江西省宜春市昌黎實驗學校2022-2023學年高三數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,,則()A. B.C.或 D.2.設,命題“存在,使方程有實根”的否定是()A.任意,使方程無實根B.任意,使方程有實根C.存在,使方程無實根D.存在,使方程有實根3.空氣質量指數(shù)是反映空氣狀況的指數(shù),指數(shù)值趨小,表明空氣質量越好,下圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢,下列敘述錯誤的是()A.這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B.這20天中的中度污染及以上(指數(shù))的天數(shù)占C.該市10月的前半個月的空氣質量越來越好D.總體來說,該市10月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的()A.2 B.3 C. D.5.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動;“書”,指各種歷史文化知識;“數(shù)”,數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“樂”不排在第一節(jié),“射”和“御”兩門課程不相鄰,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()種.A.408 B.120 C.156 D.2406.已知復數(shù)滿足,則的值為()A. B. C. D.27.函數(shù)在上的圖象大致為()A. B.C. D.8.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),當x∈[﹣3,﹣2]時,f(x)=﹣x﹣2,則()A. B.f(sin3)<f(cos3)C. D.f(2020)>f(2019)9.已知雙曲線的實軸長為,離心率為,、分別為雙曲線的左、右焦點,點在雙曲線上運動,若為銳角三角形,則的取值范圍是()A. B. C. D.10.設、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則()A. B.0 C.1 D.311.已知角的終邊經過點,則A. B.C. D.12.棱長為2的正方體內有一個內切球,過正方體中兩條異面直線,的中點作直線,則該直線被球面截在球內的線段的長為()A. B. C. D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若滿足,則目標函數(shù)的最大值為______.14.已知,滿足約束條件,則的最小值為__________.15.已知平面向量,的夾角為,且,則=____16.如圖,某地一天從時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù),則這段曲線的函數(shù)解析式為______________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知.(1)求不等式的解集;(2)記的最小值為,且正實數(shù)滿足.證明:.18.(12分)設橢圓的離心率為,圓與軸正半軸交于點,圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為.(1)求橢圓的方程;(2)設圓上任意一點處的切線交橢圓于點,試判斷是否為定值?若為定值,求出該定值;若不是定值,請說明理由.19.(12分)已知.(1)解關于x的不等式:;(2)若的最小值為M,且,求證:.20.(12分)已知拋物線的焦點為,準線與軸交于點,點在拋物線上,直線與拋物線交于另一點.(1)設直線,的斜率分別為,,求證:常數(shù);(2)①設的內切圓圓心為的半徑為,試用表示點的橫坐標;②當?shù)膬惹袌A的面積為時,求直線的方程.21.(12分)某動漫影視制作公司長期堅持文化自信,不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材,創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品,獲得市場和廣大觀眾的一致好評,同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關于年份代號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表(已知該公司的年利潤與年份代號線性相關).年份年份代號年利潤(單位:億元)(Ⅰ)求關于的線性回歸方程,并預測該公司年(年份代號記為)的年利潤;(Ⅱ)當統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由(Ⅰ)中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時,稱該年為級利潤年,否則稱為級利潤年.將(Ⅰ)中預測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值,現(xiàn)從年至年這年中隨機抽取年,求恰有年為級利潤年的概率.參考公式:,.22.(10分)已知頂點是坐標原點的拋物線的焦點在軸正半軸上,圓心在直線上的圓與軸相切,且關于點對稱.(1)求和的標準方程;(2)過點的直線與交于,與交于,求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

首先求出集合,再根據(jù)補集的定義計算可得;【詳解】解:∵,解得∴,∴.故選:D【點睛】本題考查補集的概念及運算,一元二次不等式的解法,屬于基礎題.2、A【解析】

只需將“存在”改成“任意”,有實根改成無實根即可.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題,知“存在,使方程有實根”的否定是“任意,使方程無實根”.故選:A【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定,此類問題要注意在兩個方面作出變化:1.量詞,2.結論,是一道基礎題.3、C【解析】

結合題意,根據(jù)題目中的天的指數(shù)值,判斷選項中的命題是否正確.【詳解】對于,由圖可知天的指數(shù)值中有個低于,個高于,其中第個接近,第個高于,所以中位數(shù)略高于,故正確.對于,由圖可知天的指數(shù)值中高于的天數(shù)為,即占總天數(shù)的,故正確.對于,由圖可知該市月的前天的空氣質量越來越好,從第天到第天空氣質量越來越差,故錯誤.對于,由圖可知該市月上旬大部分指數(shù)在以下,中旬大部分指數(shù)在以上,所以該市月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好,故正確.故選:【點睛】本題考查了對折線圖數(shù)據(jù)的分析,讀懂題意是解題關鍵,并能運用所學知識對命題進行判斷,本題較為基礎.4、B【解析】

