2024新教材高中數(shù)學(xué)第五章統(tǒng)計與概率5.1統(tǒng)計5.1.1數(shù)據(jù)的收集第3課時分層抽樣導(dǎo)學(xué)案新人教B版必修第二冊

第3課時分層抽樣(老師獨具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.通過實例，了解分層抽樣的特點和適用范圍，了解分層抽樣的必要性，駕馭各層樣本量比例安排的方法.2.在簡潔的實際情境中，能依據(jù)實際問題的特點，設(shè)計恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ń鉀Q問題．教學(xué)重點：分層抽樣的概念、分層抽樣的步驟．教學(xué)難點：恰當(dāng)選擇抽樣方法解決現(xiàn)實生活中的抽樣問題.學(xué)問點分層抽樣的概念一般地，假如相對于要考察的問題來說，總體可以分成有eq\o(□,\s\up3(01))明顯差別的、eq\o(□,\s\up3(02))互不重疊的幾部分時，每一部分可稱為eq\o(□,\s\up3(03))層，在各層中按eq\o(□,\s\up3(04))層在總體中所占比例進(jìn)行隨機抽樣的方法稱為eq\o(□,\s\up3(05))分層隨機抽樣(簡稱為分層抽樣)．1．分層抽樣的幾個要點(1)分層抽樣適用于總體數(shù)目較多，且由明顯差異的幾部分組成的狀況．(2)層內(nèi)樣本的差異要小，每層之間的樣本差異要大，分成的各層互不交叉．(3)各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例，即eq\f(n,N)，其中n為樣本容量，N為總體容量．(4)分層抽樣使樣本具有較強的代表性，而且在各層抽樣時，又可敏捷地選用不同的抽樣法．(5)在分層抽樣的過程中每個個體被抽到的可能性是相同的，與層數(shù)及分層無關(guān)．2．兩種抽樣方法的辨析1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)分層抽樣事實上是按比例抽樣．()(2)分層抽樣中每個個體被抽到的可能性不一樣．()(3)分層抽樣中不能用簡潔隨機抽樣．()答案(1)√(2)×(3)×2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)為調(diào)查某班學(xué)生的平均身高，從50名學(xué)生中抽取5名，因為男生的身高和女生的身高有顯著不同，所以獲得樣本時宜采納________抽樣．(2)一個班共有54人，其中男女人數(shù)比為5∶4，若抽取9人參與教改調(diào)查會，則應(yīng)抽取男同學(xué)________人．(3)某學(xué)校有老師132人，職工33人，學(xué)生1485人．為了解食堂狀況，擬采納分層抽樣的方法從以上人員中抽取50人進(jìn)行抽查，則在學(xué)生中應(yīng)抽取________人．答案(1)分層(2)5(3)45題型一分層抽樣的概念例1分層抽樣又稱類型抽樣，即將相像的個體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個個體構(gòu)成樣本，所以分層抽樣為保證每個個體等可能抽樣，必需進(jìn)行()A．每層等可能抽樣B．每層可以不等可能抽樣C．全部層按同一抽樣比等可能抽樣D．全部層抽取個體數(shù)量相同[解析]保證每個個體等可能地被抽取是兩種基本抽樣方式的共同特征，為了保證這一點，分層抽樣時必需在全部層都按同一抽樣比等可能抽?。甗答案]C點睛運用分層抽樣應(yīng)遵循的原則1將相像的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的每個個體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則.2分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡潔隨機抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比.eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練1])某校要從高一、高二、高三共2024名學(xué)生中選取50名組成志愿團(tuán)．若采納下面的方法選取，選用簡潔隨機抽樣的方法從2024人中剔除21人，剩下的2000人再按分層隨機抽樣的方法進(jìn)行，則每人入選的概率()A．都相等且為eq\f(50,2024) B．都相等且為eq\f(1,40)C．不會相等 D．均不相等答案A解析由于簡潔隨機抽樣和分層抽樣中，每個個體被抽到的概率都相等，因此每人入選的概率都相等．因為題中的樣本容量是50，總體容量是2024，所以每人入選的概率為eq\f(50,2024).題型二分層抽樣的應(yīng)用例2一個單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50歲及50歲以上的有95人，為了了解這個單位職工與身體狀態(tài)有關(guān)的某項指標(biāo)，要從中抽取100名職工作為樣本，職工年齡與這項指標(biāo)有關(guān)，應(yīng)當(dāng)怎樣抽??？