2022-2023學(xué)年福建省福州某中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年福建省福州高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期9月月考數(shù)

學(xué)試題

一、單項(xiàng)選擇題

1.如圖，在正六邊形ABCDEF中,與向量而相等的向量是0

A.BCB.EDC.AFD.CD

【答案】B

【分析】由相等向量的定義可知.

【詳解】由圖可知六邊形ABCCEF是正六邊形,所以瓦AAB,與而方向相同的只有加;

而配，而，而與而長(zhǎng)度相等，方向不同，所以選項(xiàng)A,C,D,均錯(cuò)誤；

應(yīng)選：B

2.點(diǎn)A(l,3)1(4,-1),那么與而同方向的單位向量為

433443

一，----一,一

5551555

【答案】A

【詳解】試題分析：而=(4-1,-1-3)=(3,-4),所以與福同方向的單位向量為

-福1”八，34、

"而[=不')=q一7’應(yīng)選兒

【解析】向量運(yùn)算及相關(guān)概念.

3.向量1=(X+2/+X),5=(X—2』—X).假設(shè)那么()

A.』二2B.\x\=2C.X2=3D.|x|=3

【答案】A

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示列方程求解即可.

【詳解】解：5=(X+2,14-X),6=(x-2,l-x).

5+2)[1-x)-(\+x)(x-2)=0,

:.-2AT+4=0,jr=2.

應(yīng)選：A.

4.如圖，在中，M為BC的中點(diǎn)，AC=mAM+nBD^那么加+〃=()

45

A.1B.-C.-D.2

33

【答案】C

【分析】利用向量的線性運(yùn)算可求也〃的值.

【詳解】AM=AB+^BC^AB+^AD,^\BD=AD-AB，

1

故+—=(小一與+

2

4

tn-n=\m=—

______,UUUUUlfl35

而恁=麗+而且43,AD不共線，故{:",=>{

—+〃=113

2n=—

3

應(yīng)選：C.

5.向量公是非零向量，B是單位向量，4的夾角為120,且￡“日+可,那么B卜。

?歷

A.3B.\C.1D.2

22

【答案】A

【分析】由￡“￡+可，可得￡刊+與=0,化簡(jiǎn)后可求出內(nèi)

【詳解】因?yàn)檗kR+B),

所以￡化+%0,即？+"=0，

因?yàn)椋菔菃挝幌蛄?的夾角為120,

所以|4『一字〃|=0,

因?yàn)橄蛄?是非零向量，

所以0=；,

應(yīng)選：A

6.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,2),那么色=()

Z—1

A.—2—2iB.1—iC.2+2iD.1—2i

【答案】D

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解即可.

【詳解】由題意得z=—l+2i,

l+3i(l+3i)(-l-i)2-4i

所以z-i-(-l+i)(-l-i)-2

應(yīng)選：D.

7.體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，那么該球面的外表積為

32

A.12乃B.一nC.87rD.44

3

【答案】A

【詳解】試題分析：因?yàn)檎襟w的體積為8,所以棱長(zhǎng)為2,所以正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)

為2月，所以正方體的外接球的半徑為石，所以該球的外表積為4萬(wàn)?（百）2=12萬(wàn)，應(yīng)

選A.

【解析】正方體的性質(zhì)，球的外表積

【名師點(diǎn)睛】與棱長(zhǎng)為。的正方體相關(guān)的球有三個(gè)：外接球、內(nèi)切球和與各條棱都相

切的球，其半徑分別為叵、￡和叵.

8.加，”是兩條不同的直線，6,7是三個(gè)不同的平面，那么以下命題正確的選項(xiàng)是

A.假設(shè)機(jī)〃a,〃//a,那么

B.假設(shè)那么a///

C.假設(shè)小〃a,"〃a,且/nu/7,〃u戶,那么a〃夕

D.假設(shè)機(jī)_La,”_L￡,且a_L/?,那么切_L〃

【答案】D

【分析】根據(jù)空間中直線和平面的位置關(guān)系分別去判斷各個(gè)選項(xiàng)，A民C均可舉出反例;

。可證明得出.

