高中數(shù)學(xué)第一章6垂直關(guān)系同步刷題課件北師大版必修2

題型1線面垂直的判定定理的應(yīng)用解析1．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且mαB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β

B6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

α⊥β，且mαmβ，或m∥β，或m與β相交，故A不符合；m∥n，且n⊥βm⊥β，故B符合；α⊥β，且m∥αmβ，或m∥β，或m與β相交，故C不符合；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不一定成立，故D不符合．題型1線面垂直的判定定理的應(yīng)用解析2．下列四個命題中，正確的是()①若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線與這個平面垂直；②若一條直線平行于一個平面，則垂直于這條直線的直線必垂直于這個平面；③若一條直線平行于一個平面，另一條直線垂直于這個平面，則這兩條直線互相垂直；④若兩條直線垂直，則過其中一條直線有唯一一個平面與另一條直線垂直．A．①②B．②③C．②④D．③④若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線時，這條直線可能在這個平面內(nèi)、也可能與這個平面斜交、也可能與這個平面垂直，所以①錯誤；若一條直線平行于一個平面，垂直于這條直線的直線與這個平面可能相交、也可能平行、也可能在平面內(nèi)，所以②錯誤；若一條直線平行于一個平面，則平面內(nèi)必有一條直線與之平行，另一條直線垂直于這個平面，則該直線與平面內(nèi)的那條直線垂直，從而這兩條直線互相垂直，所以③正確；若兩條直線垂直，在其中一條直線上取一點(diǎn)，過該點(diǎn)作另一條直線的垂線，則這兩條相交直線確定的平面與另一條直線垂直，且平面唯一，所以④正確．D6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

題型1線面垂直的判定定理的應(yīng)用解析3．給出下列條件(其中l(wèi)為直線，α為平面)：①l垂直于α內(nèi)一五邊形的兩條邊；②l垂直于α內(nèi)三條不都平行的直線；③l垂直于α內(nèi)無數(shù)條直線；④l垂直于α內(nèi)正六邊形的三條邊．其中能夠推出l⊥α的所有條件的序號是()A．②B．①③C．②④D．③如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直．①③都有可能垂直的是平行直線，不能推出l⊥α.C6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

題型1線面垂直的判定定理的應(yīng)用解析4．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H為垂足，則B1H與平面AD1C的位置關(guān)系是()A．垂直B．平行C．斜交D．以上都不對連接B1D1，BD，∵幾何體是正方體，底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又B1B⊥AC，∴AC⊥平面BDD1B1.∵B1H平面BDD1B1，∴AC⊥B1H.∵B1H⊥D1O，AC∩D1O＝O，∴B1H⊥平面AD1C.故選A.A6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

題型1線面垂直的判定定理的應(yīng)用解析5．已知直線m，n是異面直線，則過直線n且與直線m垂直的平面()A．有且只有一個B．至多一個C．有一個或無數(shù)個D．不存在若異面直線m，n垂直，則符合要求的平面有且只有一個，否則不存在．6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

B題型1線面垂直的判定定理的應(yīng)用解析6．[河北唐山2019高二期末]如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是()A．①②B．②④C．①③D．②③對于①，易證AB與CE所成的角為45°，所以直線AB與平面CDE不垂直；對于②，易證AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE；對于③，易證AB與CE所成的角為60°，所以直線AB與平面CDE不垂直；對于④，易證ED⊥平面ABC，得ED⊥AB，易證EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.故選B.

B6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

題型1線面垂直的判定定理的應(yīng)用解7．[遼寧錦州2019高一檢測]如圖，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.(1)求證：PC⊥平面AEF；(2)設(shè)平面AEF交PD于點(diǎn)G，求證：AG⊥PD.(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PA⊥BC.又因?yàn)锳B⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.又因?yàn)锳E平面PAB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC.又因?yàn)镻C平面PBC，所以AE⊥PC.又因?yàn)镻C⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，因?yàn)锳G平面AEF，所以PC⊥AG.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.又因?yàn)镃D⊥AD，AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.又因?yàn)锳G平面PAD，所以CD⊥AG.又因?yàn)镻C∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD.又因?yàn)镻D平面PCD，所以AG⊥PD.

