大二輪高考文科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)檢測：圓錐曲線

自檢13：圓錐曲線

A組高考真題集中訓(xùn)練

O考點(diǎn)1橢圓

1.（2016?全國乙卷）直線/經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，若橢圓中心到/的距離為其

短軸長的%則該橢圓的離心率為（）

11

A.B.

32

23

C.D.

34

解析：不妨設(shè)直線/經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)5（0,份和一個焦點(diǎn)/c,0）,則直線/的方程為

\—bc\c1即e=T.故選B.

即融+cy—Ac=O.由題意知=4X2/?,解得

yj^+c2

答案：B

2,（2017?全國卷III）已知橢圓C：、右頂點(diǎn)分別為4,A2,且以線

段A曲為直徑的圓與直線法一沖+2"=0相切，則C的離心率為（）

A.當(dāng)B?半

C.乎D.|

解析：由題意知以44為直徑的圓的圓心為（0,0）,半徑為

又直線bx—ay+2ab=0與圓相切,

2ab.也

???圓心到直線的距離d==Cl解得a=y[3b,J_

y/a2+b2"a一小'

產(chǎn)上毛=普.故選A.

aaY4Y弋33

答案：A

3.（2017?全國卷I）設(shè)A,B是橢圓C：弓+\=1長軸的兩個端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)加滿

足/AMB=120。，則機(jī)的取值范圍是（）

A.(0,1]U[9,+8)

B.(0,小]U[9,+°°)

C.(0,1]U[4,+8)

D.(0,V3]U[4,+8)

解析：方法一■設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)M(%,y).

過點(diǎn)M作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)N,

貝IN(%,0).

故tanZAMB=tan(ZAMN+ZBMN)

_lyl+lyl_2?|

,小+x小—Xf+y2-3?

—IM.IM

又tanZAMB=tan120°=一小，

且由?+芷=1可得f=3—直，

3mm，

加2sly|2sly|

則Sv2=34

3—^+y2—31——y

m-m

2m

解得用h?

又0<1丁1《4^,即結(jié)合0<m<3解得OVnWl.

對于焦點(diǎn)在y軸上的情況，同理亦可得機(jī)N9.

則相的取值范圍是(0,1]U[9,+8).故選A.

方法二當(dāng)0＜加＜3時，焦點(diǎn)在無軸上，

要使C上存在點(diǎn)M滿足NAMB=120°,

貝憤》tan60°=小，即;^2小，

解得0＜m^1.

當(dāng)機(jī)＞3時，焦點(diǎn)在y軸上，

要使C上存在點(diǎn)M滿足NAM2=120°,

則￡》tan60°=小，即小，解得根29.

故相的取值范圍為(0,1]U[9,+8).故選A.

答案：A

口考點(diǎn)2雙曲線

1.(2017?全國卷II)若〃＞1,則雙曲線最一丁=1的離心率的取值范圍是()

A.(/，+8)B.(^2,2)

C.(1,^2)D.(1,2)

解析：由題意得雙曲線的離心率e=^a+'.

94+1

?=丁=

?，-0<^2<1,1<1+^2<2,

*：a>l,

l<e<Vl故選C.

答案：C

72

2.（2016?全國乙卷）已知方程Tr~-E—=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距

m-\~n3mn

離為4,則“的取值范圍是（）

A.（-1,3）B.（-1,佝

C.（0,3）D.（0,?。?/p>

解析：由題意得（蘇+〃）（3徵2—〃）>0,解得一蘇<〃<3病，又由該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離

為4,得川+孔+3m2—〃=4,即m2=1,所以一lv〃<3.

答案:A

3.（2017?全國卷I）已知尸是雙曲線C：/一5=1的右焦點(diǎn)，尸是C上一點(diǎn)，且尸尸與

無軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,3）,則的面積為（）

解析：因?yàn)槭请p曲線C:x2一丁=1的右焦點(diǎn)，所以尸（2,0）.因?yàn)檩S，所以可

設(shè)P的坐標(biāo)為（2,yP）.

因?yàn)镻是C上一點(diǎn)，所以4—1=1,解得妙=±3,

所以尸（2,±3）,\PF\=3.

又因?yàn)锳（l,3）,所以點(diǎn)A到直線PF的距離為1,

113

所以SAAPF—2XFHX1=1X3X1=1故選D.

