《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第3節(jié)第1課時(shí)　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式-教師復(fù)習(xí)驗(yàn)收卷

《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第3節(jié)第1課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式-教師復(fù)習(xí)驗(yàn)收卷《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第3節(jié)第1課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式-教師復(fù)習(xí)驗(yàn)收卷/《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第3節(jié)第1課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式-教師復(fù)習(xí)驗(yàn)收卷第3節(jié)三角恒等變換知識(shí)梳理1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α?β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcos__α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3.函數(shù)f(α)＝asinα＋bcosα(a,b為常數(shù)),可以化為f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)·cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(a,b))).1.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ).2.cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2),sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).3.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2,sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).診斷自測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打"√”或"×”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.()(2)存在實(shí)數(shù)α,β,使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()(3)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以變形為tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ),且對(duì)任意角α,β都成立.()(4)存在實(shí)數(shù)α,使tan2α＝2tanα.()答案(1)√(2)√(3)×(4)√解析(3)變形可以,但不是對(duì)任意的α,β都成立,α,β,α＋β≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z).2.已知cosα＝－eq\f(4,5),α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π,\f(3π,2))),則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.－eq\f(\r(2),10) B.eq\f(\r(2),10) C.－eq\f(7\r(2),10) D.eq\f(7\r(2),10)答案C解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π,\f(3π,2))),且cosα＝－eq\f(4,5),∴sinα＝－eq\f(3,5),∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).3.已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝2,則tanα＝()A.eq\f(1,3) B.－eq\f(1,3)C.eq\f(4,3) D.－eq\f(4,3)答案A解析taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2,解得tanα＝eq\f(1,3).4.(2020·全國(guó)Ⅱ卷)若sinx＝－eq\f(2,3),則cos2x＝________.答案eq\f(1,9)解析因?yàn)閟inx＝－eq\f(2,3),所以cos2x＝1－2sin2x＝eq\f(1,9).5.(2020·江蘇卷)已知sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(2,3),則sin2α的值是________.答案eq\f(1,3)解析因?yàn)閟in2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(2,3),所以eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α)),2)＝eq\f(2,3),即eq\f(1＋sin2α,2)＝eq\f(2,3),所以sin2α＝eq\f(1,3).6.(2021·全國(guó)大聯(lián)考)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－sinα＝eq\f(4\r(3),5),則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(11π,6)))＝________.答案－eq\f(4,5)解析由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(1,2)sinα－sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(3,2)sinα＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosα－\f(\r(3),2)sinα))＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(4\r(3),5),得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(4,5).sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(11π,6)))＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(11π,6)))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(4,5).第一課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式考點(diǎn)一公式的基本應(yīng)用1.(2019·全國(guó)Ⅰ卷)tan255°＝()A.－2－eq\r(3) B.－2＋eq\r(3)C.2－eq\r(3) D.2＋eq\r(3)答案D解析tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(30°＋45°)＝eq\f(tan30°＋tan45°,1－tan30°tan45°)＝eq\f(\f(\r(3),3)＋1,1－\f(\r(3),3))＝2＋eq\r(3).故選D.2.(2021·武漢模擬)已知角α,β的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,若角α,β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1,\f(1,3))),Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2,\f(2,3))),其中x1<0<x2,則cos(2α－β)＝()A.－eq\f(7\r(5)＋8\r(2),27) B.eq\f(8\r(2)－7\r(5),27)C.eq\f(7\r(5)－8\r(2),27) D.eq\f(7\r(5)＋8\r(2),27)答案C解析由題意可知,sinα＝eq\f(1,3),sinβ＝eq\f(2,3),由x1<0<x2可知cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(2),3),cosβ＝eq\r(1－sin2β)＝eq\f(\r(5),3),所以cos2α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,9),sin2α＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)))×eq\f(1,3)＝－eq\f(4\r(2),9),所以cos(2α－β)＝cos2αcosβ＋sin2αsinβ＝eq\f(7\r(5)－8\r(2),27).3.