湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第3章圓錐曲線與方程3-4 3-5圓錐曲線的應(yīng)用課件

1.一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線C(看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌

跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系:(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解,(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).此時(shí),這個(gè)方程叫作曲線的方程,這條曲線叫作方程的曲線.2.求曲線方程的一般步驟(1)建系設(shè)點(diǎn):用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)列式(限制):找出曲線上的點(diǎn)所滿足的幾何關(guān)系式;3.4曲線與方程3.5圓錐曲線的應(yīng)用曲線的方程與方程的曲線(3)代換:用坐標(biāo)(x,y)來(lái)表示上述幾何關(guān)系;(4)化簡(jiǎn):化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式;(5)證明:驗(yàn)證以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).(一般變?yōu)榇_定點(diǎn)

的范圍即可)

1.圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F的距離和到一條定直線l(F不在l上)的距離的比等于常

數(shù)e的點(diǎn)的軌跡.當(dāng)0<e<1時(shí),它表示橢圓;當(dāng)e>1時(shí),它表示雙曲線;當(dāng)e=1時(shí),它表示拋物線.其中e是圓錐曲線的離心率,定點(diǎn)F是圓錐曲線的焦點(diǎn),定直線l是圓錐曲線的準(zhǔn)線.2.橢圓

+

=1(a>b>0)的準(zhǔn)線方程為x=±

,橢圓

+

=1(a>b>0)的準(zhǔn)線方程為y=±

.雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的準(zhǔn)線方程為x=±

,雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的準(zhǔn)線方程為y=±

.1.根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)時(shí),若方程比較復(fù)雜,則應(yīng)對(duì)方程進(jìn)行同解變形,并注

意方程的附加條件以及隱含條件,一定要保證其等價(jià)性.1根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)2.研究曲線是否經(jīng)過(guò)某個(gè)點(diǎn)時(shí),只需驗(yàn)證該點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足曲線的方程,若滿

足,則點(diǎn)在曲線上,否則,點(diǎn)不在曲線上.3.研究曲線的對(duì)稱性時(shí),可將方程F(x,y)=0中的x用-x代替,y用-y代替,分析方程是

否發(fā)生變化,以確定其對(duì)稱性.4.研究?jī)汕€是否相交時(shí),可將兩曲線方程聯(lián)立,然后判斷方程組是否有實(shí)數(shù)解,

若有實(shí)數(shù)解,則有交點(diǎn),否則,沒(méi)有交點(diǎn).

典例

(多選)已知曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(-1,0),F2(1,0)的距離的乘積等于常數(shù)m2(m>1)的點(diǎn)的軌跡,則下列結(jié)論中正確的是

(

)A.曲線C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)B.曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.若點(diǎn)P在曲線C上,則△PF1F2的面積不大于

m2D.直線y=x與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)BCD解析

設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),依題意有

·

=m2,即[(x+1)2+y2]·[(x-1)2+y2]=m4(m>1),此即為曲線C的方程.將原點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)代入曲線C的方程,等式不能成立,所以曲線C不經(jīng)過(guò)原點(diǎn),故A選

項(xiàng)錯(cuò)誤;以-x代替x,-y代替y,方程不變,所以曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故B選項(xiàng)正確;若點(diǎn)P在曲線C上,則△PF1F2的面積S=

|PF1||PF2|sin∠F1PF2=

m2·sin∠F1PF2≤

m2,即△PF1F2的面積不大于

m2,故C選項(xiàng)正確;由

消去y,得4x4+1=m4,即x4=

,由于m>1,所以

>0,因此方程x4=

有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,即直線y=x與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn),故D選項(xiàng)正確.求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常用方法(1)直接法:當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)滿足的條件簡(jiǎn)單明確時(shí),直接按“建系設(shè)點(diǎn)、列出條件、

代入坐標(biāo)、整理化簡(jiǎn)、限制說(shuō)明”的基本步驟求解.(2)定義法:若能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義,則可由該曲線的定義

直接寫出曲線方程,即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法):當(dāng)題目中有多個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),將其他動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)用所求動(dòng)點(diǎn)的坐

標(biāo)來(lái)表示,再代入其他動(dòng)點(diǎn)滿足的曲線方程或條件中,整理即得所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡

方程.(4)參數(shù)法:選取適當(dāng)?shù)膮?shù),分別用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)中的x,y,然后消去參數(shù),即得

動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.2求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

典例如圖所示,動(dòng)圓C1:x2+y2=t2,1<t<3與橢圓C2:

+y2=1相交于A,B,C,D四點(diǎn),點(diǎn)A1,A2分別為C2的左、右頂點(diǎn).

(1)當(dāng)t為何值時(shí),矩形ABCD的面積取得最大值?并求出其最大面積;(2)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程.解析

(1)設(shè)A(x0,y0),則矩形ABCD的面積S=4|x0y0|.由

+

=1得

=1-

,從而

=

=-

+

,∴當(dāng)

=

,

=

時(shí),Smax=6.從而t2=

+

=5,∴t=

.∴當(dāng)t=

時(shí),矩形ABCD的面積取得最大值6.(2)由橢圓C2:

+y2=1,知A1(-3,0),A2(3,0).由曲線的對(duì)稱性及A(x0,y0),得B(x0,-y0).設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y).易知直線AA1的方程為y=

(x+3)①,直線A2B的方程為y=

(x-3)②,由①②得y2=

·(x2-9)③,又點(diǎn)A(x0,y0)在橢圓C2上,故

=1-

④,將④代入③得

-y2=1(x<-3,y<0),因此點(diǎn)M的軌跡方程為

-y2=1(x<-3,y<0).名師點(diǎn)評(píng)

本題(2)的軌跡方程中,求解時(shí)要結(jié)合幾何性質(zhì)和幾何直觀細(xì)心發(fā)掘.