6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

題型2面面垂直的判定定理及其應(yīng)用解析8．[湖南衡陽第一中學(xué)2019高一期末]如圖，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AD＝AB＝BC＝1，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD.在四面體ABCD中，下列說法正確的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ACD⊥平面ABCC．平面ABC⊥平面BCDD．平面ACD⊥平面BCD在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝BC＝1，∠A＝90°，∴BD＝，BC＝2，∠DBC＝45°.由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC＝2，∴BD2＋CD2＝BC2，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，則CD⊥AB.又由AD⊥AB，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ADC.又∵AB平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.故選B.

B6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

題型2面面垂直的判定定理及其應(yīng)用證明9．如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)．求證：平面EFG⊥平面EMN.∵E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，∴EF∥PA.∵AB⊥PA，∴AB⊥EF.同理，AB⊥FG.∵EF∩FG＝F，EF平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，∴AB⊥平面EFG.∵M(jìn)，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，∴MN∥CD.∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴MN⊥平面EFG.∵M(jìn)N平面EMN，∴平面EFG⊥平面EMN.

6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

題型2面面垂直的判定定理及其應(yīng)用證明9．如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)．求證：平面EFG⊥平面EMN.∵E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，∴EF∥PA.∵AB⊥PA，∴AB⊥EF.同理，AB⊥FG.∵EF∩FG＝F，EF平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，∴AB⊥平面EFG.∵M(jìn)，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，∴MN∥CD.∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴MN⊥平面EFG.∵M(jìn)N平面EMN，∴平面EFG⊥平面EMN.

6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

題型2面面垂直的判定定理及其應(yīng)用證明10.[遼寧葫蘆島一中2019高一月考]如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是DC的中點(diǎn)，以AE為折痕將△ADE向上折起，使點(diǎn)D到點(diǎn)P的位置，且PC＝PB.(1)若F是BP的中點(diǎn)，求證：CF∥平面APE；(2)求證：平面APE⊥平面ABCE.(1)取AB的中點(diǎn)G，連接GF，GC.因?yàn)镋C∥AG，EC＝AG，所以四邊形AECG為平行四邊形，所以AE∥GC.在△ABP中，F(xiàn)，G分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以GF∥AP，因?yàn)镚F∩GC＝G，AE∩AP＝A，所以平面APE∥平面FGC.又因?yàn)镃F平面FGC，所以CF∥平面APE.(2)取AE的中點(diǎn)O，連接PO，又因?yàn)镻A＝PE，所以PO⊥AE.取BC的中點(diǎn)H，連接OH，PH，所以O(shè)H∥AB，所以O(shè)H⊥BC.因?yàn)镻B＝PC，所以BC⊥PH.又因?yàn)镻H∩OH＝H，所以BC⊥平面POH，所以BC⊥PO.因?yàn)锽C與AE相交，所以PO⊥平面ABCE.又因?yàn)镻O平面APE，所以平面APE⊥平面ABCE.

6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

題型2面面垂直的判定定理及其應(yīng)用證明11．[江蘇南通2018第一次調(diào)研測試]如圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥PC，CA＝CB，M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱PC上，點(diǎn)D是BN的中點(diǎn)．求證：(1)MD∥平面PAC；(2)平面ABN⊥平面PMC.(1)在△ABN中，M是AB的中點(diǎn)，D是BN的中點(diǎn)，所以MD∥AN.又因?yàn)锳N平面PAC，MD平面PAC，所以MD∥平面PAC.(2)在△ABC中，CA＝CB，M是AB的中點(diǎn)，所以AB⊥MC.又因?yàn)锳B⊥PC，PC平面PMC，MC平面PMC，PC∩MC＝C，所以AB⊥平面PMC.又因?yàn)锳B平面ABN，所以平面ABN⊥平面PMC.

6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

題型3直線與平面所成的角解析12．直線a與平面α所成的角為50°，直線b∥a，則直線b與平面α所成的角等于()A．40°B．50°C．90°D．150°根據(jù)兩條平行直線和同一平面所成的角相等，知b與α所成的角也是50°.