答案：D

4.（2015?全國卷II）已知A,B為雙曲線￡的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在￡上，△A2M為等腰

三角形，且頂角為120。，則E的離心率為（）

A.小B.2

C.^3D.y[2

解析：不妨取點(diǎn)M在第一象限，如圖所示，設(shè)雙曲線方程為無一齊=1（〃>0,fc>0）,貝力5M

=\AB\=2a,ZMBx=180°-120°=60°,

點(diǎn)的坐標(biāo)為（2a,小a）.

4〃23〃2

二M點(diǎn)在雙曲線上，p-=l,a=b,

；.c=也a,6=\=也.故選D.

答案：D

5.（2015?全國卷I）已知M（尤o,加）是雙曲線C：5—^=1上的一點(diǎn)，尸i，B是C的兩

個焦點(diǎn).若加1?加2<0,則加的取值范圍是（）

解析：由題意知〃=也，b=l,c=y[3,

??出（一小，0）,尸2（小,0）,

—

.\MFi=（—y[3—xof—yo）,MF2=（y/3~xofyo）.

???加i?而2<0,???（一小一的）（小一配）十%<0,

即%o—3+^o<O.

2

:點(diǎn)M（xo,州）在雙曲線上，,\y-j§=l,即端=2+2為；.2+2的-3+赤：0,

---<3；0<3-

答案：A

f?3

6.（2017?全國卷III）雙曲線，一5=1（。>0）的一條漸近線方程為y=fr,貝|.

解析：,/雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為最一]=1（。>0）,

3

???雙曲線的漸近線方程為y=±-x

'a

3

又雙曲線的一條漸近線方程為>=尹，.*.a=5,

答案；5

7.（2015?全國卷I）已知產(chǎn)是雙曲線C：^~~=1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，

O

4（0,6加）.當(dāng)△APP周長最小時，該三角形的面積為.

解析：由雙曲線方程f-甘=1可知，a=l,c=3,故F（3,0）,Fi（-3,0）.當(dāng)點(diǎn)尸在雙

O

曲線左支上運(yùn)動時，由雙曲線定義知|尸尸|一|尸碎=2,所以|PF|=|PQ|+2,仄而LAPF的周

長=\AP\+\PF]+\AF\=\AP\+|PF||+2+\AF\.因?yàn)閨AF|=^32+（6^6）2=15為定值，所以當(dāng)（\AP\

+|尸為|）最小時，AAPF的周長最小，由圖象可知,此時點(diǎn)尸在線段AFi與雙曲線的交點(diǎn)處（如

圖所示）.

由題意可知直線A—的方程為y=2y[6x+&\[6,

y=2\l6x+6y[6

由,y2得J+6加廠96=0,

/-0=1

解得y=2加或y=—8加（舍去），

所以SAAPF=SAAFIF-SAPFiF

=^X6X676-1x6X2^6=12^6.

答案：12班

8.（2015?全國卷II）已知雙曲線過點(diǎn)（4,?。?且漸近線方程為＞=±5,則該雙曲線的標(biāo)

準(zhǔn)方程為.

解析：法一：???雙曲線的漸近線方程為尸±5,

可設(shè)雙曲線的方程為X2一分2=%（丸#0）.

???雙曲線過點(diǎn)（4,5），??）=16—4X（、3）2=4,

%2

，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為a—y之=i.

法二：?.?漸近線＞=%過點(diǎn)（4,2）,而?。?,

...點(diǎn)（4,6）在漸近線y=%的下方，在y=—%的上方（如圖）.

y

X4（4,A）

4/

雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上，故可設(shè)雙曲線方程為

'—5=l（a>0,b>0）.由已知條件可得

a~2f]/=4

163,解得1

丁產(chǎn)1，

，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，一）？=1.

2

答案：^X-/=1.

口考點(diǎn)3拋物線

1.（2016?全國甲卷）設(shè)廠為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，曲線y=（（4>0）與c交于點(diǎn)P,

PFLx軸，貝隈=（）

A.yB.1

3

C.2D.2

解析：：丁=4無，.?.網(wǎng)1,0）.

又?.,曲線y=（a>0）與C交于點(diǎn)P,PP_Lx軸，，P（1,2）.

將點(diǎn)尸（1,2）的坐標(biāo)代入y=1（左>0）,得上=2.故選D.

答案：D

2.（2016?全國乙卷）以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D,

E兩點(diǎn).已知|AB|=4/，|。月=2小，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）

A.2B.4

C.6D.8

解析：設(shè)拋物線的方程為y2=2px（p>0）,圓的方程為一+產(chǎn)二尺

V\AB\=4y[2,|。月=2小，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=一圣

???不妨設(shè)Ae，2的,。（一次?。?

???點(diǎn)A6，2吸），。（一多方）在圓上，

$+8=凡

，手+8=勺+5,?..p=4（負(fù)值舍去）,工。的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.

