高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件：第一課時 用空間向量研究距離問題(人教A版)

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第一課時用空間向量研究距離問題課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面間的距離問題.2.通過空間中距離問題的求解，體會向量方法在研究幾何問題中的作用.通過學(xué)習(xí)空間中距離的概念，點、線、面距離的相互轉(zhuǎn)化與計算，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).新知探究哥特式建筑是一種興盛于中世紀(jì)高峰與末期的建筑風(fēng)格.它由羅曼式建筑發(fā)展而來，為文藝復(fù)興建筑所繼承.發(fā)源于十二世紀(jì)的法國，持續(xù)至十六世紀(jì).哥特式建筑的特色包括尖形拱門、肋狀拱頂與飛拱.問題在上述圖片中，如何利用空間向量計算塔尖到房頂?shù)男泵娴木嚯x呢？提示建立空間直角坐標(biāo)系，求出房頂斜面的法向量，利用投影向量求解.1.直線外一點P到直線l的距離兩平行直線之間的距離可以轉(zhuǎn)化為點到直線的距離2.平面外一點P到平面α的距離兩平行平面間的距離可以轉(zhuǎn)化為點到平面的距離3.用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲” (1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； (2)通過向量運(yùn)算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾角等問題； (3)把向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論.拓展深化[微判斷]1.直線外一點到直線的距離就是該點到直線上任意一點的距離.()

提示直線外一點到直線的距離就是過該點作已知直線的垂線段的長度，所以錯誤.2.直線和平面平行時，直線上任意一點到平面的距離就是直線到平面的距離.()3.兩個平面平行時，一個平面上任意一點到另外一個平面的距離都相等.(

)×√√[微訓(xùn)練]1.已知平面α的一個法向量n＝(－2，－2，1)，點A(－1，3，0)在α內(nèi)，則P(－2，1，4)到α的距離為(

)答案D2.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則A1A到平面B1D1DB的距離為(

)答案A2.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則A1A到平面B1D1DB的距離為(

)答案A題型一點到直線的距離【例1】如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求點B到直線A′C的距離.解∵AB＝1，BC＝2，AA′＝3，∴A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，【訓(xùn)練1】如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求點P到BD的距離.解如圖，分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，【訓(xùn)練1】如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求點P到BD的距離.解如圖，分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，題型二點到平面的距離【例2】在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中點，AA1＝AB＝2. (1)求證：A1C∥平面AB1D； (2)求點C1到平面AB1D的距離.設(shè)平面AB1D的法向量為n＝(x，y，z)，令z＝1，則y＝0，x＝2，∴n＝(2，0，1).∵A1C?平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.規(guī)律方法利用向量法求點到平面的距離的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)求出該平面的一個法向量.(3)找出該點與平面內(nèi)一點連線形成的斜線段對應(yīng)的向量.(4)法向量與斜線段對應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即為點到平面的距離.【訓(xùn)練2】已知在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，求點B1到平面A1BC1的距離.解如圖，以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、設(shè)平面ABE的法向量為n＝(x，y，z)，∵直線A1B1與平面ABE的距離等于點A1到平面ABE的距離，規(guī)律方法(1)求線面距離可以轉(zhuǎn)化為求直線上任意一點到平面的距離，利用求點到平面的距離的方法求解即可.(2)求兩個平行平面間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離，利用求點到平面的距離的方法求解即可.【訓(xùn)練3】已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，求平面A1BD與平面B1CD1間的距離.解以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1，1，1).∵平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于D1到平面A1BD的距離，一、素養(yǎng)落地1.通過學(xué)習(xí)利用向量方法計算空間的距離，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；在學(xué)習(xí)點到直線的距離、點到平面的距離、兩平行線間的距離、直線到平面的距離、平面到平面的距離相互轉(zhuǎn)化的過程中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng).2.兩點間的距離可利用向量的模計算數(shù)量積求得.點面距可利用向量在平面的法向量上的投影向量求得，線面距、面面距可轉(zhuǎn)化為點面距計算.二、素養(yǎng)訓(xùn)練答案D2.已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點.則直線AC到平面PEF的距離為(

)則P(0，0，1)，A(1，0，0)，設(shè)平面PEF的一個法向量為n＝(x，y，z)，令x＝2，則y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)，答案B4.設(shè)A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，則點D到平面ABC的距離為________.備用工具&資料4.設(shè)A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，則點D到平面ABC的距離為________.設(shè)平面PEF的一個法向量為n＝(x，y，z)，令x＝2，則y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)，答案B3.用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲” (1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； (2)通過向量運(yùn)算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾角等問題； (3)把向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論.[微訓(xùn)練]1.已知平面α