6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

B題型3直線與平面所成的角13．[山西運(yùn)城中學(xué)、芮城中學(xué)2019高二期中聯(lián)考]如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，H為EF的中點(diǎn)，沿AE，EF，F(xiàn)A將正方形折起，使B，C，D重合于點(diǎn)O，在構(gòu)成的四面體OAEF中，下列結(jié)論錯誤的是()A．AO⊥平面EOFB．直線AH與平面EOF所成角的正切值為2C．四面體OAEF的內(nèi)切球表面積為πD．異面直線OH與AE所成角的余弦值為

6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

C題型3直線與平面所成的角解析

6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

題型3直線與平面所成的角解析

6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

題型3直線與平面所成的角解析14．若斜線段AB是它在平面α上的射影長的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°斜線段、垂線段以及射影構(gòu)成直角三角形．如圖所示，∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角．因?yàn)锳B＝2BO，所以cos∠ABO＝所以∠ABO＝60°.

6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

A題型3直線與平面所成的角解析15．[福建南平2019高二期末]正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB1與平面ABC1D1所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．90°

6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

A題型4二面角解析16．給出下列命題：①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角相等或互補(bǔ)；③二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒有關(guān)系．其中正確的是()A．①③B．②④C．③④D．①②對于①，顯然混淆了平面與半平面的概念，是錯誤的；對于②，由于a，b分別垂直于兩個面，所以也垂直于二面角的棱，但由于異面直線所成的角為銳角(或直角)，所以應(yīng)是相等或互補(bǔ)，是正確的；對于③，因?yàn)樗魃渚€不一定垂直于棱，所以是錯誤的；④是正確的，故選B.

6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

B題型3直線與平面所成的角解析17．從空間一點(diǎn)P向二面角α－l－β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足．若∠EPF＝60°，則二面角的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不確定若點(diǎn)P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為120°；若點(diǎn)P在二面角外，則二面角的平面角為60°.

6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

C題型3直線與平面所成的角解析18．[山西運(yùn)城中學(xué)、芮城中學(xué)2019高二期中聯(lián)考]三棱錐V－ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2，VC＝1，則二面角V－AB－C等于()A．30°B．45°C．60°D．90°

6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

C題型3直線與平面所成的角解析19．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB與底面ABCD所成二面角C1－AB－C的大小為________．∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC為二面角C1－AB－C的平面角，大小為45°.

6.1垂直關(guān)系的判定刷基礎(chǔ)

45°解析1．一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不確定由直線與平面垂直的判定定理，知已知直線與三角形所在的平面垂直．由直線與平面垂直的定義，知已知直線與三角形的第三邊垂直．

6.1垂直關(guān)系的判定刷提升

B解析2．[山西芮城2019高二期末]已知三個不同的平面α，β，γ，兩條不同的直線m，n，則下列命題正確的是()A．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βB．若m⊥α，n⊥β，mγ，nγ則α⊥βC．若m∥α，n∥β，mγ，nγ，則α，β平行或相交D．若m∥α，n∥α，α⊥β，則m∥β，n∥β在A中，若α⊥γ，β⊥γ，則α與β相交或平行，故A錯誤；在B中，若m⊥α，n⊥β，mγ，nγ，則α與β相交或平行，故B錯誤；在C中，若m∥α，n∥β，mγ，nγ，則α，β平行或相交，故C正確；在D中，若m∥α，n∥α，α⊥β，則m與β相交、平行或mβ，n與β相交、平行或nβ，故D錯誤．故選C.

6.1垂直關(guān)系的判定刷提升

C解析3．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，則有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.

6.1垂直關(guān)系的判定刷提升

D解析4．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點(diǎn)(含邊界)，若動點(diǎn)P始終滿足PE⊥BD1，則動點(diǎn)P的軌跡是()A．直線B．線段C．圓的一部分D．橢圓的一部分分別取BC，BB1的中點(diǎn)F，G.連接EF，F(xiàn)G，EG.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，易證BD1⊥平面EFG.所以點(diǎn)P在平面EFG內(nèi)，又點(diǎn)P在側(cè)面BB1C1C及其邊界上運(yùn)動，所以點(diǎn)P的軌跡為平面EFG與平面BCC1B1的交線段FG.故選B.