運行程序,依次進行循環(huán),結合判斷框,可得輸出值.【詳解】起始階段有,,第一次循環(huán)后,,第二次循環(huán)后,,第三次循環(huán)后,,第四次循環(huán)后,,所有后面的循環(huán)具有周期性,周期為3,當時,再次循環(huán)輸出的,,此時,循環(huán)結束,輸出,故選:B【點睛】本題主要考查程序框圖的相關知識,經過幾次循環(huán)找出規(guī)律是關鍵,屬于基礎題型.5、A【解析】

利用間接法求解,首先對6門課程全排列,減去“樂”排在第一節(jié)的情況,再減去“射”和“御”兩門課程相鄰的情況,最后還需加上“樂”排在第一節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰的情況;【詳解】解:根據(jù)題意,首先不做任何考慮直接全排列則有(種),當“樂”排在第一節(jié)有(種),當“射”和“御”兩門課程相鄰時有(種),當“樂”排在第一節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰時有(種),則滿足“樂”不排在第一節(jié),“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有(種),故選:.【點睛】本題考查排列、組合的應用,注意“樂”的排列對“射”和“御”兩門課程相鄰的影響,屬于中檔題.6、C【解析】

由復數(shù)的除法運算整理已知求得復數(shù)z,進而求得其模.【詳解】因為,所以故選:C【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算與求復數(shù)的模,屬于基礎題.7、A【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性,再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得;【詳解】解:依題意,,故函數(shù)為偶函數(shù),圖象關于軸對稱,排除C;而,排除B;,排除D.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的識別,函數(shù)的奇偶性的應用,屬于基礎題.8、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的周期性以及x∈[﹣3,﹣2]的解析式,可作出函數(shù)f(x)在定義域上的圖象,由此結合選項判斷即可.【詳解】由f(x+2)=f(x),得f(x)是周期函數(shù)且周期為2,先作出f(x)在x∈[﹣3,﹣2]時的圖象,然后根據(jù)周期為2依次平移,并結合f(x)是偶函數(shù)作出f(x)在R上的圖象如下,選項A,,所以,選項A錯誤;選項B,因為,所以,所以f(sin3)<f(﹣cos3),即f(sin3)<f(cos3),選項B正確;選項C,,所以,即,選項C錯誤;選項D,,選項D錯誤.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)性質的綜合運用,考查函數(shù)值的大小比較,考查數(shù)形結合思想,屬于中檔題.9、A【解析】

由已知先確定出雙曲線方程為,再分別找到為直角三角形的兩種情況,最后再結合即可解決.【詳解】由已知可得,,所以,從而雙曲線方程為,不妨設點在雙曲線右支上運動,則,當時,此時,所以,,所以;當軸時,,所以,又為銳角三角形,所以.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的性質及其應用,本題的關鍵是找到為銳角三角形的臨界情況,即為直角三角形,是一道中檔題.10、C【解析】

先根據(jù)奇偶性,求出的解析式,令,即可求出?!驹斀狻恳驗?、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),,用替換,得,化簡得,即令,所以,故選C?!军c睛】本題主要考查函數(shù)性質奇偶性的應用。11、D【解析】因為角的終邊經過點,所以,則,即.故選D.12、C【解析】

連結并延長PO,交對棱C1D1于R,則R為對棱的中點,取MN的中點H,則OH⊥MN,推導出OH∥RQ,且OH=RQ=,由此能求出該直線被球面截在球內的線段的長.【詳解】如圖,MN為該直線被球面截在球內的線段連結并延長PO,交對棱C1D1于R,則R為對棱的中點,取MN的中點H,則OH⊥MN,∴OH∥RQ,且OH=RQ=,∴MH===,∴MN=.故選:C.【點睛】本題主要考查該直線被球面截在球內的線段的長的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查運算求解能力,是中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-1【解析】

由約束條件作出可行域,化目標函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖,化目標函數(shù)為,由圖可得,當直線過點時,直線在軸上的截距最大,由得即,則有最大值,故答案為.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數(shù)的最值,屬簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實線還是虛線);(2)找到目標函數(shù)對應的最優(yōu)解對應點(在可行域內平移變形后的目標函數(shù),最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.14、【解析】

作出約束條件所表示的可行域,利用直線截距的幾何意義,即可得答案.【詳解】畫出可行域易知在點處取最小值為.故答案為:【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃的最值,考查數(shù)形結合思想,考查運算求解能力,屬于基礎題.15、1【解析】