(多選題)(2021·北京西城區(qū)模擬)下面各式中,正確的是()A.sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,4)coseq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),2)coseq\f(π,4)B.coseq\f(5π,12)＝eq\f(\r(2),2)sineq\f(π,3)－coseq\f(π,4)coseq\f(π,3)C.coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝coseq\f(π,4)coseq\f(π,3)＋eq\f(\r(6),4)D.coseq\f(π,12)＝coseq\f(π,3)－coseq\f(π,4)答案ABC解析∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,4)coseq\f(π,3)＋coseq\f(π,4)sineq\f(π,3)＝sineq\f(π,4)coseq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),2)coseq\f(π,4),∴A正確;∵coseq\f(5π,12)＝－coseq\f(7π,12)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)sineq\f(π,3)－coseq\f(π,4)coseq\f(π,3),∴B正確;∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,3)))＝coseq\f(π,4)coseq\f(π,3)＋eq\f(\r(6),4),∴C正確;∵coseq\f(π,12)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,4)))≠coseq\f(π,3)－coseq\f(π,4),∴D不正確.故選ABC.4.已知tanα＝2,則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))＝________.答案－eq\f(4,5)解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))＝－sin2α＝－2sinαcosα＝eq\f(－2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(－2tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(4,5).感悟升華1.使用兩角和與差的三角函數(shù)公式,首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.2.使用公式求值,應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值,再代入公式求值.考點(diǎn)二公式的逆用及變形【例1】(1)下列式子化簡(jiǎn)正確的是()A.cos82°sin52°－sin82°cos52°＝eq\f(1,2)B.sin15°sin30°sin75°＝eq\f(1,4)C.eq\f(tan48°＋tan72°,1－tan48°tan72°)＝eq\r(3)D.cos215°－sin215°＝eq\f(\r(3),2)(2)(2020·杭州模擬)函數(shù)f(x)＝cosx－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))在[0,π]的值域?yàn)?)A.[－1,1] B.[－2,1]C.[－2,2] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2),1))(3)(1＋tan17°)·(1＋tan28°)的值為_(kāi)_______.答案(1)D(2)B(3)2解析(1)選項(xiàng)A中,cos82°sin52°－sin82°cos52°＝sin(52°－82°)＝sin(－30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2),故A錯(cuò)誤;選項(xiàng)B中,sin15°sin30°sin75°＝eq\f(1,2)sin15°cos15°＝eq\f(1,4)sin30°＝eq\f(1,8),故B錯(cuò)誤;選項(xiàng)C中,eq\f(tan48°＋tan72°,1－tan48°tan72°)＝tan(48°＋72°)＝tan120°＝－eq\r(3),故C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D中,cos215°－sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2),故D正確.(2)f(x)＝cosx－eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx－eq\f(\r(3),2)sinx＋eq\f(1,2)cosx＝cosx－eq\r(3)sinx＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).∵0≤x≤π,∴eq\f(π,3)≤x＋eq\f(π,3)≤eq\f(4π,3),則當(dāng)x＋eq\f(π,3)＝π時(shí),函數(shù)取得最小值2cosπ＝－2,當(dāng)x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,3)時(shí),函數(shù)取得最大值2coseq\f(π,3)＝2×eq\f(1,2)＝1,即函數(shù)的值域?yàn)閇－2,1].故選B.(3)原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°＝1＋tan45°(1－tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28°＝1＋1＝2.感悟升華運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí),不但要熟悉公式的正用,還要熟悉公式的逆用及變形應(yīng)用,如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應(yīng)用更能拓展思路,培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.【訓(xùn)練1】(1)(多選題)(2021·聊城質(zhì)檢)下列選項(xiàng)中,值為eq\f(1,4)的是()A.sineq\f(π,12)sineq\f(5π,12) B.eq\f(1,3)－eq\f(2,3)cos215°C.eq\f(1,sin50°)＋eq\f(\r(3),cos50°) D.cos72°·cos36°(2)若α＋β＝eq\f(2π,3),則eq\r(3)tanαtanβ－tanα－tanβ的值為_(kāi)_______.答案(1)AD(2)eq\r(3)解析(1)對(duì)于A,sineq\f(π,12)sineq\f(5π,12)＝sineq\f(π,12)coseq\f(π,12)＝eq\f(1,2)sineq\f(π,6)＝eq\f(1,4),故A正確;對(duì)于B,eq\f(1,3)－eq\f(2,3)cos215°＝－eq\f(1,3)(2cos215°－1)＝－eq\f(1,3)cos30°＝－eq\f(\r(3),6),故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,原式＝eq\f(cos50°＋\r(3)sin50°,sin50°cos50°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin50°＋\f(1,2)cos50°)),\f(1,2)sin100°)＝eq\f(2sin80°,\f(1,2)sin100°)＝eq\f(2sin80°,\f(1,2)sin80°)＝4,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,cos36°·cos72°＝eq\f(2sin36°·cos36°·cos72°,2sin36°)＝eq\f(2sin72°·cos72°,4sin36°)＝eq\f(sin144°,4sin36°)＝eq\f(1,4),故D正確.綜上,選AD.(2)∵α＋β＝eq\f(2π,3),∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝－eq\r(3),可得tanα＋tanβ＝－eq\r(3)(1－tanαtanβ),∴eq\r(3)tanα·tanβ－tanα－tanβ＝eq\r(3)tanαtanβ－(tanα＋tanβ)＝eq\r(3)tanαtanβ＋eq\r(3)－eq\r(3)tanαtanβ＝eq\r(3).考點(diǎn)三角的變換【例2】(1)(2020·全國(guó)Ⅲ卷)已知sinθ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝1,則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(2),2)(2)若0<α<eq\f(π,2),－eq\f(π,2)<β<0,coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,3),coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(3),3),則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))等于()A.eq\f(\r(3),3) B.