6.1垂直關(guān)系的判定刷提升

B解析5．已知P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA，PB，PC兩兩垂直，且P在△ABC所在平面內(nèi)的射影O在△ABC內(nèi)，則O一定是△ABC的()A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心連接AO并延長，交BC于D，連接BO并延長，交AC于E.因?yàn)镻A⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC，故PA⊥BC.因?yàn)镻O⊥平面ABC，所以PO⊥BC.因?yàn)镻A∩PO＝P，所以BC⊥平面PAO，故AO⊥BC，即AD⊥BC.同理可得BE⊥AC，故O是△ABC的垂心．故選C.

6.1垂直關(guān)系的判定刷提升

C解析6．[遼寧沈陽東北育才學(xué)校2019高二第二次月考]邊長為1的正方形ABCD，將△ABC沿對角線AC折起，使△ABD為正三角形，則直線BD和平面ABC所成的角的大小為()A．90°B．60°C．45°D．30°取AC的中點(diǎn)O，連接BO，DO.由題意得AC⊥BO，AC⊥DO，∴AC⊥平面DOB.∵正方形的邊長為1，∴OB＝OD＝OC＝.∵△ABD為正三角形，AB＝AD＝DB＝1，∴OD2＋OB2＝BD2，∴OD⊥OB.又∵OB∩AC＝O，∴OD⊥平面ABC.∴∠DBO是直線BD和平面ABC所成的角，為45°.故選C.

6.1垂直關(guān)系的判定刷提升

C解析7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E為DC邊的中點(diǎn)，沿AE將△ADE折起，在折起過程中，下列結(jié)論可能正確的有()①ED⊥平面ACD；②CD⊥平面BED；③BD⊥平面ACD；④AD⊥平面BED.A．1個B．2個C．3個D．4個∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E為DC邊的中點(diǎn)，∴在折起過程中，D點(diǎn)在平面BCE上的投影為線段O1O2，如圖．∵DE與AC所成角不能為直角，∴DE不會垂直于平面ACD，故①錯誤；只有D點(diǎn)投影位于O2點(diǎn)時，即平面AED與平面AEB重合時，才有BE⊥CD，此時CD不垂直于平面ABCE，故CD與平面BED不垂直，故②錯誤；BD與AC所成角不能為直角，∴BD不能垂直于平面ACD，故③錯誤；∵AD⊥ED，并且在折起過程中，有AD⊥BC，∴存在一個位置使AD⊥BE，∴在折起過程中AD⊥平面BED，故④正確．故選A.

6.1垂直關(guān)系的判定刷提升

A解析8．[山東淄博一中2019高一月考]如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝CC1，點(diǎn)D，O分別是AB，BC1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯誤的是()A．AC1與平面ABC所成的角為60°B．AC1∥平面CDB1C．AC1與BB1所成的角為45°D．AC1∥OD

6.1垂直關(guān)系的判定刷提升

A解析9．四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.在平面PAB，平面PBC，平面PCD，平面PDA和平面ABCD中，互相垂直的平面一共有________對．互相垂直的平面有平面PAB和平面ABCD，平面PBC和平面PAB，平面PCD和平面PDA，平面PDA和平面ABCD，平面PAB和平面PDA，共5對．尋找時以線面垂直為途徑．

6.1垂直關(guān)系的判定刷提升

5解析10．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為A1B1的中點(diǎn)，則AE與平面ABC1D1所成角的正弦值為________．

6.1垂直關(guān)系的判定刷提升

解析11．如圖，P是二面角α－AB－β的棱AB上一點(diǎn)，分別在α，β上引射線PM，PN，截PM＝PN.若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，則二面角α－AB－β的大小是________．在α內(nèi)過點(diǎn)M作MO⊥AB于點(diǎn)O，連接NO，設(shè)PM＝PN＝a.∵∠BPM＝∠BPN＝45°，∴△OPM≌△OPN，∴NO⊥AB，MO＝NO.∴∠MON為二面角α－AB－β的平面角．連接MN.∵∠MPN＝60°，∴MN＝a.又∵M(jìn)O＝NO＝a，∴MO2＋NO2＝MN2，∴∠MON＝90°.