[解]用分層抽樣來抽取樣本，步驟如下：①分層．按年齡將500名職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲的職工；50歲及50歲以上的職工．②確定每層抽取個體的數(shù)目．抽樣比為eq\f(100,500)＝eq\f(1,5)，則在不到35歲的職工中抽取125×eq\f(1,5)＝25(人)；在35歲至49歲的職工中抽取280×eq\f(1,5)＝56(人)；在50歲及50歲以上的職工中抽取95×eq\f(1,5)＝19(人)．③在各層分別按隨機數(shù)表法抽取樣本．④匯總每層抽樣，組成樣本．點睛利用分層抽樣抽取樣本的操作步驟(1)將總體按肯定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層；(2)計算抽樣比，即樣本容量與總體的個體數(shù)的比；(3)按各層的個體數(shù)與抽樣比的乘積確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；(4)在每一層進(jìn)行抽樣(可用簡潔隨機抽樣)；(5)最終將每一層抽取的樣本匯總合成樣本．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練2])交通管理部門為了解機動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規(guī)的知曉狀況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查．假設(shè)四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為()A．101 B．808C．1212 D．2012答案B解析依題意可知，甲社區(qū)駕駛員的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例為eq\f(12,12＋21＋25＋43)＝eq\f(12,101)，因此有eq\f(96,N)＝eq\f(12,101)，解得N＝808.題型三兩種抽樣方法的綜合應(yīng)用例3為了考察某校高三年級學(xué)生眼睛的視力狀況，抽查了這個學(xué)校高三年級部分學(xué)生的視力水平．為了全面地反映實際狀況，實行以下兩種方式進(jìn)行(已知該校高三年級共有14個教學(xué)班，并且每個班內(nèi)的學(xué)生都已經(jīng)按隨機方式編好了學(xué)號，假定該校每班人數(shù)都相同)．①從全年級14個班中隨意抽取一個班，再從該班中隨意抽取14人，考察他們的視力水平；②把該校高三年級的學(xué)生按成果分成優(yōu)秀、良好、一般三個級別，從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行考察(已知若按成果分，該校高三學(xué)生中優(yōu)秀學(xué)生有105名，良好學(xué)生有420名，一般學(xué)生有175名)．依據(jù)上面的敘述，試回答下列問題：(1)上面兩種抽取方式中，其總體、個體、樣本分別指什么？每一種抽取方式抽取的樣本中，其樣本容量分別是多少？(2)上面兩種抽取方式各自采納何種抽取樣本的方法？(3)試分別寫出上面兩種抽取方法各自抽取樣本的步驟．[解](1)這兩種抽取方式中，其總體都是指該校高三年級全體學(xué)生的視力水平，個體都是指高三年級每個學(xué)生的視力水平．其中第一種抽取方式中樣本為所抽取的14名學(xué)生的視力水平，樣本容量為14；其次種抽取方式中樣本為所抽取的100名學(xué)生的視力水平，樣本容量為100.(2)上面兩種抽取方式中，第一種方式采納的方法是簡潔隨機抽樣法；其次種方式采納的方法是分層抽樣法和簡潔隨機抽樣法．(3)第一種方式抽樣的步驟如下：第一步：在這14個班中用抽簽法隨意抽取一個班；其次步：從這個班中按學(xué)號用隨機數(shù)表法或抽簽法抽取14名學(xué)生，考察其視力水平．其次種方式抽樣的步驟如下：第一步：分層，因為若按成果分，其中優(yōu)秀學(xué)生共105人，良好學(xué)生共420人，一般學(xué)生共175人，所以在抽取樣本中，應(yīng)當(dāng)把全體學(xué)生分成三個層次；其次步：確定各個層次抽取的人數(shù)，因為樣本容量與總體數(shù)的比為100∶700＝1∶7，所以在每層抽取的個體數(shù)依次為eq\f(105,7)，eq\f(420,7)，eq\f(175,7)，即15,60,25；第三步：按層分別抽取，在優(yōu)秀學(xué)生中用簡潔隨機抽樣法抽取15人，在良好學(xué)生中用簡潔隨機抽樣法抽取60人，在一般學(xué)生中用簡潔隨機抽樣法抽取25人；第四步：將所抽取的個體組合在一起構(gòu)成樣本．