范圍是，故D錯誤.故選：BC.三、填空題7．（2324高二上·河南鄭州·期末）寫出圓：與圓：的一條公切線方程．【答案】（答案不唯一）【分析】求出圓與圓外切，兩圓相減求出兩圓內(nèi)公切線方程，再設(shè)兩圓的外公切線所在直線方程，根據(jù)點到直線距離公式列出方程，求出答案.【詳解】圓的圓心，半徑為，圓的圓心為，半徑為，故，故圓與圓外切，將與相減得，即兩圓內(nèi)公切線方程為，兩圓圓心所在直線方程為，即，由于兩圓半徑相等，故兩圓的外公切線所在直線方程與平行，設(shè)為，圓心到的距離為，解得，故兩圓的外公切線所在直線方程為和.故答案為：（或之一也可以）8．（2324高二上·福建福州·期末）圓與圓的公共弦長為.【答案】【分析】兩圓方程相減得公共弦所在直線方程，再利用點線距離公式與弦長公式即可得解.【詳解】因為圓與圓，兩圓方程相減得，因為圓的圓心為，半徑為，則到此直線距離為，所以兩圓相交，直線為兩圓的公共弦所在直線，則所求公共弦長為．故答案為：．9．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）兩圓，的公切線有且僅有條．【答案】2【分析】由兩圓的位置關(guān)系判斷公切線條數(shù).【詳解】化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，兩圓圓心距離，，則兩圓相交，因而公切線只有兩條．故答案為：2．四、解答題10．（2324高二下·上?！て谥校┮阎獔A．(1)求直線被圓截得弦長；(2)已知圓過點且與圓相切于原點，求圓的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出圓心和半徑，結(jié)合勾股定理可得答案；（2）利用待定系數(shù)法和相切可求圓的方程.【詳解】（1）由可得，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以直線被圓截得弦長為.（2）設(shè)，則，解得，；因為圓與圓相切于原點，且圓過點，所以，，兩邊平方整理可得，平方可求，代入可得，所以圓的方程為.11．（2324高二上·浙江杭州·期末）已知圓C方程為．(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)若直線與圓C相切，求實數(shù)m的值；(3)若圓C與圓相切，求實數(shù)m的值．【答案】(1)(2)(3)或.【分析】（1）將化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再列不等式求解；（2）由圓心到直線的距離等于半徑列方程求解即可；（3）根據(jù)兩圓相切，得到兩圓心之間的距離要么等于兩半徑和，要么等于兩半徑差，得出相應(yīng)的等量關(guān)系式，從而求得相應(yīng)的結(jié)果.【詳解】（1），可化為，所以；（2）由（1）知，圓心C(1,2)，半徑，因為圓和直線相切，所以有，所以.（3）因為與圓C相切，所以或，解得或，故實數(shù)m的值是或.【能力提升】一、單選題1．（2324高二上·青海西寧·期中）已知圓與圓有4條公切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)公切線的條數(shù)可知兩圓外離得：?！驹斀狻扛鶕?jù)題意可知，圓外離，，又．故選：D2．（2223高二上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）設(shè)圓：，圓：，則圓，的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．外切 C．相交 D．相離【答案】B【分析】根據(jù)兩圓的半徑關(guān)系和兩圓心距離進(jìn)行比較即可得出結(jié)果.【詳解】由題可知圓的半徑為，圓心；圓的半徑為，圓心，所以，，所以，故兩圓外切，故選B.3．（2324高二下·浙江·階段練習(xí)）已知點和圓Q：，則以PQ為直徑的圓與圓Q的公共弦長是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可得以PQ為直徑的圓的方程，兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，后由弦長公式可得答案.【詳解】由題可得，則以PQ為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為4，則PQ為直徑的圓的方程為：.將兩圓方程相減可得公共弦方程為：.則圓Q圓心到公共弦方程距離為2，又圓Q半徑為4，則公共弦長為：.