高考數(shù)學一輪復習考點探究與題型突破第16講變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算(原卷版+解析)

第16講變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算1．導數(shù)的概念(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)一般地，稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．(2)導數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù))．相應地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函數(shù)f(x)的導函數(shù)稱函數(shù)f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)為f(x)的導函數(shù)．2．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式原函數(shù)導函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axln__af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnx(x>0)f′(x)＝eq\f(1,x)3.導數(shù)的運算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．考點1導數(shù)的運算[名師點睛]對解析式中含有導數(shù)值的函數(shù)，即解析式類似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0為常數(shù))的函數(shù)，解決這類問題的關鍵是明確f′(x0)是常數(shù)，其導數(shù)值為0.因此先求導數(shù)f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，進而得到函數(shù)解析式，求得所求導數(shù)值．[典例]1．(2023·浙江·高三專題練習）請用函數(shù)求導法則求出下列函數(shù)的導數(shù)．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．2．(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的導數(shù)為，且，則（

）A． B． C．1 D．[舉一反三]1．（2023·江蘇省阜寧中學高三階段練習）下列求導運算不正確的是（

）A． B．C． D．2．(2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)，滿足且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．43．(2023·全國·河源市河源中學模擬預測）已知實數(shù)x滿足，，，那么的值為(

)A．0 B．1 C．2 D．4．(2023·江蘇·高三專題練習）下列求導數(shù)運算正確的有（

）A． B．C． D．5．(2023·全國·高三專題練習）求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）y=x（x2）；（2）y=（1）（1）；（3）y=xtanx；（4）y=x﹣sincos；（5）y=3lnx+ax（a>0，且a≠1）.考點2導數(shù)的幾何意義[名師點睛]利用導數(shù)求切線方程的一般過程已知曲線y＝f(x)過點P(x0，y0)，求曲線過點P的切線方程，需分點P是切點和不是切點兩種情況求解：1．若P(x0，y0)是切點，則曲線的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)；2．若P(x0，y0)不是切點，則分以下幾個步驟：(1)設出切點坐標P′(x1，y1)．(2)寫出過P′(x1，y1)的切線方程y－y1＝f′(x1)·(x－x1)．(3)將點P(x0，y0)的坐標代入切線方程求出x1.(4)將x1的值代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)得到所求切線方程．[提示]“在”和“過”的區(qū)別：(1)“曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線”指點P(x0，y0)是切點，切線的斜率k＝f′(x0)；(2)“曲線y＝f(x)過點P(x0，y0)的切線”指點P(x0，y0)只是切線上一點，不一定是切點．[典例]1．(2023·廣東茂名·模擬預測）曲線在點處的切線方程為______．2．(2023·全國·高三專題練習）已知f(x)＝x2，則過點P(－1，0)，曲線y＝f(x)的切線方程為__________3．(2023·河南·三模）曲線在點A處的切線方程為，則切點A的坐標為______．4．(2023·湖南湘潭·三模）已知直線l是曲線與的公共切線，則l的方程為___________.[舉一反三]1．(2023·山東棗莊·三模）曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C． D．2．(2023·重慶一中高三階段練習）已知偶函數(shù)，當時，，則的圖象在點處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．3．(2023·湖北·宜城市第一中學高三階段練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．且4．(2023·山東濰坊·二模）已知函數(shù)，直線，點在函數(shù)圖像上，則以下說法正確的是(

)A．若直線l是曲線的切線，則B．若直線l與曲線無公共點，則C．若，則點P到直線l的最短距離為D．若，當點P到直線l的距離最短時，5．(2023·全國·高三專題練習）已知直線與函數(shù)的圖象相切，則切點的橫坐標為A． B． C．2 D．6．(2023·福建泉州·模擬預測）若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為（

）A． B．1 C．e D．7．(2023·全國·高三專題練習）若兩曲線與存在公切線，則正實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（多選）(2023·河北保定·二模）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）A． B． C． D．9．(2023·重慶·三模）曲線在點處的切線方程為___________.10．(2023·浙江·高三專題練習）已如函數(shù).若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線平行，則___________；若，則的最大值為___________.11．(2023·河北廊坊·模擬預測）設直線是曲線的一條切線，則實數(shù)b的值是_________．12．(2023·全國·高三專題練習）曲線在點處的切線方程是，則切點的坐標是____________.13．(2023·重慶巴蜀中學高三階段練習）設三次函數(shù)，若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線重合，則______．14．(2023·廣東·執(zhí)信中學高三階段練習）已知（e為自然對數(shù)的底數(shù)），，則與的公切線條數(shù)為_______．第16講變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算1．導數(shù)的概念(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)一般地，稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．(2)導數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù))．相應地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函數(shù)f(x)的導函數(shù)稱函數(shù)f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)為f(x)的導函數(shù)．2．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式原函數(shù)導函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axln__af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnx(x>0)f′(x)＝eq\f(1,x)3.導數(shù)的運算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．考點1導數(shù)的運算[名師點睛]對解析式中含有導數(shù)值的函數(shù)，即解析式類似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0為常數(shù))的函數(shù)，解決這類問題的關鍵是明確f′(x0)是常數(shù)，其導數(shù)值為0.因此先求導數(shù)f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，進而得到函數(shù)解析式，求得所求導數(shù)值．[典例]1．(2023·浙江·高三專題練習）請用函數(shù)求導法則求出下列函數(shù)的導數(shù)．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【解】（1）因為，則；（2）因為，則；（3）因為，則；（4）因為，則；（5）因為，故.2．(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的導數(shù)為，且，則（