點睛(1)簡潔隨機抽樣和分層抽樣是兩種常用的抽樣方法，在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用．(2)兩種抽樣的適用范圍不同，各自的特點也不同，但兩種方法間又有親密聯(lián)系．在應(yīng)用時要依據(jù)實際狀況選取合適的方法．(3)兩種抽樣中每個個體被抽到的可能性都是相同的．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練3])下列問題中，宜采納的抽樣方法依次為：(1)________；(2)________；(3)________．(1)從10臺電冰箱中抽取3臺進(jìn)行質(zhì)量檢查；(2)某社區(qū)有1200戶家庭，其中高收入家庭420戶，中等收入家庭470戶，低收入家庭310戶，為了調(diào)查該社區(qū)購買力的某項指標(biāo)，要從全部家庭中抽取一個容量為120的樣本；(3)某學(xué)校有160名教職工，其中老師120名，行政人員16名，后勤人員24名，為了了解教職工對學(xué)校在校務(wù)公開方面的看法，擬抽取一個容量為20的樣本．答案(1)抽簽法(2)分層抽樣(3)分層抽樣解析題號推斷緣由分析(1)抽簽法總體容量較小，宜采納抽簽法(2)分層抽樣社區(qū)中家庭收入層次明顯，宜采納分層抽樣(3)分層抽樣由于學(xué)校各類人員對這一問題的看法可能差異較大，故宜采納分層抽樣1．某校高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學(xué)生的健康狀況，從男生中隨意抽取25人，從女生中隨意抽取20人進(jìn)行調(diào)查．這種抽樣方法是()A．簡潔隨機抽樣 B．抽簽法C．隨機數(shù)表法 D．分層抽樣答案D解析從男生500人中抽取25人，從女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分層抽樣．2．在120個零件中，一級品24個，二級品36個，三級品60個，用分層抽樣的方法從中抽取容量為20的樣本，則每個個體被抽取的可能性是()A.eq\f(1,24)B.eq\f(1,36)C.eq\f(1,60)D.eq\f(1,6)答案D解析在分層抽樣中，每個個體被抽取的可能性都相等，且為eq\f(樣本容量,總體容量)，所以每個個體被抽取的可能性是eq\f(20,120)＝eq\f(1,6).3．甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，為統(tǒng)計三校學(xué)生某方面的狀況，安排采納分層抽樣法抽取一個容量為90的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生()A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人 D．30人，50人，10人答案B解析先求抽樣比為eq\f(90,3600＋5400＋1800)＝eq\f(1,120)，再各層按抽樣比分別抽取，甲校抽取3600×eq\f(1,120)＝30(人)，乙校抽取5400×eq\f(1,120)＝45(人)，丙校抽取1800×eq\f(1,120)＝15(人)．故選B.4．某高校為了解在校本科生對參與某項社會實踐活動的意向，擬采納分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查，已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6，則應(yīng)從一年級本科生中抽取________名學(xué)生．答案60解析依據(jù)題意，應(yīng)從一年級本科生中抽取的人數(shù)為eq\f(4,4＋5＋5＋6)×300＝60.5．某校500名學(xué)生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，為了探討血型與色弱的關(guān)系，需從中抽取一個容量為20的樣本．依據(jù)分層抽樣方法抽取樣本，各種血型的人分別抽多少？解依據(jù)分層抽樣方法抽樣，∵eq\f(20,500)＝eq\f(1,25)，∴200×eq\f(1,25)＝8,125×eq\f(1,25)＝5,50×eq\f(1,25)＝2.故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人．