【詳解】假設(shè)加/a，n!la,那么相〃"或m與"異面或機(jī)與"相交，應(yīng)選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

假設(shè)aly,,那么a與夕可能相交，應(yīng)選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

假設(shè)直線〃〃不相交，那么平面a，力不一定平行，應(yīng)選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

Qa_L￡,m，aI?；騮nu。,又〃_L￡.?.加，應(yīng)選項(xiàng)。正確.

此題正確選項(xiàng)：D

【點(diǎn)睛】此題考查空間中直線、平面之間位置關(guān)系有關(guān)命題的判斷，考查學(xué)生的空間想

象能力和對(duì)定理的掌握程度.

二、多項(xiàng)選擇題

9.在AABC中，a=6,6=3夜，5=30,那么角A的值可能為0

A.45B.60C.135。D.150

【答案】AC

【分析】根據(jù)正弦定理求出sin4,根據(jù)〃>萬(wàn)可得A=45°或A=135.

b竺1金,

【詳解】由正弦定理得，得sinA=asinB

sinAsinBh3近2

因?yàn)?<A<180,且a>/>,所以A=45°或A=135.

應(yīng)選：AC.

10.對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+6i（a/GR）,以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（）

A.假設(shè)b=0,那么a+歷為實(shí)數(shù)

B.假設(shè)a=0,那么a+萬(wàn)為純虛數(shù)

C.假設(shè)國(guó)=1,那么z=±l或z=±i

D.假設(shè)忖41,那么點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為"

【答案】AD

【分析】對(duì)A,根據(jù)實(shí)數(shù)的定義分析即可；

對(duì)BC,舉反例判斷即可；

對(duì)D,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可

【詳解】對(duì)A,那么假設(shè)6=0,那么a+>i=a為實(shí)數(shù)，故A正確；

對(duì)B,假設(shè)。=0,〃=0那么〃+歷為0為實(shí)數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,如[+[i=l,故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,假設(shè)回41,那么點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形為以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓

內(nèi)，其面積為乃，故D正確；

應(yīng)選：AD

11.以下命題中正確的選項(xiàng)是0

A.假設(shè)直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么直線在平面內(nèi)

B.如果兩條異面直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條直線一定與該平面相交

C.假設(shè)直線/與平面a平行，那么/與平面a內(nèi)的直線平行或異面

D.假設(shè)平面a〃平面￡,直線aua,直線buQ,那么a//b

【答案】AC

【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一分析即可.

【詳解】解：對(duì)于A：由公理1可知，假設(shè)直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么直線在平面

內(nèi)，故A正確；

對(duì)于B：如果兩條異面直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條直線與該平面平行或

相交或在平面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：假設(shè)直線/與平面a平行，那么/與平面a內(nèi)的直線平行或異面，故C正確；

對(duì)于D：假設(shè)平面c〃平面/，直線“ua,那么?！ㄆ矫嫦?又直線bu/,那么直線

或“與匕異面，故D錯(cuò)誤.

應(yīng)選：AC

12.某工廠生產(chǎn)出一種機(jī)械零件，如下圖零件的幾何結(jié)構(gòu)為圓臺(tái)。。-在軸截面ABCC

中，AB=AD=BC=4cm,CD=2AB,那么以下說(shuō)法正確的有（）

A.該圓臺(tái)的高為Gem

B.該圓臺(tái)軸截面面積為12j8cn?

C.該圓臺(tái)的體積為變叵CD?