）A． B． C．1 D．答案：B【解析】由得，當時，，解得，所以，.故選：B[舉一反三]1．（2023·江蘇省阜寧中學高三階段練習）下列求導運算不正確的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】對于A：，故選項A正確；對于B：，故選項B正確；對于C：，故選項C正確；對于D：，故選項D不正確；所以求導運算不正確的是選項D，故選：D.2．(2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)，滿足且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：C【解析】取，則有，即，又因為所以，所以，所以.故選：C3．(2023·全國·河源市河源中學模擬預測）已知實數(shù)x滿足，，，那么的值為(

)A．0 B．1 C．2 D．答案：C【解析】由兩邊同時乘x可得：，又，因此．由，即，可得，∴，∴．故選：C﹒4．(2023·江蘇·高三專題練習）下列求導數(shù)運算正確的有（

）A． B．C． D．答案：AD【解析】A：，故正確；B：，故錯誤；C：，故錯誤；D：，故正確.故選：AD5．(2023·全國·高三專題練習）求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）y=x（x2）；（2）y=（1）（1）；（3）y=xtanx；（4）y=x﹣sincos；（5）y=3lnx+ax（a>0，且a≠1）.【解】解：（1）y=x（x2）=x3+1；則函數(shù)的導數(shù)y′=3x2.（2）y=（1）（1）=1，則y′；（3）y=xtanx，則y′；（4）y=x﹣sinsinx；則y′=1cosx.y′axlna.考點2導數(shù)的幾何意義[名師點睛]利用導數(shù)求切線方程的一般過程已知曲線y＝f(x)過點P(x0，y0)，求曲線過點P的切線方程，需分點P是切點和不是切點兩種情況求解：1．若P(x0，y0)是切點，則曲線的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)；2．若P(x0，y0)不是切點，則分以下幾個步驟：(1)設出切點坐標P′(x1，y1)．(2)寫出過P′(x1，y1)的切線方程y－y1＝f′(x1)·(x－x1)．(3)將點P(x0，y0)的坐標代入切線方程求出x1.(4)將x1的值代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)得到所求切線方程．[提示]“在”和“過”的區(qū)別：(1)“曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線”指點P(x0，y0)是切點，切線的斜率k＝f′(x0)；(2)“曲線y＝f(x)過點P(x0，y0)的切線”指點P(x0，y0)只是切線上一點，不一定是切點．[典例]1．(2023·廣東茂名·模擬預測）曲線在點處的切線方程為______．答案：【解析】，則曲線在處的切線斜率，∴切線方程為，即．故答案為：．2．(2023·全國·高三專題練習）已知f(x)＝x2，則過點P(－1，0)，曲線y＝f(x)的切線方程為__________答案：或【解析】點P(－1，0)不在f(x)＝x2上，設切點坐標為(x0，)，由f(x)＝x2可得，∴切線的斜率.切線方程為.∵切線過點P(－1，0)，∴k＝＝2x0，解得x0＝0或x0＝－2，∴k＝0或－4，故所求切線方程為y＝0或4x＋y＋4＝0.故答案為：或3．(2023·河南·三模）曲線在點A處的切線方程為，則切點A的坐標為______．答案：【解析】由，得，因為，所以，則切點A的橫坐標為－1，所以，解得，所以A的坐標為．故答案為：.4．(2023·湖南湘潭·三模）已知直線l是曲線與的公共切線，則l的方程為___________.答案：或【解析】設與曲線相切于點，與曲線相切于點1），則，整理得，解得或，當時，的方程為；當時，的方程為.故答案為：或.[舉一反三]1．(2023·山東棗莊·三模）曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】設，則，直線的斜率為，由題意可得，解得.故選：C.2．(2023·重慶一中高三階段練習）已知偶函數(shù)，當時，，則的圖象在點處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】當時，，，解得：，當時，；當時，，，又為偶函數(shù)，，即時，，則，.故選：A.3．(2023·湖北·宜城市第一中學高三階段練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．且答案：D【解析】作出的圖象，由圖可知，若過點可以作曲線的兩條切線，點應在曲線外，設切點為，所以，，所以切線斜率為，整理得，即方程在上有兩個不同的解，所以，，所以且.故選：D．4．(2023·山東濰坊·二模）已知函數(shù)，直線，點在函數(shù)圖像上，則以下說法正確的是(

)A．若直線l是曲線的切線，則B．若直線l與曲線無公共點，則C．若，則點P到直線l的最短距離為D．若，當點P到直線l的距離最短時，答案：D【解析】f(x)定義域為(0，＋)，，若直線l是曲線的切線，則，代入得，，故A錯誤；當t＝－2時，當在點P處的切線平行于直線l時，P到切線直線l的最短距離，則，故D正確；此時，故P為，P到l：的距離為，故C錯誤；設，令，則，當時，，單調(diào)遞減，當，，單調(diào)遞增，∴，又時，；時，，∴若直線l與曲線無公共點，則t＜3，故B錯誤．故選：D．5．(2023·全國·高三專題練習）已知直線與函數(shù)的圖象相切，則切點的橫坐標為A． B． C．2 D．答案：A【解析】由可得，設切點坐標為，則，解得，故選A.6．(2023·福建泉州·模擬預測）若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為（

）A． B．1 C．e D．答案：B【解析】設直線與曲線相切于點，直線與曲線相切于點，則，且，所以，，且，所以，令，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，且，，所以當時，，因為，，即，所以，所以，故故選：B7．(2023·全國·高三專題練習）若兩曲線與存在公切線，則正實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】設公切線與曲線和的交點分別為，，其中，對于有，則上的切線方程為，即，對于有，則上的切線方程為，即，所以，有，即，令，，令，得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，故，即.故選：B.8．（多選）(2023·河北保定·二模）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）A． B． C． D．答案：AD【解析】解：設直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，對于函數(shù)，，則，解得，所以，即.對于函數(shù)，，則，又，所以，