2025屆新高考數學沖刺復習：立體幾何

2025屆新高考數學沖刺復習立體幾何第一講空間幾何體的表面積與體積、截面與交線——小題備考微專題1空間幾何體的表面積和體積常考常用結論

1．柱體、錐體、臺體的表面積公式：①圓柱的表面積S＝2πr(r＋l)；②圓錐的表面積

S＝πr(r＋l)；③圓臺的表面積S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．2．柱體、錐體的體積公式：①V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；

答案：C

答案：B

答案：D

答案：AC(2)如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長和底面邊長都是a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，則四面體B-B1DE的體積為________．

技法領悟1．求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關鍵．求三棱錐的體積，等體積轉化是常用的方法，轉化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上．2．求空間幾何體的體積，還常用分割或補形的方法，將不規(guī)則幾何體轉化為規(guī)則幾何體，易于求解．技法領悟1．求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關鍵．求三棱錐的體積，等體積轉化是常用的方法，轉化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上．2．求空間幾何體的體積，還常用分割或補形的方法，將不規(guī)則幾何體轉化為規(guī)則幾何體，易于求解．

答案：B

答案：D

答案：B

答案：C

3．[2023·湖南常德二模]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是線段A1C1的中點，若四面體M-ABD的外接球體積為36π，則正方體棱長為________．4

答案：D

答案：B

技法領悟1．確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與幾何體的位置和數量關系．2．求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解．3．補成正方體、長方體、正四面體、正棱柱、圓柱等規(guī)則幾何體．

答案：D

8π

微專題3立體幾何中的截面與交線問題?？汲Ｓ媒Y論

正方體的基本截面如下．正方體的截面不會出現(xiàn)以下圖形：直角三角形、鈍角三角形、直角梯形、正五邊形．

答案：A

答案：C

3.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M，N，P分別為棱AA1，CC1，AD的中點，Q為該正方體表面上的點，若M，N，P，Q四點共面，則點Q的軌跡圍成圖形的面積為________．

答案：ABD

技法領悟1．找截面和交線的一般方法：(1)直接連接法(2)作平行線法(3)作延長線找交點法2．作截面的關鍵在于確定截點．通過位于多面體同一表面上的兩個不同截點即可連接成截線，從而得到截面．

答案：D

(2)[2023·河南許昌實驗中學二模]在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝4，以CC1的中點M為球心，4為半徑的球面與側面ABB1A1的交線長為(

)A．2πB．3πC．4πD．8π答案：C

1.如圖，正方體中，E、F分別是AA1、CC1的中點，則與直線A1D1、EF、DC都相交的直線(

)A．有且僅有一條

B．有且僅有兩條C．有且僅有三條

D．無數條答案：D解析：在EF上任意取一點M，直線A1D1與點M確定一個平面，這個平面與DC有且僅有1個交點H，當點M取不同的位置就確定不同的平面，從而與DC有不同的交點H，而直線MH與這3條異面直線都有交點，故在空間中與三條直線A1D1、EF、DC都相交的直線有無數條．故選D.2．[2023·山東日照三模]已知直線a⊥平面α，則“直線a∥平面β”是“平面α⊥平面β”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：A解析：若“直線a∥平面β”成立，設l?β，且l∥a，又a⊥平面α，所以l⊥平面α，又l?β，所以“平面α⊥平面β”成立；若“平面α⊥平面β”成立，且直線a⊥平面α，可推出a∥平面β或a?平面β，所以“直線a∥平面β”不一定成立．綜上，“直線a∥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分不必要條件．故選A.

答案：C

答案：D

(2)[2023·山東東營一中二模]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M，N分別是棱DD1和線段BC1上的動點，則滿足與DD1垂直的直線MN(

)A．有且僅有1條

B．有且僅有2條C．有且僅有3條

D．有無數條答案：D

解析：如圖，過點N作NE⊥BC，垂足為E，連接DE，當M，N高度一樣，即MD＝NE時，一定有DD1⊥MN，理由如下：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，NE∥CC1∥MD，所以四邊形MDEN為平行四邊形，所以MN∥DE，因為DD1⊥平面ABCD，且DE?平面ABCD，所以DD1⊥DE，即DD1⊥MN.所以當M，N高度一樣，即MD＝NE時，一定有DD1⊥MN，此時滿足條件的直線MN有無數條．故選D.技法領悟1．根據空間線面平行、垂直關系的判定定理和性質定理逐項判斷來解決問題．2．必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關系，并結合有關定理來進行判斷．[鞏固訓練1]

(1)[2023·河南安陽模擬]如圖，ABCDEF-A1B1C1D1E1F1是底面為正六邊形的直棱柱，則下列直線與直線A1B1不垂直的是(

)A．AE

B．A1E

C．BD1

D．E1F

答案：D(2)[2022·全國乙卷]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則(

)A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D答案：A

答案：C

答案：D

3．[2023·遼寧丹東二模]如圖，電商平臺售賣的木制“升斗”，底部封閉，上部開口，把該升斗看作一個正四棱臺，該四棱臺側棱與底面所成角的余弦值為________．

答案：B

答案：A

技法領悟1．用幾何法求空間角時，關鍵要找出空間角，再在三角形中求解．2．用向量法求空間角時，要熟記公式，還要正確建立空間直角坐標系．

答案：B

答案：C

答案：B

答案：A

答案：B

答案：C

技法領悟1．用幾何法求空間距離時，一般采用等體積法．2．用向量法求空間距離時，要熟記公式，還要正確建立空間直角坐標系．

答案：D

答案：C

第三講空間向量與立體幾何——大題備考

立體幾何大題一般為兩問：第一問通常是線、面關系的證明；第二問通常跟角有關，一般是求線面角或二面角，有時與距離、幾何體的體積有關．微專題1線面角如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝AP＝BC＝1，AD＝2.(1)求證：CD⊥平面PAC；

(2)若E為PC的中點，求PD與平面AED所成角的正弦值．

2.[2023·河南安陽二模]在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為菱形，∠BCD＝60°，AB＝4，EF∥CD，EF＝2，CF＝4，點F在平面ABCD內的射影恰為BC的中點G.(1)求證：平面ACE⊥平面BED；

(2)求直線BD與平面ABFE所成的角的正弦值．

1.[2023·山東聊城三模]如圖，三棱臺ABC-DEF中，AB＝2DE，M是EF的中點，點N在線段AB上，AB＝4AN，平面DMN∩平面ADFC＝l.(1)證明：MN∥l；

(2)若平面CBEF⊥平面ABC，AC⊥AB，AC＝CF＝FE＝EB，求直線AB與平面DMN所成角的正弦值．

技法領悟

(2)求二面角A-PC-B的大?。?/p>

2．[2023·新課標Ⅰ卷]如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.(1)證明：B2C2∥A2D2；

(2)點P在棱BB1上，當二面角P-A2C2-D2為150°時，求B2P.

(2)若BD與平面ACD所成的角為60°，求二面角D-AC-B的余弦值．

技法領悟利用空間向量求二面角的答題模板

微專題3空間距離

[2023·江西鷹潭模擬]如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝AC＝CC1＝4，D為AB1的中點，CB1交BC1于點E.(1)證明：CB1⊥C1D；

(2)求點E到平面B1C1D的距離．

5.[2023·河北石家莊二中模擬]如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CA⊥CB，側面AA1B1B為菱形，△AB1C為等邊三角形．(1)求