6.1垂直關(guān)系的判定刷提升

90°解析12．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，若A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成的角的正弦值等于________．

6.1垂直關(guān)系的判定刷提升

易錯點(diǎn)對線面、面面垂直的判定定理理解不到位致誤解析13.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，過點(diǎn)A作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)H，有下面三個結(jié)論：①點(diǎn)H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③直線AC1與直線B1C所成的角是90°.其中正確結(jié)論的序號是________．①②③6.1垂直關(guān)系的判定刷易錯

易錯點(diǎn)對線面、面面垂直的判定定理理解不到位致誤解析14.如圖，點(diǎn)P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對角線BC1上運(yùn)動，則下面四個結(jié)論：①三棱錐A－D1PC的體積不變；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正確結(jié)論的序號是________．(寫出所有你認(rèn)為正確結(jié)論的序號)①②④

6.1垂直關(guān)系的判定刷易錯

易錯點(diǎn)對線面、面面垂直的判定定理理解不到位致誤解析14.如圖，點(diǎn)P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對角線BC1上運(yùn)動，則下面四個結(jié)論：①三棱錐A－D1PC的體積不變；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正確結(jié)論的序號是________．(寫出所有你認(rèn)為正確結(jié)論的序號)①②④6.1垂直關(guān)系的判定刷易錯

題型1線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用解析1．若直線a⊥直線b，且a⊥平面α，則()A．b⊥αB．bαC．b∥αD．b∥α或bα若直線a⊥直線b，且a⊥平面α，則b∥α或bα，故選D.D6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷基礎(chǔ)

題型1線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用解析2．[安徽黃山2019高一期中]如圖，在正四棱錐S－ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在側(cè)面△SCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動，并且總是保持PE⊥AC.則動點(diǎn)P的軌跡與△SCD組成的相關(guān)圖形是()

ABCD連接BD交AC于O，連接SO，則SO⊥底面ABCD，取CD中點(diǎn)F，連接EF，則AC⊥EF，又∵AC⊥BD，SO⊥AC，SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SOB，∴AC⊥SB.取SC中點(diǎn)Q，連接EQ，F(xiàn)Q，∴EQ∥SB，∴AC⊥EQ，又AC⊥EF，EQ∩EF＝E，∴AC⊥平面EQF，∴點(diǎn)P在FQ上移動時，總有AC⊥EP.故選A.A6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷基礎(chǔ)

題型1線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用解析3．[內(nèi)蒙古包頭2018第一次模擬考試]在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，有下列四個結(jié)論：①A1E⊥DC；②A1E⊥AC；③A1E⊥BD；④A1E⊥BC1.其中正確結(jié)論的序號是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號)

④6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷基礎(chǔ)

題型1線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用解析4．若a，b表示兩條不同的直線，α表示平面，下列結(jié)論中正確的個數(shù)為________．①a⊥α，b∥αa⊥b；②a⊥α，a⊥bb∥α；③a∥α，a⊥bb⊥α；④a⊥α，b⊥αa∥b.由線面垂直的性質(zhì)知①④正確．26.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷基礎(chǔ)

題型2面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用解析5．已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥nC6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷基礎(chǔ)

題型2面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用解析6．已知直線m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，nα，要使n⊥β，則應(yīng)增加的條件是()A．m∥nB．n⊥mC．n∥αD．n⊥α

B6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷基礎(chǔ)

題型2面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用解析7．若平面α⊥平面β，且平面α內(nèi)的一條直線a垂直于平面β內(nèi)的一條直線b，則()A．直線a必垂直于平面βB．直線b必垂直于平面αC．直線a不一定垂直于平面βD．過a的平面與過b的平面垂直C6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷基礎(chǔ)

題型2面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用解析8．設(shè)α，β是兩個不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是()A．若l⊥α，α⊥β，則lβB．若l∥α，α∥β，則lβC．若l⊥α，α∥β，則l⊥βD．若l∥α，α⊥β，則l⊥βD6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷基礎(chǔ)