9+5='

答案：B

3.（2015?全國卷I）已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為3,E的右焦點(diǎn)與拋物線C：

/=8x的焦點(diǎn)重合，A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點(diǎn)，貝U|A3|=（）

A.3B.6

C.9D.12

解析：拋物線＞2=8］的焦點(diǎn)為（2,0）,

c1

222

二?橢圓中c=2,又￡=］，.??〃=4,b=a—c=12f

從而橢圓的方程為之+缶=1.

Io12

拋物線y^—Sx的準(zhǔn)線為尤=—2,?'?XA=XB=-2,

將辦=-2代入橢圓方程可得網(wǎng)|=3,

由圖象可知|42|=2|以|=6.故選B.

答案：B

4.（2014.全國卷I）已知拋物線C：尸=8尤的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/,P是/上一點(diǎn)，。是

直線PF與C的一個交點(diǎn)，若蘇=4的，則|01=（）

A-2B'2

C.3D.2

解析：過點(diǎn)。作Q。'交/于點(diǎn)。，因?yàn)槌?4的，所以|PQ：『尸|=3：4,又焦

點(diǎn)廠到準(zhǔn)線/的距離為4,所以|。/|=|。。'|=3.故選C.

答案：C

5.（2017?全國卷II）過拋物線C：丁=4工的焦點(diǎn)P,且斜率為小的直線交C于點(diǎn)在

無軸的上方），/為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在/上，且MN，/,則M到直線NF的距離為（）

A.巾B.2^2

C.2小D.35

解析：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為尸（1,0）,準(zhǔn)線方程為x=-l.由直線方程的點(diǎn)斜式可得直

線MF的方程為〉=小。-1）.

聯(lián)立得方程組

lv2=4x,

卜3，x=3,

解得〈c片或r

2s〔丫二26.

卜=一3

?.?點(diǎn)〃在無軸的上方，

:.M（3,2事）.

:.NL1,2回

：.\NF\=AJ（1+1）2+（0-2V3）2=4,

\MF\=\MN\=1（3+1）2+（2小一2$）2=4.

...△MNE是邊長為4的等邊三角形.

二點(diǎn)M到直線NF的距離為2小.故選C.

答案：C

B組高考對接限時訓(xùn)練（十三）

（時間：35分鐘滿分70分）

一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分.

1.（2017?九江十校二模）已知拋物線C：y2=20M?>0）的焦點(diǎn)為尸，4（4,%）為拋物線C

3

上一點(diǎn)，滿足|A尸|=不，則p=（）

A.1B.2

C.4D.8

解析：由題意可知：拋物線Cy2=2px（p>0\焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)造，0）,由

拋物線的定義可知：|AF|=4+2，|AF|=|p,.*.^=4+2，則p=4,故選C.

答案：C

2.（2017?韶關(guān)一模）已知過拋物線丁=4x的焦點(diǎn)/的直線/交拋物線于A,B兩點(diǎn),且

點(diǎn)A在第一象限，若[4尸|=3,則直線/的斜率為（）

A.1B.y[2

C.事D.2^2

解析：由題意可知焦點(diǎn)網(wǎng)1,0）,設(shè)A（XA,劃），B（XB,yB）,由歸月=3=川+1,得以=2,

又點(diǎn)A在第一象限，故A（2,2?。?，故直線/的斜率為26，選D.

答案：D

3.設(shè)西，西是橢圓E：，+3=1（°>6>0）的左、右焦點(diǎn)，尸為直線工=當(dāng)上一點(diǎn)，△

BPQ是底角為30。的等腰三角形，則E的離心率為（）

A.；B.1

34

C.D.

45

解析：由題意可得|尸尸2|=|尸I廠21,所以2（:一，=2c,所以3〃=4g所以e=*

答案：C

4.（2017?東北四校聯(lián)考）已知點(diǎn)尸1，B為雙曲線C：g=l（a>0,6>0）的左、右焦

點(diǎn)，點(diǎn)尸在雙曲線C的右支上，且滿足|刊囹=舊四，ZFIF2P=120°,則雙曲線的離心率為

（）

A①B①

A.2a-2

C.小D.y[5

解析：如圖，在△PAF2中，|尸西|=回/2|=2°,又NAF2P=120°,由余弦定理可得

222

=|FIF2|+|PF2|-2|FIF2|.|PF2|-COS120°=12C,所以|PB|=2小C.

由雙曲線的定義可得2a=\PFl\~\PF2\=2小c—2c=2（小一l）c.