故選：D4．（2324高三上·重慶·階段練習(xí)）已知圓，圓，下列直線中不能與圓，同時相切的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用點到直線的距離公式逐項驗證即可.【詳解】由題意知：，所以圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為2，對于A，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故滿足相切條件，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故也滿足相切條件，即直線是兩圓的一條公切線；對于B，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故滿足相切條件，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故也滿足相切條件，即直線是兩圓的一條公切線；對于C，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故滿足相切條件，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故也滿足相切條件，即直線是兩圓的一條公切線；對于D，圓的圓心到直線的距離為，不滿足相切條件，即直線不可能是兩圓的公切線；故選：D.二、多選題5．（2223高二上·云南昆明·期中）已知圓，圓，則（

）A．圓心距 B．當(dāng)時，兩圓公共弦所在直線方程為C．若圓與圓無公共點，則 D．若圓與圓只有一條公切線，則【答案】AD【分析】首先得到兩圓圓心坐標(biāo)與半徑，即可求出圓心距，從而判斷A；兩圓方程作差得到公共弦方程，即可判斷B；由或即可判斷C；兩圓內(nèi)切，即可求出，從而判斷D.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以，故A正確；當(dāng)時，圓，則，此時，即兩圓相交，則公共弦方程為，整理可得，故B錯誤；若圓與圓無公共點，則或，即可得或，解得或，故C錯誤；若圓與圓只有一條公切線，則圓與圓相內(nèi)切，則，即，解得，故D正確.故選：AD6．（2324高二下·浙江·期中）已知直線與圓相交于，兩點，下列說法正確的是（

）A．若圓關(guān)于直線對稱，則B．的最小值為C．當(dāng)時，對任意，曲線恒過直線與圓的交點D．若，，，（為坐標(biāo)原點）四點共圓，則【答案】BC【分析】對于A，根據(jù)直線過圓心可得；對于B，由直線時弦可解；對于C，對曲線方程整理，結(jié)合圓系方程可得；對于D，由的垂直平分線確定圓心縱坐標(biāo)，根據(jù)兩圓方程求出直線方程，由直線過點D即可求解.【詳解】直線過定點，圓，即，圓心為，半徑．對于A選項，若圓關(guān)于直線對稱，則直線過圓心，得，故A錯誤．對于B選項，圓的圓心為，半徑為4，圓心到直線的距離的最大值為，所以的最小值為，故B正確．對于C選項，當(dāng)時，直線：，曲線：，即，所以曲線即為過直線與圓的交點的曲線方程，故C正確．對于D選項，若，，，四點共圓，設(shè)此圓為圓，圓的圓心為，的中點為，所以的垂直平分線方程為：，所以，圓的方程為，整理得，直線是圓和圓的交線，所以直線的方程為，將點坐標(biāo)代入上式得，解得，所以直線即直線的斜率為，所以，故D錯誤．故選：BC【點睛】結(jié)論點睛：過直線與圓交點的圓系方程為；圓和圓的公共弦所在直線方程為.三、填空題7．（2324高二上·安徽蕪湖·期末）圓與圓的公共弦所在直線方程為．【答案】【分析】兩相交圓的方程相減后，即可求得兩圓公共弦所在直線方程.【詳解】由可得圓心為，半徑為，由可得圓心為，半徑為，兩圓圓心距離為，兩半徑之和為，兩半徑之差為，有，故兩圓相交，兩圓方程作差為，化簡可得，即兩圓公共弦所在直線方程為.故答案為：.8．（2324高二下·江蘇南京·期中）已知圓與圓相內(nèi)切，則實數(shù)a的值為．【答案】【分析】求出兩圓的圓心和半徑，由兩圓內(nèi)切的條件，列方程求實數(shù)a的值.【詳解】圓，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為半徑，圓，圓心坐標(biāo)為半徑，由兩圓相內(nèi)切，則圓心距，解得.故答案為：.9．（2324高二下·湖南岳陽·開學(xué)考試）已知圓M：和點，過點P作圓M的切線，切點分別為A，B，則三角形PAB外接圓的方程為.【答案】【分析】根據(jù)題意可知點在圓外，可求出切點弦方程，再利兩圓公共弦方程設(shè)出的外接圓方程，從而可求解.