題型2面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用解析9．已知長方體ABCD－A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一點(diǎn)M，作ME⊥AB于點(diǎn)E，則()A．ME⊥平面ABCDB．ME平面ABCDC．ME∥平面ABCDD．以上都有可能A6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷基礎(chǔ)

題型2面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用解析10．如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部A6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷基礎(chǔ)

題型3平行、垂直關(guān)系的綜合問題解析11．如果直線l，m與平面α，β，γ滿足l＝β∩γ，l∥α，mα，m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ和l⊥mB．α∥γ和m∥βC．m∥β且l⊥mD．α∥β和α⊥γA6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷基礎(chǔ)

題型3平行、垂直關(guān)系的綜合問題解析12．設(shè)a，b是互不垂直的兩條異面直線，則下列命題成立的是()A．存在唯一直線l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一直線l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一平面α，使得aα，且b∥αD．存在唯一平面α，使得aα，且b⊥α過直線a上任意一點(diǎn)P，作b的平行線c，由a，c相交確定一個平面α.直線l只需垂直于平面α，就會與b垂直，這樣的直線有無數(shù)條，故A錯誤．根據(jù)兩條直線所成角的定義知不存這樣的直線l，排除B.根據(jù)線面垂直的概念，排除D.所以選C.C6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷基礎(chǔ)

題型3平行、垂直關(guān)系的綜合問題解析13．[湖北沙市中學(xué)2019高二期末]已知兩條不同的直線l，m和兩個不同的平面α，β，有如下命題：①若lα，mα，l∥β，m∥β，則α∥β；②若lα，l∥β，α∩β＝m，則l∥m；③若α⊥β，l⊥β，則lα.其中正確的命題個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3

B6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷基礎(chǔ)

題型3平行、垂直關(guān)系的綜合問題解析14．[河南洛陽2019高一期末]給出以下命題(其中a，b，l是空間中不同的直線，α，β是空間中不同的平面)：①若a∥b，bα，則a∥α；②若a⊥b，b⊥α，則a∥α；③若α⊥β，lα，則l⊥β；④若l⊥a，l⊥b，aα，bα，則l⊥α.其中正確命題的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3對于①，若a∥b，bα，則有可能aα，故①不正確；對于②，若a⊥b，b⊥α，則可能aα，故②不正確；對于③，若α⊥β，lα，則l可能與β平行、相交或垂直，故③不正確；對于④，缺少a，b相交的條件，故不能得到l⊥α，故④不正確．故正確命題的個數(shù)為0，故選A.A6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷基礎(chǔ)

解析1．[福建寧德高中2019高一質(zhì)檢]設(shè)平面α∩平面β＝l，點(diǎn)A，B∈α，點(diǎn)C∈β，且A，B，C均不在直線l上，給出四個命題：其中正確的命題是()A．①②B．②③C．①③D．②④①不正確，∵l⊥AB，l⊥AC時，平面α與平面β的夾角不一定為90°；②正確，∵l⊥AC，l⊥BC，AC∩BC＝C，∴l(xiāng)⊥平面ABC，∴α⊥平面ABC；③不正確，當(dāng)AB∥l時，l不垂直于平面ABC；④正確，∵AB∥l，且A，B，C均不在直線l上，∴l(xiāng)∥平面ABC.故選D.D6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷提升

解析2．[北京豐臺區(qū)2019高一月考]如圖，設(shè)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，則平面PAB與平面PBC、平面PAD的位置關(guān)系是()A．平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直B．它們兩兩都垂直C．平面PAB與平面PBC垂直、與平面PAD不垂直D．平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直∵P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.∵BC平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.∵P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，∵AD⊥AB，AB∩PA＝A，∴AD⊥平面PAB，∵AD平面PAD，∴平面PAB⊥平面PAD.故選A.A6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷提升

