2023上海高考數(shù)學(xué)名師模擬卷八（學(xué)生版+解析版）

2023年上海高考數(shù)學(xué)名師模擬卷（8）

—.填空題（共12小題）

1.若復(fù)數(shù)z滿足z-（l+i）=2（i為虛數(shù)單位），則2=.

2.設(shè)集合4=（-1,3）,B=[0,4）,則4|JB=.

22

3.已知耳，K是橢圓C：5+[=l的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則工的周長(zhǎng)為.

4.已知一組數(shù)據(jù)4,a,3+a,5,7的平均數(shù)為5,則這組數(shù)據(jù)的方差為.

426

行列式354中，第2行第1列元素的代數(shù)余子式的值為

-11-2

3a”+為奇數(shù)

已知正整數(shù)數(shù)列｛〃"｝滿足。用

7.某一大型購(gòu)物廣場(chǎng)有“喜茶”和“滬上阿姨”兩家奶茶店，某人第一天隨機(jī)地選擇一家

奶茶店購(gòu)買(mǎi)奶茶.如果第一天去“喜茶”店，那么第二天去“喜茶”店的概率為0.7；如果

第一天去“滬上阿姨”店，那么第二天去“喜茶”店的概率為06則某人第二天去“喜茶”

店購(gòu)買(mǎi)奶茶的概率為—.

8.已知（x+2）"的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為256,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

（結(jié)果用數(shù)值表示）.

9.已知函數(shù)f（x）=sinx-2cosX,當(dāng)x=a時(shí)f（x）取得最大值，則cosa=.

10.在AABC中，AB=2,BC=3,Z4BC=60。，AO為8c邊上的高，。為4）的中點(diǎn),

^AO=A.AB+nBC,則彳+〃=.

II.在四棱錐S-AfiCZ）中，四邊形/WCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，ASM＞是正三角形，且側(cè)

面&⑦，底面ABCD.若點(diǎn)S,A,B,C,。都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為一.

12.已知11-ql領(lǐng)）1-/1|1-八別|1-^5|,q為非零實(shí)數(shù)，則q的取值范圍是.

選擇題（共4小題）

13.設(shè)”為正整數(shù),則“數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列”是"數(shù)列｛凡｝滿足4?4+3=%+/4+2”的（

)

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

14.“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們?cè)谌诤鸾谢虬l(fā)出其他聲音時(shí)，聲波傳入泉洞

內(nèi)的儲(chǔ)水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學(xué)作用，激起水波，形成涌泉.聲音越大，涌起的

泉水越高.已知聽(tīng)到的聲強(qiáng)，"與標(biāo)準(zhǔn)聲調(diào)肛)(為約為KT2單位：卬//)之比的常用對(duì)數(shù)

稱(chēng)作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)，記作L(貝爾)，即乙=起色，取貝爾的10倍作為響度的常用單位，

簡(jiǎn)稱(chēng)為分貝.已知某處“喊泉”的聲音響度y(分貝)與噴出的泉水高度x(米)滿足關(guān)系

式y(tǒng)=2x,現(xiàn)知4同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度為50米，若A同學(xué)大喝一聲的聲強(qiáng)大

約相當(dāng)于10個(gè)3同學(xué)同時(shí)大喝一聲的聲強(qiáng)，則8同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為(

)米.

A.5B.10C.45D.48

15.對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)y=g(x),設(shè)關(guān)于x的方程g(x)=f,對(duì)任意的實(shí)數(shù)/總有有限個(gè)

根，記根的個(gè)數(shù)為人⑺，給出下列兩個(gè)命題：

①設(shè)〃(x)=|g(x)|,若左⑺=&⑴,則g(x)..O；

②若￡()=1,則y=g(x)為單調(diào)函數(shù)；

則下列說(shuō)法正確的是()

A.①正確②正確B.①正確②錯(cuò)誤C.①錯(cuò)誤②正確D.①錯(cuò)誤②錯(cuò)誤

/X

16.關(guān)于x的方程|--j---1-|---pl=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且不|<工2〈七〈七，則

x4---4tH—

xt

(x&-X])+(%-三)的取值范圍()

A.Q瓜4后B.(276,4+2V2)C.(4+20,4白)D.[2>/6,4^]

三.解答題(共5小題)

17.如圖，四棱錐P-A8CE)的底面ABCD內(nèi)接于半徑為2的圓O,/歸為圓。的直徑，

AB//CD,2DC=AB,E為AB上一點(diǎn)，PE_L平面ABCD,EDA.AB,PE=EB.求:

(1)四棱錐P—A88的體積；

(2)銳二面角C-PB-￡)的余弦值.