一、選擇題1．將A，B，C三種性質(zhì)的個體按1∶2∶4的比例進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取的樣本容量為21，則A，B，C三種性質(zhì)的個體分別抽取()A．12,6,3 B．12,3,6C．3,6,12 D．3,12,6答案C解析由分層抽樣的概念，知A，B，C三種性質(zhì)的個體應(yīng)分別抽取21×eq\f(1,7)＝3,21×eq\f(2,7)＝6,21×eq\f(4,7)＝12.2．某工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2∶3∶5，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A種型號產(chǎn)品有16件，那么此樣本的容量n等于()A．60 B．70C．80 D．90答案C解析由題意知，總體中A種型號產(chǎn)品所占的比例是eq\f(2,2＋3＋5)＝eq\f(1,5)，因樣本中A種型號產(chǎn)品有16件，則eq\f(1,5)·n＝16，解得n＝80.故選C.3．某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進(jìn)行食品平安檢測．若采納分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是()A．4 B．5C．6 D．7答案C解析分層抽樣中，分層抽取時都按相同的抽樣比來抽取，本題中抽樣比為eq\f(20,40＋10＋30＋20)＝eq\f(1,5)，因此植物油類食品應(yīng)抽取10×eq\f(1,5)＝2(種)，果蔬類食品應(yīng)抽取20×eq\f(1,5)＝4(種)，因此從植物油類和果蔬類食品中抽取的種數(shù)之和為2＋4＝6.4．某校老年、中年和青年老師的人數(shù)見下表，采納分層抽樣的方法調(diào)查老師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年老師有320人，則該樣本中的老年老師人數(shù)為()類別人數(shù)老年老師900中年老師1800青年老師1600合計4300A．90 B．100C．180 D．300答案C解析設(shè)樣本中的老年老師人數(shù)為x，則eq\f(320,1600)＝eq\f(x,900)，解得x＝180.5．(多選)某工廠的一、二、三車間在12月份共生產(chǎn)了3600件產(chǎn)品，在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，確定采納分層抽樣的方法進(jìn)行抽取，若從一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為a，b，c，且滿足a＋c＝2b，則下列說法正確的是()A．一車間在12月份生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為800B．二車間在12月份生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為1200C．三車間在12月份生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為1600D．一、三車間在12月份共生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為2400答案BD解析因為2b＝a＋c，所以二車間抽取的產(chǎn)品數(shù)占抽取產(chǎn)品總數(shù)的三分之一，依據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知，二車間在12月份生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)占總數(shù)的三分之一，即為3600×eq\f(1,3)＝1200，一、三車間在12月份共生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為3600×eq\f(2,3)＝2400.故選BD.二、填空題6．甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4800件，采納分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測．若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為________件．答案1800解析設(shè)乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為x件，則甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為(4800－x)件．由題意，得eq\f(50,80)＝eq\f(4800－x,4800)，解得x＝1800.7．某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛，6000輛和2000輛．為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗，則這三種型號的轎車依次應(yīng)抽取的輛數(shù)為________．答案6,30,10解析設(shè)三種型號的轎車依次抽取x輛、y輛、z輛，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,1200)＝\f(y,6000)＝\f(z,2000)，,x＋y＋z＝46，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝30，,z＝10.))8．