統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)二輪專項(xiàng)分層特訓(xùn)卷四熱點(diǎn)問題專練熱點(diǎn)八平面向量理

熱點(diǎn)(八)平面對(duì)量1．(平面對(duì)量基本定理)設(shè)D為△ABC的邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，則()A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))2．(向量共線的坐標(biāo)表示)已知向量a＝(4，2)，向量b＝(x，3)，且a∥b，則x＝()A．9B．6C．5D．33．(平面對(duì)量的應(yīng)用)長(zhǎng)江兩岸之間沒有大橋的地方，經(jīng)常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸．如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)動(dòng)身，以5km/h的速度沿eq\o(AD,\s\up6(→))方向行駛，到達(dá)對(duì)岸C點(diǎn)，且AC與江岸AB垂直，同時(shí)江水的速度為向東3km/h，則該船實(shí)際行駛的速度大小為()A．2km/hB．eq\r(34)km/hC．4km/hD．8km/h4．[2024·長(zhǎng)春市質(zhì)量檢測(cè)(三)](平面對(duì)量的模)已知向量a，b滿意|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(2，1)，則|2a－b|＝()A．eq\r(15)B．eq\r(17)C．2eq\r(2)D．2eq\r(5)5．(平面對(duì)量平行問題)若向量a＝(4，2)，b＝(6，k)，則a∥b的充要條件是()A．k＝－12B．k＝12C．k＝－3D．k＝36．[2024·廣東省湛江市高三調(diào)研測(cè)試題](平面對(duì)量垂直問題)已知向量a＝(1，2)，向量b＝(2，－2)，a＋kb與a－b垂直，則k＝()A．2B．eq\f(10,7)C．eq\f(1,2)D．eq\f(7,10)7．[2024·廣西南寧三校聯(lián)考](平面對(duì)量的投影)已知向量a，b滿意|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，且a⊥(a＋2b)，則b在a方向上的投影為()A．－eq\f(1,2)B．－1C．eq\f(1,2)D．18．(平面對(duì)量的夾角)設(shè)平面對(duì)量a＝(－2，1)，b＝(λ，2)，若a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)B．(－∞，－4)∪(－4，1)C．(1，＋∞)D．(－∞，1)9．[2024·四川省閬中中學(xué)高三月考](平面對(duì)量的數(shù)量積)已知在四邊形ABCD中，AB⊥AD，CD＝1，eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，E是BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝()A．eq\f(3,2)B．2C．3D．410．(數(shù)量積的應(yīng)用)在△ABC中，設(shè)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過△ABC的()A．垂心B．內(nèi)心C．重心D．外心11．(平面對(duì)量與數(shù)列綜合)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若點(diǎn)A，B，C，O滿意：①eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))(λ≠0)；②A，B，O確定一個(gè)平面；③eq\o(OB,\s\up6(→))＝a3eq\o(OA,\s\up6(→))＋a98eq\o(OC,\s\up6(→)).則S100＝()A．29B．40C．45D．5012．[2024·湖北省隨州市聯(lián)考](平面對(duì)量的數(shù)量積)設(shè)A、B、C是半徑為1的圓上三點(diǎn)，若AB＝eq\r(2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的最大值為()A．3＋eq\r(3)B．eq\f(3,2)＋eq\r(3)C．1＋eq\r(2)D．eq\r(2)[答題區(qū)]題號(hào)123456789101112答案13.[2024·合肥市其次次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)](平面對(duì)量的模)已知向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a∥b，則|a－b|＝________．14．(向量的夾角)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，x)，a＋b與a垂直，設(shè)a與b的夾角為α，則cosα＝________．15．(平面對(duì)量在物理中的應(yīng)用)在平面直角坐標(biāo)系中，力F＝(2，3)作用于一物體，使該物體從點(diǎn)A(2，0)移動(dòng)到點(diǎn)B(4，0)，則力F對(duì)物體做的功為________．16．[2024·河南省鄭州市模擬](平面對(duì)量的數(shù)量積)已知P為邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)))的最小值為________．熱點(diǎn)（八）平面對(duì)量1．Ceq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)（eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))）＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選C.2．B因?yàn)橄蛄縜＝（4，2），向量b＝（x，3）且a∥b，所以4×3＝2x，x＝6，故選B.3．C（以下解析中速度按向量處理）不妨設(shè)該船經(jīng)過1h到達(dá)點(diǎn)C，由題意畫出向量圖如圖所示，則eq\o(AD,\s\up6(→))為船速，eq\o(AB,\s\up6(→))為水速，eq\o(AC,\s\up6(→))為該船實(shí)際行駛的速度，易知|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4.故選C.4．C方法一由題意，得|a－b|2＝22＋12＝5，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝5－2a·b＝5，所以a·b＝0，所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，所以|2a－b|＝2eq\r(2)，故選C.方法二設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b.由題意，得|a－b|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，所以|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|2，所以O(shè)A⊥OB，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，即a·b＝0，所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，所以|2a－b|＝2eq\r(2)，故選C.5．D因?yàn)橄蛄縜＝（4，2），b＝（6，k），若a∥b，則4k－2×6＝0，解得k＝3，即a∥b?k＝3；反之，若k＝3，則a＝（4，2），b＝（6，3），所以a＝eq\f(2,3)b，所以a∥b，即k＝3?a∥b.故選D.6．D因?yàn)橄蛄縜＝（1，2），向量b＝（2，－2），所以a2＝5，b2＝8，a·b＝－2，又a＋kb與a－b垂直，所以（a＋kb）·（a－b）＝a2－kb2＋（k－1）a·b＝5－8k－2（k－1）＝7－10k＝0，所以k＝eq\f(7,10)，故選D.7．B因?yàn)閍⊥（a＋2b），a·（a＋2b）＝a2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，a·b＝－2，所以b在a方向上的投影為eq\f(a·b,|a|)＝eq\f(－2,2)＝－1.