高中數(shù)學選擇性必修一課件：2 5 1 第1課時 直線與圓的位置關系(人教版)

第1課時直線與圓的位置關系第二章

2.5.1直線與圓的位置關系1.掌握直線與圓的三種位置關系：相交、相切、相離.2.會用代數(shù)法和幾何法來判斷直線與圓的三種位置關系.學習目標海上日出是非常壯麗的美景.在海天交于一線的天際，一輪紅日慢慢升起，先是探出半個圓圓的小腦袋，然后冉冉上升，和天際線相連，再躍出海面，越來越高，展現(xiàn)著斑斕的霞光和迷人的風采.在這個過程中，把太陽看作一個圓，海天交線看作一條直線，日出的過程中也體現(xiàn)了直線與圓的位置關系.導語隨堂演練課時對點練一、直線與圓的位置關系的判斷二、圓的弦長問題三、求圓的切線方程內容索引一、直線與圓的位置關系的判斷問題1

如何利用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關系？提示轉化為它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解、有幾個實數(shù)解.位置關系相交相切相離公共點個數(shù)

個

個

個判斷方法_____________代數(shù)法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判別式Δ_____________21知識梳理0d<rd＝rd>rΔ>0Δ＝0Δ<0例1

已知直線方程mx－y－m－1＝0，圓的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.當m為何值時，圓與直線：(1)有兩個公共點；(2)只有一個公共點；(3)沒有公共點.解方法一將直線mx－y－m－1＝0代入圓的方程化簡整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.則Δ＝4m(3m＋4).解方法一將直線mx－y－m－1＝0代入圓的方程化簡整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.則Δ＝4m(3m＋4).方法二已知圓的方程可化為(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圓心為C(2,1)，半徑r＝2.圓心C(2,1)到直線mx－y－m－1＝0的距離反思感悟直線與圓的位置關系的判斷方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系判斷.(2)代數(shù)法：根據直線方程與圓的方程組成的方程組的解的個數(shù)來判斷.(3)直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷定點與圓的位置關系來判斷直線與圓的位置關系.但有一定的局限性，必須是過定點的直線系.跟蹤訓練1

(1)已知圓C:x2＋y2－4x＝0，l是過點P(3,0)的直線，則A.l與C相交 B.l與C相切C.l與C相離 D.以上三個選項均有可能√解析將點P(3,0)代入圓的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴點P(3,0)在圓內.∴過點P的直線l必與圓C相交.(2)若直線x－y＝0與圓(x－1)2＋(y＋1)2＝m相離，則實數(shù)m的取值范圍是A.(0,2] B.(1,2]C.(0,2) D.(1,2)√∴m<2，∵m>0，∴0<m<2.二、圓的弦長問題二、圓的弦長問題求直線與圓相交時弦長的兩種方法：(1)幾何法：如圖①，直線l與圓C交于A，B兩點，設弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有(2)代數(shù)法：如圖②所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，反思感悟(1)求直線與圓的弦長的三種方法：代數(shù)法、幾何法及弦長公式.(2)利用弦長求直線方程、圓的方程時，應注意斜率不存在的情況.跟蹤訓練2

已知直線l經過直線2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交點，且與直線x＋y－2＝0垂直.(1)求直線l的方程；∴兩直線交點為(2,1).設直線l的斜率為kl，∵直線l與x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1，∵直線l過點(2,1)，∴直線l的方程為y－1＝x－2，即x－y－1＝0.解設圓的半徑為r，依題意，得∴圓的標準方程為(x－3)2＋y2＝4.三、求圓的切線方程例3

(1)若圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0關于直線2ax＋by＋6＝0對稱，則由點(a，b)向圓所作的切線長的最小值是A.2 B.3 C.4 D.6√解析∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴點A在圓外.當直線l的斜率不存在時，l的方程是x＝－1，不滿足題意.設直線l的斜率為k，則切線l的方程為y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0.(2)過點A(－1,4)作圓(x－2)2＋(y－3)2＝1的切線l，則切線l的方程為_____________________.y＝4或3x＋4y－13＝0因此，所求直線l的方程為y＝4或3x＋4y－13＝0.反思感悟求過某一點的圓的切線方程(1)點(x0，y0)在圓上.①先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關系得切線的斜率為由點斜式可得切線方程.②如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.(2)點(x0，y0)在圓外.①設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程.②當用此法只求出一個方程時，另一個方程應為x＝x0，因為在上面解法中不包括斜率不存在的情況.③過圓外一點的切線有兩條.跟蹤訓練3