某單位200名職工的年齡分布狀況如圖，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本．若用分層抽樣方法，則40歲以下年齡段應(yīng)抽取________人，50歲以上年齡段應(yīng)抽取________人．答案208解析由題意知，分層抽樣時，由于40歲以下年齡段占總數(shù)的50%,50歲以上年齡段占總數(shù)的20%，故容量為40的樣本中在40歲以下年齡段中應(yīng)抽取40×50%＝20(人)，在50歲以上年齡段應(yīng)抽取40×20%＝8(人)．三、解答題9．某網(wǎng)站欲調(diào)查網(wǎng)民對當(dāng)前網(wǎng)頁的滿足程度，在登錄的全部網(wǎng)民中收回有效帖子共50000份，其中持各種看法的份數(shù)如下表所示：很滿足滿足一般不滿足10800124001560011200為了了解網(wǎng)民的詳細(xì)想法和看法，以便確定如何更改才能使網(wǎng)頁更完備，準(zhǔn)備從中抽選500份，為使樣本更具有代表性，每類中各應(yīng)抽選出多少份？解因為eq\f(500,50000)＝eq\f(1,100)，所以eq\f(10800,100)＝108，eq\f(12400,100)＝124，eq\f(15600,100)＝156，eq\f(11200,100)＝112.故應(yīng)從持四種看法的帖子中分別抽取108份，124份，156份，112份進(jìn)行調(diào)查．10．某中學(xué)實行了為期3天的新世紀(jì)體育運動會，同時進(jìn)行全校精神文明擂臺賽．為了解這次活動在全校師生中產(chǎn)生的影響，分別在全校500名教職員工、3000名初中生、4000名中學(xué)生中作問卷調(diào)查，假如要在全部答卷中抽出120份用于評估．(1)應(yīng)如何抽取才能得到比較客觀的評價結(jié)論？(2)要從3000份初中生的答卷中抽取一個容量為48的樣本，假如采納簡潔隨機抽樣，應(yīng)如何操作？解(1)由于這次活動對教職員工、初中生和中學(xué)生產(chǎn)生的影響不會相同，所以應(yīng)當(dāng)實行分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣．因為樣本容量為120，總體個數(shù)為500＋3000＋4000＝7500，則抽樣比為eq\f(120,7500)＝eq\f(2,125)，所以有500×eq\f(2,125)＝8,3000×eq\f(2,125)＝48,4000×eq\f(2,125)＝64，所以在教職員工、初中生、中學(xué)生中抽取的個體數(shù)分別是8,48,64.分層抽樣的步驟是：①分層：分為教職員工、初中生、中學(xué)生，共三層；②確定每層抽取個體的個數(shù)：在教職員工、初中生、中學(xué)生中抽取的個體數(shù)分別是8,48,64；③各層分別按簡潔隨機抽樣的方法抽取樣本；④綜合每層抽樣，組成樣本．這樣便完成了整個抽樣過程，就能得到比較客觀的評價結(jié)論．(2)由于簡潔隨機抽樣常用的有兩種方法：抽簽法和隨機數(shù)表法．假如用抽簽法，要作3000個號簽，費時費勁，因此采納隨機數(shù)表法抽取樣本，步驟是：①編號：將3000份答卷都編上號碼：0001,0002,0003，…，3000；②在隨機數(shù)表上隨機選取一個起始位置；③規(guī)定讀數(shù)方向：向右連續(xù)取數(shù)字，以4個數(shù)為一組，假如讀取的4位數(shù)大于3000，則去掉，假如遇到相同號碼則只取一個，這樣始終到取滿48個號碼為止．1．某企業(yè)五月中旬生產(chǎn)A，B，C三種產(chǎn)品共3000件，依據(jù)分層抽樣的結(jié)果，企業(yè)統(tǒng)計員制作了如下的統(tǒng)計表格：由于不當(dāng)心，表格中A，C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清晰，統(tǒng)計員只記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，請你依據(jù)以上信息補全表格中的數(shù)據(jù)．解依據(jù)題意，可設(shè)A產(chǎn)品的數(shù)量為m件，樣本容量為n，則C產(chǎn)品的數(shù)量為(1700－m)件，樣本容量為n－10.依據(jù)分層抽樣的特征可得eq\f(n,m)＝eq\f(n－10,1700－m)＝eq\f(130,1300)，解得m＝900，n＝90，所以1700－900＝800,90－10＝80.補全表格如下：產(chǎn)品類型ABC產(chǎn)品數(shù)量(件)9001300800樣本容量90130802．某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)的分布狀況如下表