故選B.8．B方法一因?yàn)閍與b的夾角為銳角，所以cos〈a，b〉∈（0，1）.又向量a＝（－2，1），b＝（λ，2），所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－2λ＋2,\r(5)·\r(λ2＋4))∈（0，1），整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2λ＋2>0，,λ2＋8λ＋16>0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ<1，,λ≠－4，))所以λ的取值范圍為（－∞，－4）∪（－4，1）.故選B.方法二因?yàn)閍與b的夾角為銳角，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·b>0，,a，b不共線．))又向量a＝（－2，1），b＝（λ，2），所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2λ＋2>0，,\f(λ,－2)≠\f(2,1)，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ<1，,λ≠－4，))所以λ的取值范圍為（－∞，－4）∪（－4，1）.故選B.9．C四邊形ABCD如圖：因?yàn)锳B⊥AD，eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，所以四邊形ABCD是直角梯形，由CD＝1，eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，可得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2.E是BC的中點(diǎn)，過E作EF⊥AB于F，則|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2)，可得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AE,\s\up6(→))|cos∠EAB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝2×eq\f(3,2)＝3.故選C.10．D|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝（eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))）·（eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))）＝（eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))）·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))·（eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→))）＝0?eq\o(BC,\s\up6(→))·（eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))）＝eq\o(BC,\s\up6(→))·（eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))）＝0，設(shè)E為BC的中點(diǎn)，則eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝2eq\o(ME,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))·2eq\o(ME,\s\up6(→))＝0?eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(ME,\s\up6(→))?ME為BC的垂直平分線，∴M的軌跡必過△ABC的外心，故選D.11．D通解因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))（λ≠0），所以A，B，C三點(diǎn)共線．又A，B，O確定一個(gè)平面，即A，B，O不共線，所以A，C，O不共線，即eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不共線．由eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))（λ≠0），得eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ（eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))），當(dāng)λ≠－1時(shí)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,1＋λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(λ,1＋λ)eq\o(OC,\s\up6(→))，當(dāng)λ＝－1時(shí)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))（舍去）.因?yàn)閑q\o(OB,\s\up6(→))＝a3eq\o(OA,\s\up6(→))＋a98eq\o(OC,\s\up6(→))，所以a3＝eq\f(1,1＋λ)，a98＝eq\f(λ,1＋λ)，則a3＋a98＝1，又?jǐn)?shù)列{an}為等差數(shù)列，所以a1＋a100＝a3＋a98＝1，所以S100＝eq\f(（a1＋a100）×100,2)＝50.故選D.優(yōu)解由eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))（λ≠0），得A，B，C三點(diǎn)共線，又A，B，O確定一個(gè)平面，所以A，B，C，O四點(diǎn)共面．依據(jù)eq\o(OB,\s\up6(→))＝a3eq\o(OA,\s\up6(→))＋a98eq\o(OC,\s\up6(→))，得a3＋a98＝1，因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，所以a1＋a100＝a3＋a98＝1，所以S100＝eq\f(（a1＋a100）×100,2)＝50，故選D.12．C設(shè)圓心為點(diǎn)O，則OA＝OB＝1，∵AB＝eq\r(2)，∴AB2＝OA2＋OB2，則OA⊥OB，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝（eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))）·（eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))）＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))2＝（eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))）·eq\o(OC,\s\up6(→))＋1＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＋1＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(OC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＋1≤eq\r(2)＋1，當(dāng)且僅當(dāng)eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))方向相同時(shí)取等號(hào)．13．答案：eq\f(3\r(5),2)解析：由a∥b，a＝（x，1），b＝（1，－2），可得－2x＝1，解得x＝－eq\f(1,2)，所以a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，進(jìn)而得到a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))，則|a－b|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))\s\up12(2)＋32)＝eq\f(3\r(5),2).14．答案：－1解析：a＋b＝（0，2＋x），依據(jù)題意有0＋2×（2＋x）＝0，解得x＝－2，所以cosα＝eq\f(a·b,|a