(1)過圓x2＋y2－2x－4y＝0上一點P(3,3)的切線方程為A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0√解析x2＋y2－2x－4y＝0的圓心為C(1,2)，∴切線方程為y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.(2)由直線y＝x＋1上任一點向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則該切線長的最小值為解析圓心C(3,0)到直線y＝x＋1的距離√1.知識清單：(1)直線與圓的三種位置關系.(2)弦長公式.(3)圓的切線方程.2.方法歸納：幾何法、代數(shù)法、弦長公式法.3.常見誤區(qū)：求直線方程時忽略直線斜率不存在的情況.課堂小結隨堂演練1.直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關系是A.相切 B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心 D.相離√1234∴直線與圓x2＋y2＝1相交，又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直線不過圓心.∴點P在圓上.∴P為切點.√12343.(多選)若直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是A.－2 B.－12C.2 D.12√1234√解析圓的方程為x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，得b＝2或12.4.過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4x＝0所截得的弦長為___.21234課時對點練1.直線3x＋4y＋12＝0與圓(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置關系是A.過圓心 B.相切C.相離 D.相交但不過圓心√所以直線與圓的位置關系是相交但不過圓心.基礎鞏固123456789101112131415162.已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關系是A.相切 B.相交C.相離 D.不確定√解析∵點M(a，b)在圓x2＋y2＝1外，∴a2＋b2＞1.12345678910111213141516則直線與圓的位置關系是相交.√解析由圓的方程，可知圓心坐標為(a，0)，半徑r＝2.12345678910111213141516√所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.解析當弦長最短時，該弦所在直線與過點P(1,2)的直徑垂直.已知圓心O(0,0)，4.已知圓x2＋y2＝9的弦過點P(1,2)，當弦長最短時，該弦所在直線的方程為A.y－2＝0 B.x＋2y－5＝0C.2x－y＝0 D.x－1＝0√12345678910111213141516√123456789101112131415166.一條光線從點(－2,3)射出，經x軸反射后與圓x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，則反射光線所在直線的斜率為√解析點(－2,3)關于x軸的對稱點Q的坐標為(－2，－3)，圓x2＋y2－6x－4y＋12＝0的圓心為(3,2)，半徑r＝1.設過點(－2，－3)且與已知圓相切的直線的斜率為k，則切線方程為y＝k(x＋2)－3，即kx－y＋2k－3＝0，123456789101112131415167.直線l與圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B兩點，若弦AB的中點為C(－2,3)，則直線l的方程為____________.x－y＋5＝0解析由圓的方程可得，圓心為P(－1,2)，12345678910111213141516所以直線方程為y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.8.過圓x2＋y2＝8內的點P(－1,2)作直線l交圓于A，B兩點.若直線l的傾斜角為135°，則弦AB的長為______.解析由題意知直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，123456789101112131415169.已知圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一點P(4，－1)，過點P作直線l.(1)當直線l與圓C相切時，求直線l的方程；解圓C的圓心為(2,3)，半徑r＝2.當斜率不存在時，直線l的方程為x＝4，此時圓C與直線l相切；當斜率存在時，設直線l的方程為kx－y－4k－1＝0，12345678910111213141516所以此時直線l的方程為3x＋4y－8＝0.綜上，直線l的方程為x＝4或3x＋4y－8＝0.(2)當直線l的傾斜角為135°時，求直線l被圓C所截得的弦長.解當直線l的傾斜角為135°時，直線l的方程為x＋y－3＝0，1234567891011121314151610.已知圓C過點(1,1)，圓心在x軸正半軸上，且與直線y＝x－4相切.(1)求圓C的標準方程；12345678910111213141516解由題意，設圓心坐標為C(a，0)(a>0)，解得a＝－6(舍)或a＝2，則圓C的標準方程為(x－2)2＋y2＝2.(2)已知過點P(1,3)的直線l交圓C于A，B兩點，且|AB|＝2，求直線l的方程.12345678910111213141516若斜率存在，設直線方程為y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0.11.已知圓C與直線x＋y＋3＝0相切，直線mx＋y＋1＝0始終平分圓C的面積，則圓C的方程為A.x2＋y2－2y＝2 B.x2＋y2＋2y＝2C.x2＋y2－2y＝1 D.x2＋y2＋2y＝1√12345678910111213141516綜合運用解析在直線mx＋y＋1＝0的方程中，令x＝0，則y＝－1，則直線mx＋y＋1＝0過定點(0，－1).由于直線mx＋y＋1＝0始終平分圓C的面積，則點(0，－1)是圓C的圓心，又圓C與直線x＋y＋3＝0相切，12345678910111213141516因此，圓C的方程為x2＋(y＋1)2＝2，即x2＋y2＋2y＝1.A.4x＋3y－13＝0 B.3x＋4y－15＝0C.3x＋4y＋15＝0 D.x＝1√12345678910111213141516√解析由題意知圓心C的坐標為(2,0)，半徑為r＝2，12345678910111213141516當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0，12345678910111213141516即4x＋3y－13＝0.12345678910111213141516√解析圓的標準方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圓心為C(－1,2)，半徑為r＝2，直線被圓截得的弦長為4，則圓心在直線上，所以－2m－2n＝－2，m＋n＝1.又m>0，n>0，1234567891011121314151614.在圓x2＋y2－2x－6y＝0內，過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為________.12345678910111213141516設點F為其圓心，坐標為(1,3).√拓廣探究12345678910111213141516故曲線并非表示整個單位圓，僅僅是單位圓在y軸右側(含與y軸的交點)的部分.1234567891011121314151616.已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，半徑為2.且被直線l：4x－3y－3＝0截得的弦長為(1)求圓C的方程；12345678910111213141516∴圓C的方程為(x－2)2＋y2＝4.(2)設P是直線x＋y＋4＝0上的動點，過點P作圓C的切線PA，切點為A，證明：經過A，P，C三點的圓必過定點，并求所有定點的坐標.12345678910111213141516解∵P是直線x＋y＋4＝0上一點.設P(m，－m－4)，∵PA為圓C的切線，∴PA⊥AC，即過A，P，C三點的圓是以PC為直徑的圓.設圓上任一點Q(x，