2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)10年高考真題分類題組7.3基本不等式及其應(yīng)用

.3基本不等式及其應(yīng)用考點(diǎn)基本不等式及其應(yīng)用1.(2015福建理,5,5分)若直線xa+yb=1(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(1,1),則a+b的最小值等于(A.2B.3C.4D.5答案C因?yàn)橹本€xa+yb=1(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(1,1),所以1a+1b=1.所以a+b=(a+b)·1a+1b=2+ab+ba≥2+2a2.(2015湖南文,7,5分)若實(shí)數(shù)a,b滿意1a+2b=ab,則ab的最小值為(A.2B.2C.22D.4答案C依題意知a>0,b>0,則1a+2b≥22ab=22ab,當(dāng)且僅當(dāng)1a=2b,即b=2a時(shí),“=”成立.因?yàn)?a+2b=ab,所以ab≥22ab,即ab≥3.(2014重慶文,9,5分)若log4(3a+4b)=log2ab,則a+b的最小值是()A.6+23B.7+23C.6+43D.7+43答案D由log4(3a+4b)=log2ab,得3a+4b=ab,且a>0,b>0,∴a=4bb-3,∴a+b=b+4bb-3=b+4(b-3)+12b-3=(b-3)+124.(2014福建,9,5分)要制作一個(gè)容積為4m3,高為1m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元,側(cè)面造價(jià)是每平方米10元,則該容器的最低總造價(jià)是()A.80元B.120元C.160元D.240元答案C設(shè)底面矩形的長(zhǎng)和寬分別為am、bm,則ab=4.容器的總造價(jià)為20ab+2(a+b)×10=[80+20(a+b)]元,80+20(a+b)≥80+40ab=160(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立).故選C.5.(2024江蘇,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為.

答案9解析本題考查基本不等式及其應(yīng)用.依題意畫出圖形,如圖所示.易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,即12csin60°+12asin60°=∴a+c=ac,∴1a+1∴4a+c=(4a+c)1a+1c=5+c當(dāng)且僅當(dāng)ca=4ac,即a=32,c=3時(shí)取一題多解1作DE∥CB交AB于E,∵BD為∠ABC的平分線,∴BABC=ADDC=∵DE∥CB,∴ADAC=AEAB=DEBC∴BE=aa+cBA,∴BD=aa+c∴BD2=a∴1=aa+cBA2+ca+cBC2+2·aa∴1=(ac)2(a∴4a+c=(4a+c)1a+1c=5+ca+4ac≥9,當(dāng)且僅當(dāng)ca=4ac一題多解2以B為原點(diǎn),BD所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴Ac2,3∵A,D,C三點(diǎn)共線,∴AD∥DC,∴1-c2-3∴ac=a+c,∴1a+1∴4a+c=(4a+c)1a+1c=5+ca+4ac≥9,當(dāng)且僅當(dāng)ca=4ac6.(2017山東,12,5分)若直線xa+yb=1(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(1,2),則2a+b的最小值為答案8解析由題設(shè)可得1a+2∴2a+b=(2a+b)1a+2b=2+ba+4ab故2a+b的最小值為8.7.(2024天津文,13,5分)設(shè)x>0,y>0,x+2y=4,則(x+1)(答案9解析本題主要考查基本不等式的運(yùn)用.考查學(xué)生對(duì)基本不等式及其簡(jiǎn)潔變形運(yùn)用條件的駕馭程度,以及學(xué)生的推理、運(yùn)算實(shí)力.(x+1)(2y+1)∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2x·2y,解得0<xy≤2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2,即x=2且y=1時(shí)“=”成立.此時(shí)1xy≥12,∴2+5xy≥2+52=思路分析首先將分子綻開,并把已知條件x+2y=4代入,則原式化簡(jiǎn)為2+5xy,留意到x與2y的和為定值,用基本不等式即可求xy的最大值,最終得到原式的最小值,在此應(yīng)特殊留意基本不等式的運(yùn)用條件“一正、二定、三相等”,留意等號(hào)是否成立8.(2015重慶文,14,5分)設(shè)a,b>0,a+b=5,則a+1+b+3的最大值為答案32解析解法一:令t=a+1+b則t2=(a+1+b+3)2=a+1+b+3+2a+1·當(dāng)且僅當(dāng)a+1=b即a=72,b=32時(shí),即t的最大值為32.解法二:設(shè)a+1=m,b則m,n均