－eq\f(\r(3),3) C.eq\f(5\r(3),9) D.eq\f(－\r(6),9)(3)(2021·長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè))若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,8)))＝eq\f(1,3),則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))＝________.答案(1)B(2)C(3)－eq\f(7,9)解析(1)因?yàn)閟inθ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)－\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))coseq\f(π,6)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))sineq\f(π,6)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))coseq\f(π,6)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))sineq\f(π,6)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))coseq\f(π,6)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝1,所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),3).故選B.(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2))).∵0<α<eq\f(π,2),則eq\f(π,4)<eq\f(π,4)＋α<eq\f(3π,4),∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(2\r(2),3).又－eq\f(π,2)<β<0,則eq\f(π,4)<eq\f(π,4)－eq\f(β,2)<eq\f(π,2),∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(6),3).故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),3)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(5\r(3),9).故選C.(3)法一因?yàn)閏oseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,8)))))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,8)))＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,9),coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2θ))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))＝eq\f(7,9),所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))＝－eq\f(7,9).法二因?yàn)閏oseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,8)))))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,8)))＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,9),coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(cos2θ－sin2θ),sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(sin2θ－cos2θ),所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))＝－eq\f(7,9).感悟升華1.求角的三角函數(shù)值的一般思路是把"所求角”用"已知角”表示.(1)當(dāng)"已知角”有兩個(gè)時(shí),"所求角”一般表示為兩個(gè)"已知角”的和或差的形式;(2)當(dāng)"已知角”有一個(gè)時(shí),此時(shí)應(yīng)著眼于"所求角”與"已知角”的和或差的關(guān)系,再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把"所求角”變成"已知角”.2.常見(jiàn)的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β),α＝(α＋β)－β,β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2),α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2),eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等.【訓(xùn)練2】(1)(2020·南昌三模)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(1,3),則eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,6))),tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)))＝________.(2)(2021·重慶調(diào)研改編)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－\f(π,4)))＝eq\f(\r(3),3),則cos2α＝________.答案(1)－eq\f(1,3)(2)eq\f(7,9)解析(1)因?yàn)閟ineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(1,3),所以eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,6))),tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)))＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,6)))·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)))＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)－π))·cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))))),sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))))))＝eq\f(－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq\f(1,3).(2)法一因?yàn)閟ineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－\f(π,4)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(α,2)))＝eq\f(\r(3),3),所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(α,2)))＝－eq\f(\r(3),3),又sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(α,2)))＋cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(α,2)))＝1,所以cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(α,2)))＝eq\f(2,3),coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(α,2)))))＝sinα＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(α,2)))－1＝eq\f(1,3),所以cos2α＝1－2sin2α＝eq\f(7,9).法二因?yàn)閏oseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－\f(π,4)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝sinα＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－\f(π,4)))＝eq\f(1,3),所以cos2α＝1－2sin2α＝eq\f(7,9).A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.已知α是第二象限角,且tanα＝－eq\f(1,3),則sin2α＝()A.－eq\f(3\r(10),10) B.eq\f(3\r(10),10) C.