故雙曲線的離心率-=務(wù)麗丘=華.

獨(dú)案.

I=I■CA

72

5.從橢圓，+%=l（a>6>0）上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)B，A是橢圓與x

軸正半軸的交點(diǎn)，8是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且AB〃OP（。是坐標(biāo)原點(diǎn)），則該橢圓的

離心率是（）

A.（B.1

C.坐D.當(dāng)

解析：由題意可設(shè)尸（一c,yo）（c為半焦距），kOp=--,kAB=/由于。尸〃AB,；.一

%=一§,yo=~>把尸（一c,勺代入橢圓方程得即82=3，^弋二坐

選c.

答案：c

3

6.（2017?銅川二模）己知拋物線/=2尤的弦48的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5,則|A8|的最大值為

（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：設(shè)A（xi,力），8（x2,yi）,則xi+&=3,利用拋物線的定義可知，|AF|+|B尸|=占

+X2+1=4,由圖可知|AF|+|BF|N|A8|0|AB|W4,當(dāng)且僅當(dāng)直線AB過焦點(diǎn)/時，取得

最大值4.

答案：D

7.（2017?濮陽一模）雙曲線”一6=1（。>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Q,F2,過后作x

軸的垂線交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，若/4巳8<1,則雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.（1,?。〣.（1,黃）

C.（1,2V3）D.（小，3小）

2b2

解析：由題意可知，雙曲線的通徑為二一，因?yàn)檫^焦點(diǎn)尸1且垂直于x軸的弦為A3,若

b2

ZAF2B<?,所以:^;=tanNA尸28V卓，e=~>lf所以.?〃<坐,〈坐,由解得e

j乙cJa乙acJ乙zeJ

G（l,事）.故選A.

答案：A

8.（2017?汕頭二模）過雙曲線最一方=130,b>0）的左焦點(diǎn)廠作直線/與雙曲線交于A，

2兩點(diǎn)，使得|A2|=46,若這樣的直線有且僅有兩條，則離心率e的取值范圍是（）

A.（1,B.（y[5,+°0）

C.償,?。〥.11,堂U（下,+8）

解析：由題意過雙曲線$=l（a>0,6>0）的左焦點(diǎn)/，作直線/與雙曲線交于A,B

（1b1

—<\AB\=4b

兩點(diǎn),①當(dāng)A、8位于雙曲線左支時，需滿足｛2a>4b

可得1<

le>l

"2a<4b

②當(dāng)A、8位于雙曲線兩支時，需滿足<手>46,可得e>小,所以，滿足條件的e

、e>l

的取值范圍是（1,坐'）u（小，+°°）.故選D.

答案：D

9.（2017?清遠(yuǎn)一模）已知橢圓C：捻+胃=1（。>6>°）的離心率為坐，四個頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊

形的面積為4,過原點(diǎn)的直線/（斜率不為零）與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),人,&為橢圓的左、

右焦點(diǎn)，則四邊形AFiBB的周長為（）

A.4B.4^3

C.8D.85

解析：由題意可知：橢圓。：^1+3=1（0>6>0）焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓的離心率e=，坐,

即4c2=3片，

由四個頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為4,根據(jù)菱形的面積公式可知S=gx2aX26=4,即

ab=2,由a2=c2+b2,解得：a=2,b=l,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：^+）/=1,由橢圓的定

義可知：四邊形4尸山后的周長4a=8,故選C.

答案：C

10.（2017?河南六市二模）已知尸2、尸1是雙曲線，一白=1（。>0,b>0）的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)

后關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)恰好落在以Q為圓心，|。碎為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為

（）

A.3B.小

C.2D.表

解析：由題意，F(xiàn)i（0,-c）,F2（0,C）,一條漸近線方程為了=齊，則&到漸近線的距

、he

離為.設(shè)尸2關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)為尸2M與漸近線交于A,\MFo\=2b,A為

尸2M的中點(diǎn)，又O是尸1尸2的中點(diǎn)，：.OA//FiM,J尸2為直角，J為直角三

222

角形，二?由勾股定理得4c2=02+4。2,.,.3c2=4(c—/),/.c=4d:,.\c=2af.,.e=2.故選

C.

答案：c

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.共20分.

11.（2016?北京高考）已知雙曲線，一g=1（。>0,6>0）的一條漸近線為2x+y=0,一個

焦點(diǎn)為（小，0）,則〃=,b=.

y22

解析：因?yàn)殡p曲線薩一方v=1（〃>0,匕>0）的一條漸近線為2x+y=0,即y=-2x,所以

b

4=2.①