求解中充分運(yùn)用橢圓與圓的對(duì)稱性以及方程④的整體代入,避免了煩瑣運(yùn)算,優(yōu)

化了解題過(guò)程.解應(yīng)用題時(shí)涉及兩個(gè)基本步驟,即將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題和解決這個(gè)數(shù)

學(xué)問(wèn)題,為此要注意以下四點(diǎn):(1)閱讀理解:讀懂題意,理解實(shí)際背景,領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì).(2)數(shù)學(xué)建模:將應(yīng)用題的材料陳述轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,這就要抽象、歸納其中的數(shù)

量關(guān)系,并把這種關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表示出來(lái).(3)數(shù)學(xué)求解:根據(jù)所建立數(shù)學(xué)關(guān)系的知識(shí)系統(tǒng),得出結(jié)果.(4)實(shí)際還原:將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題.3圓錐曲線的實(shí)際應(yīng)用?

典例神舟九號(hào)飛船返回艙順利到達(dá)地球后,為了及時(shí)將航天員安全救出,地面指揮中心在返回艙預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排了三個(gè)救援中心(記為A,B,C),A在B的正東

方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P為航天員著陸點(diǎn).某時(shí)刻,A

接收到P的求救信號(hào),由于B,C兩地比A距P遠(yuǎn),在此4秒后,B,C兩個(gè)救援中心才同時(shí)

接收到這一信號(hào).已知該信號(hào)的傳播速度為1千米/秒,求在A處發(fā)現(xiàn)P的方向角.解析

如圖所示,

以直線AB為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(3,0),B(-3,

0),C(-5,2

).設(shè)P(x,y),BC的中點(diǎn)為D.∵|PB|=|PC|,∴點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上.易知kBC=-

,D(-4,

),∴直線PD的方程為y-

=

(x+4).①易得|PB|-|PA|=4<6=|AB|,∴點(diǎn)P在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上,且a=2,c=3,∴雙曲線方程為

-

=1(x≥2).②聯(lián)立①②,得P點(diǎn)坐標(biāo)為(8,5

),∴kPA=

=

,因此P在A的北偏東30°方向上.

通過(guò)圓錐曲線的應(yīng)用發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)圓錐曲線在數(shù)學(xué)、天文、光學(xué)、建筑以及實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用,求解此

類問(wèn)題時(shí)要善于抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì),建立適合的數(shù)學(xué)模型(橢圓、雙曲線、拋物線),從而發(fā)展數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng),然后利用圓錐曲線的相關(guān)定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)

等知識(shí)求解,在求解過(guò)程中發(fā)展邏輯推理的核心素養(yǎng).素養(yǎng)解讀

例題某同學(xué)觀看了2019年春節(jié)檔非常熱門的電影《流浪地球》后引發(fā)了他的思考:假定地球(設(shè)為質(zhì)點(diǎn)P,半徑忽略不計(jì))借助原子發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)始“流浪”的軌

道是以木星(看作球體,其半徑R約為7萬(wàn)千米)的中心F為右焦點(diǎn)的橢圓C.已知地

球的近木星點(diǎn)A(軌道上離木星表面最近的點(diǎn))到木星表面的距離為1萬(wàn)千米,遠(yuǎn)木

星點(diǎn)B(軌道上離木星表面最遠(yuǎn)的點(diǎn))到木星表面的距離為25萬(wàn)千米.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若地球在“流浪”的過(guò)程中,由A第一次逆時(shí)針“流浪”到與軌道中心O的距

離為

(a,b分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng))萬(wàn)千米時(shí),由于木星引力,部分原子發(fā)動(dòng)機(jī)突然失去了動(dòng)力,此時(shí)地球向著木星方向開(kāi)始變軌(如圖所示),假定地球變軌后的軌道為一條直線L,稱該直線的斜率k為“變軌系數(shù)”.當(dāng)“變軌系數(shù)”k

的取值為-2或1時(shí),地球與木星會(huì)不會(huì)發(fā)生碰撞?典例呈現(xiàn)解題思路

(1)設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再根據(jù)題意求出a,b,c的值即可.設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1(a>b>0).由條件得

解得

故b2=256,因此橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1.(2)由P與軌道中點(diǎn)O的距離和橢圓的方程聯(lián)立得到的方程組的解得P的坐標(biāo),再由

點(diǎn)到直線的距離與R的大小關(guān)系列出不等式進(jìn)行判斷.設(shè)地球由近木星點(diǎn)A第一次逆時(shí)針“流浪”到與軌道中心O的距離為

萬(wàn)千米時(shí)所在位置為P(x0,y0),設(shè)x0>0,y0>0.信息提取

以地球“流浪”的軌道為背景建立橢圓模型,受木星引力,地球“流

浪”的軌道變軌,為一條直線,從而建立直線模型,最后利用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.則

?

∴P

,則直線L的方程為y-

=k

,即kx-y+

-

k=0,設(shè)木星的中心F到地球的距離為d萬(wàn)千米.由d>R得

>7,化簡(jiǎn)得425k2+128

k-839<0,當(dāng)k=-2時(shí),不等式左邊=86