3

D.一只螞蟻從點(diǎn)C沿著該圓臺(tái)的側(cè)面爬行到AO的中點(diǎn)，所經(jīng)過(guò)的最短路程為10cm

【答案】BCD

【分析】由勾股定理即可求得圓臺(tái)的高，即可判斷A選項(xiàng)；由梯形面積公式即可判斷B

選項(xiàng)；由圓臺(tái)體積公式即可判斷C選項(xiàng)；由圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖結(jié)合勾股定理即可判斷D

那么圓臺(tái)的高為2?cm,A錯(cuò)誤；

圓臺(tái)的軸截面面積為J（4+8）x2g=12^5?,B正確；

圓臺(tái)的體積為丫=:兀（4+16+8"2百=冬『70：0?,C正確；

將圓臺(tái)一半側(cè)面展開(kāi)，如圖中ABC。，設(shè)P為AO中點(diǎn)，圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐一半側(cè)面展開(kāi)

為扇形COD,由圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長(zhǎng)為8cm,底面半徑為4cm,側(cè)面

2兀.4

展開(kāi)圖的圓心角為。=一一=兀，連接CP,可得NCOP=90。，OC=8,0P=4+2=6,

o

那么％=病次=10,所以沿著該圓臺(tái)外表從點(diǎn)c到中點(diǎn)的最短距離為10cm,

故D正確.

應(yīng)選：BCD.

三、填空題

13.假設(shè)復(fù)數(shù)z=f〔i是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)機(jī)的值為_(kāi)____.

2+，

【答案】2

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法那么和純虛數(shù)的定義即可得出.

\—mi(1-mi)(2-i)2-m-(2m+l)z2-m2m+\.曰”士,以

【詳解】解：?.?復(fù)數(shù)z=---=-------=---------=--------1是純虛數(shù),

2+i(2+i)(2-i)555

*=0

c5,解得加=2，

+1人

-----H0

5

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】此題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法那么以及純虛數(shù)的定義，屬于根底題.

14.在AA6C中，4=60。,a=3,6=瘋那么3=

【答案】45°

【分析】根據(jù)正弦定理，代入計(jì)算即可.

【詳解】由正弦定理可得一二=上

sinAsinB

3_76.y/2

那么近一孟i=sin亍且0。<3<180。

T

所以3=45?；?35。

且a>Z>=A>3

所以8=45°

故答案為：45。

15.假設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為2石，側(cè)面展開(kāi)圖的面積為67，那么該圓錐的體積是

【答案】3兀

【分析】求出圓錐的底面圓半徑，再求出圓錐的高和體積.

【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為"，因?yàn)槟妇€長(zhǎng)為2百，

所以側(cè)面展開(kāi)圖的面積為萬(wàn)rx2G=6萬(wàn)>

解得r=>/3,

所以圓錐的高為〃=,(26—(G)=3，

所以圓錐的體積是V=g乃x(6『x3=3;r.

故答案為：3萬(wàn).

16.向量a=(3-機(jī),2),分=(1,〃])，假設(shè)那么加=.

【答案】-3

【分析】由平面向量垂直的坐標(biāo)表示代入即可得出答案.

【詳解】解析：此題考查平面向量垂直以及數(shù)量積，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

因?yàn)?_1_石，所以3-加+2機(jī)=0,那么根=一3.

故答案為：-3.

四、解答題

17.向量a=(2,4),加=(-6,8).

(1)求“+石與￡-坂的夾角：

⑵假設(shè)向量"滿足"”￡+4,[+￡)〃人求"的坐標(biāo).

【答案】(1)邛37c

4

⑵卜,一｛|

【分析】(1)根據(jù)題意求出￡+6，￡5的坐標(biāo)及模，再利用夾角公式求解即可；

⑵設(shè)"=(x,y),根據(jù)I_L0+W,&+￡)〃),列出關(guān)于X，)’的二元一次方程組求解即可.

【詳解】⑴?.?￡=(2,4)3=(-6,8),.\￡+^=(-4,12),.3-B=(8,Y),

+=.^(-4)2+122=4A/10,

設(shè)日+,與1方的夾角為e,

4

又???。目0,可,...6=半7r；

⑵設(shè)c=(x,y),那么"+￡=(x+2,y+4),

因?yàn)閏_L(a+B),(c+a)//坂,

x=-4

-4x+12y=0

所以解得，4，

-6(y+4)-8(x+2)=0y=--

3

18.在△ABC中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為〃也c,且4=1c=>/2,cosC=一,

4

(1)求sinA的值

⑵求瓦的值

【答案】(1)巫;

8

(2)2.