18.如圖，已知平面四邊形ABC。，ZA=45°,ZABC=15°,ZBDC=30°,BD=2,CD=g.

⑴求Z.CBD；

(2)求9的值.

19.業(yè)界稱(chēng)“中國(guó)芯”迎來(lái)發(fā)展和投資元年，某芯片企業(yè)準(zhǔn)備研發(fā)一款產(chǎn)品，研發(fā)啟動(dòng)時(shí)投

入資金為4A為常數(shù))元，之后每年會(huì)投入一筆研發(fā)資金，〃年后總投入資金記為/(〃),

94二

經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)當(dāng)噫必10時(shí)，/(〃)近似地滿足/其中。=23,P，4為常數(shù),

p+qa

f(0)=A.已知3年后總投入資金為研發(fā)啟動(dòng)時(shí)投入資金的3倍.問(wèn)

(1)研發(fā)啟動(dòng)多少年后，總投入資金是研發(fā)啟動(dòng)時(shí)投入資金的8倍；

(2)研發(fā)啟動(dòng)后第幾年的投入資金的最多.

20.如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(l,2),A(xf,yt),B(x2,

%)均在拋物線上.

(1)求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；

(2)當(dāng)P4,PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，證明：直線A8的斜率為定值.

21.已知數(shù)列{%}(““cN),記=/+%+…+4，首項(xiàng)4=〃0>0,若對(duì)任意整數(shù)a..2,

有噴虬k-\,且S,是左的正整數(shù)倍.

(1)若4=21,寫(xiě)出數(shù)列｛4｝的前寫(xiě)項(xiàng);

(H)證明：對(duì)任意”..2,數(shù)列他“｝的第〃項(xiàng)a“由q唯一確定；

(III)證明：對(duì)任意正整數(shù)為,數(shù)列｛S“｝從某一項(xiàng)起為等差數(shù)列.

2023年上海高考數(shù)學(xué)名師模擬卷(8)

—.填空題(共12小題)

1.若復(fù)數(shù)z滿足z-(l+i)=2(i為虛數(shù)單位)，則z=_l-i

【解答】解：因?yàn)閦{l+i)=2,

所以“力瑞

故答案為：1—i.

2.設(shè)集合A=(—1,3),B=[0,4),則A|j8=_(—1,4)

【解答】解：?.?A=(—1,3),B=[0,4),

故答案為：(-1,4).

22

3.已知耳，尸2是橢圓C：]+q=l的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則△PEE的周長(zhǎng)為10

【解答】解：由題意知：橢圓C:2+)-=1中a=3,b=\[5,c=2,

95

.■.△?/;；6周長(zhǎng)=2<2+20=6+4=10.

故答案為：10.

4.已知一組數(shù)據(jù)4,a,3+a,5,7的平均數(shù)為5,則這組數(shù)據(jù)的方差為2.

【解答】解：因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,

所以4+。+3+。+5+7=25,解得。=3,

則這組數(shù)為3,4,5,6,7,

故方差『=([(3-5)2+(4-5)2+仁一+(6-5)2+(7-5)2]=2.

故答案為：2.

426

5.行列式354中，第2行第1列元素的代數(shù)余子式的值為10.

-11-2

426

【解答】解：行列式354中，

-1I-2

第2行第1列元素的代數(shù)余子式的值為(-1)326=_(y_6)=10.

1—2

故答案為：10.

3(1"+1,。”為奇數(shù)

6.已知正整數(shù)數(shù)列伍,｝滿足。用=/*_伸物，則當(dāng)4=8時(shí)，

”為偶數(shù)

【解答】解：?.4=8是偶數(shù)，

.?.3=烏=號(hào)=4是偶數(shù)，

-22

.?.%=9=9=2是偶數(shù)，

支22

「.%=幺=2=1是奇數(shù)，

422

a5=34+1=3x1+1=4足偶數(shù)，

，4=2是偶數(shù)，

=1是奇數(shù)，

??,,

從第二項(xiàng)開(kāi)始，正整數(shù)數(shù)列｛%｝是以3為周期的周期數(shù)列，

?.?2021=1+673x3+1,

?■%(>2]==4，

故答案為:4.