解析3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，直線l過點(diǎn)A且垂直于平面ABC，動點(diǎn)P∈l，當(dāng)點(diǎn)P逐漸遠(yuǎn)離點(diǎn)A時，∠PCB的大小()A．變大B．變小C．不變D．有時變大有時變小∵直線l⊥平面ABC，∴l(xiāng)⊥BC.又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵AP∩AC＝A，∴BC⊥平面APC，∴BC⊥PC，即∠PCB為直角，與點(diǎn)P的位置無關(guān)，故選C.C6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷提升

解析4．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成三棱錐A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，三棱錐A－BCD中，下列結(jié)論正確的是()A．AC⊥BDB．∠BAC＝90°C．CA與平面ABD所成的角為30°D．三棱錐A－BCD的體積為

B6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷提升

解析5．[山東濰坊2018統(tǒng)考]如圖①所示，正三角形ABC中，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)．現(xiàn)將△ACD沿CD折起，使平面ACD⊥平面BCD(如圖②)，則下列結(jié)論中不正確的是()A．AB∥平面DEFB．CD⊥平面ABDC．EF⊥平面ACDD．VC－ABD＝4VC－DEF在折疊后的△ABC中，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)，故EF∥AB.因?yàn)锳B平面DEF，EF平面DEF，所以AB∥平面DEF，故A正確．在△ABC中，CD是AB邊上的高，故折疊后，CD⊥AD，CD⊥BD.又因?yàn)锳D，BD平面ABD，AD∩BD＝D，故CD⊥平面ABD，故B正確．由CD⊥平面ABD，平面ACD⊥平面BCD，D為AB邊的中點(diǎn)，故△ADB為等腰直角三角形，∠BAD即為BA與平面ACD的夾角，故BA與平面ACD的夾角為45°.由EF∥AB，可得EF與平面ACD的夾角為45°，故C錯誤．VC－ABD＝VA－BCD，VC－DEF＝VE－CDF，兩個棱錐的底面積和高之比均為2∶1，故體積之比為4∶1，故VC－ABD＝4VC－DEF，故D正確．故選C.C6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷提升

解析6．[河北衡水中學(xué)2019一模]如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA＝AB＝2，∠BPC＝θ，則當(dāng)△AEF的面積為時，tanθ的值為()D6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷提升

解析7．如圖，若邊長為4和3與邊長為4和2的兩個矩形所在的平面互相垂直，則cosα∶cosβ＝________．

6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷提升

解析8．如圖，四面體P－ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，則PC＝________．取AB的中點(diǎn)E，連接PE，EC.因?yàn)椤螦CB＝90°，AC＝8，BC＝6，所以AB＝10，所以CE＝5.因?yàn)镻A＝PB＝13，E是AB的中點(diǎn)，所以PE⊥AB,PE＝12.因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以PE⊥平面ABC.因?yàn)镃E平面ABC，所以PE⊥CE.在Rt△PEC中，136.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷提升

解析

6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)刷提升

①③易錯點(diǎn)線面垂直的性質(zhì)應(yīng)用不當(dāng)致誤解析10．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，則()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線與l垂直D．α與β相交，且交線與l平行若α∥β，則由m⊥平面α，n⊥平面β，可得m∥n,這與m，n是異面直線矛盾，故α與β相交．設(shè)α∩β＝a，過空間內(nèi)一點(diǎn)P，作m′∥m，n′∥n，則m′與n′相交，m′與n′確定的平面為γ.因?yàn)閘⊥m，l⊥n，所以l⊥m′，l⊥n′，所以l⊥γ.因?yàn)閙⊥平面α，n⊥平面β，所以m′⊥平面α，n′⊥平面β，所以a⊥m′，a⊥n′，所以a⊥γ.又因?yàn)閘α，lβ，所以l與a不重合．所以l∥a.綜上知，選D.D6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)

刷易錯

易錯點(diǎn)線面垂直的性質(zhì)應(yīng)用不當(dāng)致誤證明11．如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)．求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA平面PAD，PA⊥AD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中點(diǎn)，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四邊形ABED為平行四邊形．∴BE∥AD.又∵BE平面PAD，AD平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，四邊形ABED為平行四邊形，∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥PD.∵E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，∴PD∥EF，∴CD⊥EF.∵CD⊥BE，EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.∵CD平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.

6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)

刷易錯

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