根據(jù)平面向量模的定義先由坐標求得,再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義求得;將化簡并代入即可求得.【詳解】,則,平面向量,的夾角為,則由平面向量數(shù)量積定義可得,根據(jù)平面向量模的求法可知,代入可得,解得,故答案為:1.【點睛】本題考查了平面向量模的求法及簡單應用,平面向量數(shù)量積的定義及運算,屬于基礎題.16、,【解析】

根據(jù)圖象得出該函數(shù)的最大值和最小值,可得,,結合圖象求得該函數(shù)的最小正周期,可得出,再將點代入函數(shù)解析式,求出的值,即可求得該函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可知,,,,,從題圖中可以看出,從時是函數(shù)的半個周期,則,.又,,得,取,所以,.故答案為:,.【點睛】本題考查由圖象求函數(shù)解析式,考查計算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)或;(2)見解析【解析】

(1)根據(jù),利用零點分段法解不等式,或作出函數(shù)的圖像,利用函數(shù)的圖像解不等式;(2)由(1)作出的函數(shù)圖像求出的最小值為,可知,代入中,然后給等式兩邊同乘以,再將寫成后,化簡變形,再用均值不等式可證明.【詳解】(1)解法一:1°時,,即,解得;2°時,,即,解得;3°時,,即,解得.綜上可得,不等式的解集為或.解法二:由作出圖象如下:由圖象可得不等式的解集為或.(2)由所以在上單調遞減,在上單調遞增,所以,正實數(shù)滿足,則,即,(當且僅當即時取等號)故,得證.【點睛】此題考查了絕對值不等式的解法,絕對值不等式的性質和均值不等式的運用,考查了分類討論思想和轉化思想,屬于中檔題.18、(1);(2)見解析.【解析】

(I)結合離心率,得到a,b,c的關系,計算A的坐標,計算切線與橢圓交點坐標,代入橢圓方程,計算參數(shù),即可.(II)分切線斜率存在與不存在討論,設出M,N的坐標,設出切線方程,結合圓心到切線距離公式,得到m,k的關系式,將直線方程代入橢圓方程,利用根與系數(shù)關系,表示,結合三角形相似,證明結論,即可.【詳解】(Ⅰ)設橢圓的半焦距為,由橢圓的離心率為知,,∴橢圓的方程可設為.易求得,∴點在橢圓上,∴,解得,∴橢圓的方程為.(Ⅱ)當過點且與圓相切的切線斜率不存在時,不妨設切線方程為,由(Ⅰ)知,,,∴.當過點且與圓相切的切線斜率存在時,可設切線的方程為,,∴,即.聯(lián)立直線和橢圓的方程得,∴,得.∵,∴,,∴.綜上所述,圓上任意一點處的切線交橢圓于點,都有.在中,由與相似得,為定值.【點睛】本道題考查了橢圓方程的求解,考查了直線與橢圓位置關系,考查了向量的坐標運算,難度偏難.19、(1);(2)證明見解析.【解析】

(1)分類討論求解絕對值不等式即可;(2)由(1)中所得函數(shù),求得最小值,再利用均值不等式即可證明.【詳解】(1)當時,等價于,該不等式恒成立,當時,等價于,該不等式解集為,當時,等價于,解得,綜上,或,所以不等式的解集為.(2),易得的最小值為1,即因為,,,所以,,,所以,當且僅當時等號成立.【點睛】本題考查利用分類討論求解絕對值不等式,涉及利用均值不等式證明不等式,屬綜合中檔題.20、(1)證明見解析;(2)①;②.【解析】

(1)設過的直線交拋物線于,,聯(lián)立,利用直線的斜率公式和韋達定理表示出,化簡即可;(2)由(1)知點在軸上,故,設出直線方程,求出交點坐標,因為內心到三角形各邊的距離相等且均為內切圓半徑,列出方程組求解即可.【詳解】(1)設過的直線交拋物線于,,聯(lián)立方程組,得:.于是,有:,又,;(2)①由(1)知點在軸上,故,聯(lián)立的直線方程:.,又點在拋物線上,得,又,;②由題得,(解法一)所以直線的方程為(解法二)設內切圓半徑為,則.設直線的斜率為,則:直線的方程為:代入直線的直線方程,可得于是有:得,又由(1)可設內切圓的圓心為則,即:,解得:所以,直線的方程為:.【點睛】本題主要考查了拋物線的性質,直線與拋物線相關的綜合問題的求解,考查了學生的運算求解與邏輯推理能力.21、(Ⅰ),該公司年年利潤的預測值為億元;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)求出和的值,將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式,求得和的值,進而可求得關于的線性回歸方程,然后將代入回歸直線方程,可得出該公司年年利潤的估計值;(Ⅱ)利用(

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