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第四章三角函數(shù)、解三角形第4節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)11.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx圖象定義域RR值域__________________________R最小正周期________________奇偶性________________奇函數(shù)[-1,1][-1,1]2π2ππ奇函數(shù)偶函數(shù)常用結(jié)論×診斷自測(cè)解析(1)余弦函數(shù)y=cosx的對(duì)稱軸有無窮多條,y軸只是其中的一條.1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)余弦函數(shù)y=cosx的對(duì)稱軸是y軸.(
) (2)正切函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù).(
) (3)已知y=ksinx+1,x∈R,則y的最大值為k+1.(
) (4)y=sin|x|是偶函數(shù).(
)××√(3)當(dāng)k>0時(shí),ymax=k+1;當(dāng)k<0時(shí),ymax=-k+1.CCC5.(多選)已知函數(shù)f(x)=sin2x+2cos2x,則(
)BC6.cos23°,sin68°,cos97°的大小關(guān)系是_____________________________.sin68°>cos23°>cos97°解析sin68°=cos22°,又y=cosx在[0°,180°]上是減函數(shù),∴sin68°>cos23°>cos97°.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域和值域解析∵f(x)=sin3xcosx-sinxcos3x=sinxcosx(sin2x-cos2x)1.f(x)=sin3xcosx-sinxcos3x的最大值為(
)B又y=3-sinx-2cos2x=3-sinx-2(1-sin2x)解析設(shè)t=sinx-cosx,則t2=sin2x+cos2x-2sinxcosx,4.函數(shù)y=sinx-cosx+sinxcosx的值域?yàn)開________________.當(dāng)t=1時(shí),ymax=1;考點(diǎn)二三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性解析A中,y=cos|2x|=cos2x,最小正周期為π;B中,由圖象知y=|cosx|的最小正周期為π;例1(1)(多選)(2022·臨沂調(diào)研)下列函數(shù)中,最小正周期為π的是(
)ABC解析∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù),解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(-x)=f(x),則f(x)為偶函數(shù).訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)=cosx-cos2x,則該函數(shù)為(
)DAB函數(shù)f(x)的最大值為1,故D錯(cuò)誤.角度1求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小考點(diǎn)三三角函數(shù)的單調(diào)性DA.a>b>c
B.a>c>b C.c>a>b
D.b>a>c因?yàn)閥=cosx在[0,π]上遞減,A角度2根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)CA(2)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是減函數(shù),則a的最大值是(
)A例1
為了使函數(shù)y=sinωx(ω>0)在區(qū)間[0,1]上至少出現(xiàn)50次最大值,則ω的最小值為(
)B一、利用三角函數(shù)的周期求解D二、利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解又ω>0,所以k≥0,三、利用三角函數(shù)的最值、圖象的對(duì)稱性求解B所以ω=4k+1(k∈N*),即ω≤12,由此得ω的最大值為9.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3解析對(duì)于C,f(x+π)=|tan(x+π)|=|tanx|=f(x),所以f(x)是周期函數(shù),其余均不是周期函數(shù).1.下列函數(shù)中,是周期函數(shù)的為(
) A.f(x)=sin|x|
B.f(x)=tan|x| C.f(x)=|tanx|
D.f(x)=(x-1)0C解析選項(xiàng)A中的函數(shù)是偶函數(shù),選項(xiàng)B,D中的函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù);因?yàn)閥=-3sin(2x+π)=3sin2x,所以是奇函數(shù),選C.2.下列函數(shù)中,是奇函數(shù)的是(
) A.y=|cosx+1|
B.y=1-sinx C.y=-3sin(2x+π)
D.y=1-tanxC解析∵f(x)=sin4x-cos4x=sin2x-cos2x=-cos2x,∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=π,f(x)的最大值為1.∵f(-x)=-cos(-2x)=-cos2x=f(x),∴f(x)為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.3.(多選)已知函數(shù)f(x)=sin4x-cos4x,則下列說法正確的是(
) A.f(x)的最小正周期為π B.f(x)的最大值為2 C.f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱ACDAA.f(1)>f(2)>f(3) B.f(3)>f(2)>f(1)C.f(2)>f(1)>f(3) D.f(1)>f(3)>f(2)所以f(1)>f(2)>f(3),故選A.A解析f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),∴f(x)為偶函數(shù),故A正確;6.(多選)已知函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|,下列結(jié)論正確的是(
)ADf(x)在[-π,π]上的圖象如圖所示,由圖可知函數(shù)f(x)在[-π,π]上只有3個(gè)零點(diǎn),故C不正確;∵y=sin|x|與y=|sinx|的最大值都為1且可以同時(shí)取到,∴f(x)可以取到最大值2,故D正確.解析要使函數(shù)有意義,必須使sinx-cosx≥0.利用圖象,在同一坐標(biāo)系中畫出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的圖象,如圖所示.④解析函數(shù)f(x)的周期為2π,①錯(cuò);f(x)的值域?yàn)閇0,+∞),②錯(cuò);解
因?yàn)閒(x)的最小正周期為π,所以f(x)=sin(2x+φ).解
因?yàn)閒(x)的最小正周期為
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