【詳解】由題意得，所以點在圓外，由圓外一點引圓的兩條切線，切點弦方程知識可得，即直線：，的外接圓與圓的交線為，則可得外接圓方程為：，將代入，得，解得，即外接圓方程為，即.故答案為：.四、解答題10．（2324高二下·上?！るA段練習(xí)）判斷圓與圓的位置關(guān)系并說明理由.若有公共點，則求出公共點坐標(biāo).【答案】內(nèi)切，公共點為【分析】首先根據(jù)圓的方程求圓心，半徑，并計算圓心距，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系，即可判斷，求解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓心距為，則兩圓內(nèi)切，聯(lián)立，則，則公共點坐標(biāo)為.11．（2223高二上·山西太原·期中）已知直線過點，且被圓截得的弦的長為.(1)求直線的方程；(2)若直線的斜率存在，圓過兩點，且圓心在上，求圓的方程.【答案】(1)或(2)【分析】（1）分類討論直線斜率存在與不存在兩種情況，利用弦長公式與點線距離公式即可得解；（2）利用兩圓相減得到公共弦所在直線的結(jié)論，假設(shè)圓的方程，從而由圓的一般方程可得圓心，將其代入，由此可求得圓的方程.【詳解】（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，易得與圓的交點為，此時弦長為，滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程，即，因為圓，所以圓心，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，因為，所以由弦長公式得，得，所以，解得，所以，直線方程為，即，綜上：直線的方程為或.（2）由（1）得直線的方程為，圓，根據(jù)題意知直線是圓與圓的公共弦所在直線，而公共弦所在直線方程可由兩圓方程相減得到，故設(shè)圓的方程為，即，則其圓心坐標(biāo)為，因為圓心在上，所以，解得，所以圓的方程為12．已知圓C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.(1)若直線l1過定點A(1,1)，且與圓C相切，求l1的方程；(2)若圓D的半徑為3，圓心在直線l2：x－y＋2＝0上，且與圓C外切，求圓D的方程．解(1)圓C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－4)2＝4，所以圓C的圓心為(3,4)，半徑為2.①若直線l1的斜率不存在，即直線為x＝1，符合題意．②若直線l1的斜率存在，設(shè)直線l1的方程為y－1＝k(x－1)．即kx－y－k＋1＝0.由題意知，圓心(3,4)到已知直線l1的距離等于半徑2，所以eq\f(|3k－4－k＋1|,\r(k2＋1))＝2，即eq\f(|2k－3|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(5,12)，所以直線方程為5x－12y＋7＝0.綜上，所求l1的方程為x＝1和5x－12y＋7＝0.(2)依題意，設(shè)D(a，a＋2)．又已知圓C的圓心為(3,4)，半徑為2，由兩圓外切，可知|CD|＝5，所以eq\r(a－32＋a＋2－42)＝5，解得a＝－1或a＝6.所以D(－1,1)或D(6,8)，所以所求圓D的方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.【創(chuàng)新拓展】一、單選題1．（2324高二上·河北石家莊·期中）若直線與圓及圓共有3個公共點，則所有符合條件的a的和為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，結(jié)合圖形，得要與一圓相切或過兩圓的交點.【詳解】，圓心，半徑由，得，圓心，半徑，圓心距為，，故兩圓相交，直線與圓及圓共有3個公共點，情形一，與圓在下方相切時，則，得，情形二，與圓在上方相切時，則，得，情形三，過兩圓的交點時，兩圓相減得，代入圓得：，則兩交點分別為，代入直線，得，或則所有符合條件的a的和為.故選：D二、多選題2．（2324高二上·山西太原·期中）已知圓與圓關(guān)于直線l對稱，則下列說法正確的是（

）A． B．圓與圓相交C．直線的方程為 D．直線l的方程為【答案】BD【分析】根據(jù)對稱性求得，然后根據(jù)兩個圓的位置關(guān)系對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】圓的圓心為，半