－eq\f(3,5) D.eq\f(3,5)答案C解析因?yàn)棣潦堑诙笙藿?且tanα＝－eq\f(1,3),所以sinα＝eq\f(\r(10),10),cosα＝－eq\f(3\r(10),10),所以sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(\r(10),10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))＝－eq\f(3,5),故選C.2.(2020·全國(guó)Ⅲ卷)已知2tanθ－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝7,則tanθ＝()A.－2 B.－1 C.1 D.2答案D解析2tanθ－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2tanθ－eq\f(1＋tanθ,1－tanθ)＝7,解得tanθ＝2.故選D.3.(2020·揭陽(yáng)一模)若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝eq\f(3,5),則sin4α－cos4α的值為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5) C.－eq\f(4,5) D.－eq\f(3,5)答案D解析sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝cos2α＝eq\f(3,5),則sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝－cos2α＝－eq\f(3,5).4.(2021·煙臺(tái)模擬)已知α∈(0,π),2sin2α＝cos2α－1,則cosα＝()A.eq\f(\r(5),5) B.－eq\f(\r(5),5) C.eq\f(2\r(5),5) D.－eq\f(2\r(5),5)答案B解析∵2sin2α＝cos2α－1,∴4sinαcosα＝－2sin2α.∵α∈(0,π),∴sinα>0,2cosα＝－sinα,∴cosα<0,結(jié)合sin2α＋cos2α＝1,得cosα＝－eq\f(\r(5),5).5.已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5),則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,6)))的值是()A.－eq\f(2\r(3),5) B.eq\f(2\r(3),5) C.－eq\f(4,5) D.eq\f(4,5)答案C解析∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sinα＝cosαcoseq\f(π,6)＋sinαsineq\f(π,6)＋sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(1,2)sinα＋sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(3,2)sinα＝eq\f(4\r(3),5),∴eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(4,5),∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,6)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinα＋\f(1,2)cosα))＝－eq\f(4,5),故選C.6.(2021·全國(guó)大聯(lián)考)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋15°))＝eq\f(3,5),則cos(α－30°)＝()A.eq\f(7\r(2),10) B.－eq\f(\r(2),10)C.eq\f(7\r(2),10)或eq\f(\r(2),10) D.eq\f(7\r(2),10)或－eq\f(\r(2),10)答案D解析∵sin(α＋15°)＝eq\f(3,5),∴cos(α＋15°)＝eq\f(4,5)或－eq\f(4,5).當(dāng)cos(α＋15°)＝eq\f(4,5)時(shí),cos(α－30°)＝cos[(α＋15°)－45°]＝cos(α＋15°)cos45°＋sin(α＋15°)sin45°＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)＋\f(3,5)))＝eq\f(7\r(2),10);當(dāng)cos(α＋15°)＝－eq\f(4,5)時(shí),cos(α－30°)＝cos[(α＋15°)－45°]＝cos(α＋15°)cos45°＋sin(α＋15°)sin45°＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)＋\f(3,5)))＝－eq\f(\r(2),10),∴cos(α－30°)＝eq\f(7\r(2),10)或－eq\f(\r(2),10),故選D.二、填空題7.sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.答案sin(α＋γ)解析sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).8.(2021·北京東城區(qū)模擬)已知cos2α＝eq\f(1,3),則cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))－2cos2(π－α)的值為_(kāi)_______.答案－1解析cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))－2cos2(π－α)＝(－sinα)2－2(－cosα)2＝sin2α－2cos2α＝eq\f(1－cos2α,2)－(1＋cos2α)＝eq\f(1－\f(1,3),2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))＝－1.9.tan20°＋tan40°＋eq\r(3)tan20°tan40°＝________.答案eq\r(3)解析∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝eq\f(tan20°＋tan40°,1－tan20°tan40°),∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＝eq\r(3)－eq\r(3)tan20°tan40°,∴原式＝eq\r(3)－eq\r(3)tan20°tan40°＋eq\r(3)tan20°tan40°＝eq\r(3).三、解答題10.(2021·衡陽(yáng)質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝cos2x＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),f(α)＝eq\f(1,3),求cos2α.解(1)∵f(x)＝cos2x＋eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))),∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由f(α)＝eq\f(1,3),可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))＝eq\f(1,3).∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),∴2α＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(7π,6))).又∵0<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))＝eq\f(1,3)<eq\f(1,2),∴2α＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6),π)).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))＝－eq\f(2\r(2),3).∴cos2α＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))coseq\f(π,6)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))·sineq\f(π,6)＝eq\f(1－2\r(6),6).11.已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(1,9),sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(2,3),且eq\f(π,2)<α<π,0<β<eq\f(π,2),求cos(α＋β).解由已知,得eq\f(π,2)<α－eq\f(β,2)<π,0<eq\f(α,2)－β<eq\f(π,2),∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\f(4\r(5),9),coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(\r(5),3),∴coseq\f(α＋β,2)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)