7.某一大型購(gòu)物廣場(chǎng)有“喜茶”和“滬上阿姨”兩家奶茶店，某人第一天隨機(jī)地選擇一家

奶茶店購(gòu)買(mǎi)奶茶.如果第一天去“喜茶"店，那么第二天去“喜茶”店的概率為0.7；如果

第一天去“滬上阿姨”店，那么第二天去“喜茶”店的概率為0.6.則某人第二天去“喜茶”

店購(gòu)買(mǎi)奶茶的概率為0.65.

【解答】解：某人第二天去“喜茶”店購(gòu)買(mǎi)奶茶有兩種情況：

①第一天選擇去“喜茶”店，第二天選擇去“喜茶”，其概率為‘X0.7=0.35；

2

②第一天選擇去“滬上阿姨”店，第二天選擇去“喜茶”，其概率為1x0.6=0.3，

2

所以某人第二天去“喜茶”店購(gòu)買(mǎi)奶茶的概率為0.35+0.3=0.65.

故答案為：0.65.

8.已知(x+2)"的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為256,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)LL2n

(結(jié)果用數(shù)值表示).

【解答】解：?.?已知(x+2)"的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為2"=256,，〃=8.

X

則展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為=品2?產(chǎn)”，令8—2/■=(),求得r=4,

可得展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為C<24=1120,

故答案為：H20.

2/s

9.已知函數(shù)/(x)=sinx-2cosx,當(dāng)x=a時(shí)/(x)取得最大值，則cosa=_———_.

【解答】解：f(x)=sinx—2cosx=\[5((sinx-cosx)=>/5sin(x-0)

?.?x=a時(shí)，函數(shù)/(x)取得最大值，

sin(a-，)=1,即sina-2cosa=右，

又sir^a+cos2a=1，

9尺

聯(lián)立得(2cosa+6)2+cos2a=1,解得cosa=———.

故答案為：-巫.

5

10.在AABC中，43=2,BC=3,Z4BC=60°,AZ)為BC邊上的高，O為4)的中點(diǎn),

______,

^AO=AAB+^BC,則2+〃=_:一

【解答】解：因?yàn)椤锳D的中點(diǎn)，則而=2而=22而+2〃冊(cè)，

又AD上BC,所以而?阮=(22耳力+?前=2X4月+

則九=3〃，因?yàn)锽,D,C三點(diǎn)共線，則設(shè)8方=加8e，

在三角形MC中，AO=^AD=-(AB+BD)=-AB+-mBC=AAB+juBC,

所以4=1,則〃=1,

26

所以2+〃='+工=2>

263

故答案為：—.

3

11.在四棱錐S-MCD中，四邊形45co是邊長(zhǎng)為2的正方形，是正三角形，且側(cè)

面底面ABC。.若點(diǎn)S,A,B,C,。都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為

【解答】解：由題意，幾何體的圖形如圖，底面正方體的中心為G,的中點(diǎn)為了，連

接SF,A5AD是正三角形，E為中心，作EOL平面8￡>,OG_L平面A8CD,

可得OD=OA=OB=OC=OS=R，

口J矢口FG=1fEk=—x—x2=—，SE=---，

3233

所以R==j+(竿『=A.

所以該球的表面積為：4"x/?2=.

3

故答案為：—7T.

3

AB

12.已知|1一4網(wǎng)1一/||1-二闞1一力4為非零實(shí)數(shù)，則夕的取值范圍是

(-82_-2］U(O,+8)_.

【解答】解：根據(jù)題意，分情況討論：

①當(dāng)0<夕<1時(shí)，有1>q>q2>q'>q'>q'>0,

此時(shí)有0<l-q<l-g2<l-/<l_q4<i_g5<］,滿足

|l-q|別|1一力|口―/闞］一/|符合題意，

②當(dāng)4=1時(shí),也能滿足ll-q償能-口_/闞I_g4||1一月，符合題意,

③當(dāng)q>1時(shí)，\<q<q2<qy<qi<qs,

此時(shí)有>］一/>］一/"一如，滿足

\\-q\^\-q2\|1一/|剝1-/|口一力,符合題意,

④當(dāng)—l,，4<0時(shí)，|l-q|>|l-二|,不滿足H-q闞1一/||1-/|蒯1一二|

⑤當(dāng)—2<q<—1時(shí)，H-4l>|l-q"l，不滿足|1一《1?|1-/?,

⑥當(dāng)%—2時(shí)，42-i-（i-43）=g2a+q）-2<o恒成立，即夕2一1<1-?3,

同理可證得l-?3<44-l<l-q5,符合題意，

綜上所述，q的取值范圍為（V,-2]|J（0,+oo）,

故答案為：（-00,-2]|J（0,+oo）.