【分析】(1)求出sinC,再由正弦定理直接求解即可;

(2)由同角三角函數(shù)根本關(guān)系及三角恒等變換求出cosB,再由余弦定理求出b,由數(shù)

量積定義求解即可.

【詳解】(l)；cosC=[,；.sinC=且，

44

a=1,c=V2,

也

由正弦定理可得..asinC4后.

sinA=--------==-----

cV28

(2)?.?sinA=,a<c,「.COsA=^2L,

88

又a=l,c=6,

由余弦定理得力=Jl+2_2xlx及xcosN=2.

^^CB-CA=ahcosC=-.

2

19.復(fù)數(shù)z=/n[m+1]+(m2+m-2)i.

(1)假設(shè)z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)〃?的值；

(2)假設(shè)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

【答案】(1)，*=0

⑵(0,1)

【分析】(1)根據(jù)純虛數(shù)的概念，讓實(shí)部等于零，虛部不等于零，列方程求解即可；

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，得到實(shí)部大于零，虛部小于零，

列不等式求解即可.

【詳解】(1)假設(shè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，那么I"!""?)：。解得憶=0或%=—2且〃?Hl,

m手-2,所以%=0.

(2)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，那么+解得0〈加<],故切

[加+加一2<0

的取值范圍為(0,1).

20.圓錐SO的底面半徑H=5,高4=12.

(1)求圓錐SO的母線長(zhǎng)：

(2)圓錐SO的內(nèi)接圓柱OO,的高為人，當(dāng)6為何值時(shí)，內(nèi)接圓柱00’的軸截面面積最大,

并求出最大值.

【答案】⑴13

(2)〃=6；最大值為30

【解析】(1)

?.?圓錐SO的底面半徑R=5,高回=12,

...圓錐SO的母線長(zhǎng)乙=J“2+R2=13；

(2)作出圓錐、圓柱的軸截面如下圖，

其中50=12,04=08=5,OK=h(0<h<\i).

設(shè)圓柱底面半徑為r，那么：=三?，即「/"一成.

51212

設(shè)圓柱的軸截面面積為s，=2M='(i2~2)=|[—①一ey+sekodiz).

...當(dāng)〃=6時(shí)，S'有最大值為30.

21.AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求A；

(2)假設(shè)0“+%=2c，求sinC.

【答案】(1)A=g；(2)sinC="+行.

34

【分析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式可得：b2+c2-a2=hc,從而可整理出cosA,

根據(jù)Ae(o,;r)可求得結(jié)果；(2)利用正弦定理可得?sinA+sin8=2sinC,利用

sin3=sin(4+C)、兩角和差正弦公式可得關(guān)于sinC和cosC的方程，結(jié)合同角三角函

數(shù)關(guān)系解方程可求得結(jié)果.

【詳解】[1)(sin/?-sinC)"=sin2/?-2sinBsinC+sin2C=sin27l-sinBsinC

即：sin2+sin2C-sin2A=sinBsinC

由正弦定理可得：b2+c2-a2=bc

(2)?/y[2a+b=2cf由正弦定理得：V2sinA+sinB=2sinC

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,A=y

整理可得：3sinC-V6=VicosC

解得：sinC=回史或史史

44

因?yàn)閟in3=2sinC-0sinA=2sinC——^〉0所以sinC＞如，故sinC="十、

244

(2)法二：?;yfia+b=2c,由正弦定理得：V2sin+sinB=2sinC

又sin7?=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,A=-1-

整理可得：3sinC-B=7icosC，即3sinC-石cosC=2Gsin[c-/]="

I—/八2-717171r-r-..「，冗K—7171

由(0,—-),C--6(~t所以C-TTUT,Cn7+T"

3