二.選擇題（共4小題）

13.設(shè)〃為正整數(shù)，則”數(shù)列伍”｝為等比數(shù)列”是“數(shù)列｛叫滿足a“q+3=a“My+2”的（

）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【解答】解：①若數(shù)列｛??｝為等比數(shù)歹IJ，則④■=如=q,%a,.=an+t-an+2,

a?%+2

②若%=0，滿足限=a?+l-a?+2,但數(shù)列｛%｝不為等比數(shù)列，

故選：A.

14.“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們?cè)谌诤鸾谢虬l(fā)出其他聲音時(shí)，聲波傳入泉洞

內(nèi)的儲(chǔ)水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學(xué)作用，激起水波，形成涌泉.聲音越大，涌起的

泉水越高.已知聽(tīng)到的聲強(qiáng)m與標(biāo)準(zhǔn)聲調(diào)人（外約為10",單位：卬/加2）之比的常用對(duì)數(shù)

稱(chēng)作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)，記作L（貝爾），即乙=/g上，取貝爾的10倍作為響度的常用單位，

恤

簡(jiǎn)稱(chēng)為分貝.已知某處“喊泉”的聲音響度y（分貝）與噴出的泉水高度x（米）滿足關(guān)系

式y(tǒng)=2x,現(xiàn)知A同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度為50米，若A同學(xué)大喝一聲的聲強(qiáng)大

約相當(dāng)于10個(gè)5同學(xué)同時(shí)大喝一聲的聲強(qiáng)，則3同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為（

）米.

A.5B.10C.45D.48

【解答】解：設(shè)8同學(xué)的聲強(qiáng)為山，噴出泉水高度為x,則A同學(xué)的聲強(qiáng)為10m,噴出泉

水高度為50,

由10/g—=2x,得Igm—=0.2x,①

砥)

10/72

10/g---=2x50,1+Igm—lgmn=10.②

①一②得：-l=0.2x-10,

解得x=45,

.?.8同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為45米.

故選：C.

15.對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)y=g(x),設(shè)關(guān)于x的方程g(x)=f,對(duì)任意的實(shí)數(shù)f總有有限個(gè)

根，記根的個(gè)數(shù)為,⑺，給出下列兩個(gè)命題：

①設(shè)〃(x)=|g(x)|,若力")=￡,?)，則g(x)..O；

②若力⑺=1，則y=g(x)為單調(diào)函數(shù)；

則下列說(shuō)法正確的是()

A.①正確②正確B.①正確②錯(cuò)誤C.①錯(cuò)誤②正確D.①錯(cuò)誤②錯(cuò)誤

【解答】解：?.?/?(x)=|g(x)|..o,對(duì)任意的f＞0,都有水￡)=0,

則，⑺=力”)=0,則g(x)..O，故①正確；

1xwO

取g(x)=X，則力⑺=1，但g(x)不是單調(diào)函數(shù)，故②錯(cuò)誤；

0,x=0

故選：B.

tx

16.關(guān)于X的方程|--j---HI---p|=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且不＜出＜“3＜、4，則

Xd---4td—

Xt

(匕-n)+(鼻-X?)的取值范圍()

A.(2后,48)B.(2代,4+2應(yīng))C.(4+2&,46)D.[26,4白]

【解答】解：依題意可知，|X2-4X+1|=*+1,由方程有四個(gè)根，所以函數(shù)y=r+i與

＞=|x2-4x+i|的圖象有四個(gè)交點(diǎn),

2

由圖可知，%,+x4=4,毛+/=4,1?z+1<3,解得/e(0,2),

由x?—4x+1=*+1解得匕=2—y/t2+4；

由一（x?—4x+1）=廠+1解得x2=2—，2—/；

所以（x4—&）+（W—x,）=8-2（玉+X,）=2（y/t~4-4+，2-1~）

設(shè)m=t2e（0,2）,n=-Jm+4+q2—m，

n2-m+4+2-m+2\l—nr-2m+8=6+2^/-（/n+1）2+9e（6,6+4>/2）>

即me（6，2+尤），所以（匕-巧）+（鼻-々）的取值范圍是（2#，4+2立）.

故選：B.

三.解答題(共5小題)

17.如圖，四棱錐P-43co的底面43co內(nèi)接于半徑為2的圓O,43為圓O的直徑，

AB//CD,2DC=AB,E為AB上一點(diǎn)、,PE_L平面/IBC。，EDYAB,PE=EB.求:

(1)四棱錐尸―ABCD的體積；

(2)銳二面角C—P8—。的余弦值.

【解答】解：（1）連接OQ，OC,易得△8C是正三角形,

?.-AB//CD,:.ZAOD=ZODC=60°,

.EDYAB.:.ED=6EO=l,：.PE=EB=3,

S/U3CO=gx(2+4)x5/3=3G,

VP-ABCD=1x3>/3x3=3>/3?

四棱錐尸-ABCD的體積為3G.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系E-孫z,

則8(0,3,0),C(6,2,0),D(X/3,0,0),P(0,0,3),

.1B方=(G,-3,0),方=(0,3,-3),BC=(^,-l,0),

設(shè)平面PBD的法向量為或=（占,y,4）,

，取乂=1，則%=百，Z]=1,得%=(-73,1,1),

PB^=O3y,-3=0

設(shè)平面PBC的法向量為n2=(x2,y2,z2),

由[”.勺=0,即=0,取為=1,則X=走，Z2=l,得區(qū)=(￡』),

PBn2=0[3y2-3z2=0-'3-3

設(shè)銳:面角C-PB-0的大小為。，

.?.銳二面角C-PB-。的余弦值為更叵.

35

18.如圖，已知平面四邊形ABCD,Z4=45°,ZABC=15°,ZBDC=30°,BD=2,CD=?.

(1)求NCBD；

(2)求AB的值.

【解答】解：(I)在ABC。中，由余弦定理8c2=3D2+CZ)2_28DC￡)cosN8r>C,

得：BC2=4+3-473--1解得：BC=1,故BC?+CD2=BD?,

2

故ABC。是RTZX,故NCBD=60。.

(2)由(1)得：ZCBD=60°,又ZABC=75°,則/￡>8c=15°,

而Z4=45°,則NA￡>B=120°,

由正弦定理=>解得：AB=\/6.

sinZADBsinA石&

TF

19.業(yè)界稱(chēng)“中國(guó)芯”迎來(lái)發(fā)展和投資元年，某芯片企業(yè)準(zhǔn)備研發(fā)一款產(chǎn)品，研發(fā)啟動(dòng)時(shí)投

入資金為4A為常數(shù))元，之后每年會(huì)投入一筆研發(fā)資金，〃年后總投入資金記為了(〃)，

經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)當(dāng)滕吠10時(shí)，/(〃)近似地滿足/(〃)=*■￡,其中a=23,p,q為常數(shù)，

p+qa

f(0)=4.已知3年后總投入資金為研發(fā)啟動(dòng)時(shí)投入資金的3倍.問(wèn)

(1)研發(fā)啟動(dòng)多少年后，總投入資金是研發(fā)啟動(dòng)時(shí)投入資金的8倍;

(2)研發(fā)啟動(dòng)后第兒年的投入資金的最多.

【解答】解：(1)由題意知f(O)=A,f(3)=3A.

94.

----=A

p+q

所以9A解得.所以私)=備

I=3A

p十二q

4

QA

令f(“)=84,得-------=8A,解得a"=64,

1+8%”

2n

即2~=64,所以〃=9.

所以研發(fā)啟動(dòng)9年后，總投入資金是研發(fā)啟動(dòng)時(shí)投入資金的8倍.

(2)由(1)知/(〃)=——

1+8-

第n年的投入金

GA9A9Aa?9A724。”(1一。)72A(1—a)

=/(-/(-l)=^

w)wT7l+8.a"-'1+8/a+8/(1+8?a")(a+8d)

+8(1+々)+64/

72A(1-a)72A(1-/)9A(1-向

2Kx64a"+8(1+a)8(1+拈0+&)

2(2H-1)I

當(dāng)且僅當(dāng)64/=2，即23=」-等號(hào)，此時(shí)〃=5.

a"64

所以研發(fā)啟動(dòng)后第5年的投入資金增長(zhǎng)的最多.

20.如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸(1,2),《占，y),B(X2,

必)均在拋物線上.

(1)求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程;

(2)當(dāng)R4,P8的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，證明：直線4?的斜率為定值.

【解答】(1)解.：由題意可設(shè)拋物線的方程為y2=2px(〃>0),

則由點(diǎn)P(l,2)在拋物線上,得22=2pxl,解得p=2,

故所求拋物線的方程是V=4x,準(zhǔn)線方程是x=-L

(2)證明：因?yàn)镼4與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，

所以即專(zhuān)=一分?

再一1x2-1