四川省廣安市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中文試題含解析

Page16一、單選題（本大題共12小題，共60.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.利用斜二測畫法得到的①三角形的直觀圖確定是三角形；②正方形的直觀圖確定是菱形；③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；④菱形的直觀圖確定是菱形.以上結(jié)論正確的是（）A.①② B.① C.③④ D.①②③④【答案】B【解析】【分析】依據(jù)斜二測畫法的學(xué)問求得正確答案.【詳解】①，依據(jù)斜二測畫法可知，三角形的直觀圖確定是三角形，①正確.②，依據(jù)斜二測畫法可知，正方形的直觀圖鄰邊不相等，不是菱形，②錯誤.③，依據(jù)斜二測畫法可知，等腰梯形的直觀圖，兩底邊不相等，不是平行四邊形，③錯誤.④，依據(jù)斜二測畫法可知，菱形的直觀圖鄰邊不相等，不是菱形，④錯誤.故選：B2.已知直線的傾斜角是，直線的傾斜角是，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】依據(jù)兩條垂直直線與傾斜角的關(guān)系求解即可，留意探討直線的傾斜角是否為.【解答】1.當直線，的傾斜角分別為，或，時，；2.當直線，的斜率都存在時，則或，因此；綜上可得：.故選：C.3.直線與直線平行，則它們的距離為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】直線3x+4y﹣3=0即6x+8y﹣6=0，它直線6x+my+14=0平行，∴m=8，則它們之間的距離是故答案為2．4.若直線與直線垂直，則（）A.或0 B. C.或0 D.1【答案】A【解析】【分析】依據(jù)直線垂直：即可求解.【詳解】由題意可得，解得或0.故選：A5.圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】兩圓的方程消掉二次項后的二元一次方程即為公共弦所在直線方程.【詳解】由x2＋y2－4＝0與x2＋y2－4x＋4y－12＝0兩式相減得：，即.故選：B6.圓臺的體積為7π，上、下底面的半徑分別為1和2，則圓臺的高為()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【詳解】由題意，V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3.故選A.7.設(shè)圓，圓，則它們公切線的條數(shù)是（）.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】求出圓與圓心與半徑，確定兩圓的位置關(guān)系，依據(jù)兩圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】圓，圓心為，半徑為3；圓，圓心為，半徑為，兩圓的圓心距為，∵，∴兩個圓相交，∴兩個圓的公切線有2條.故選：B.【點睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，考查了公切線，屬于基礎(chǔ)題.8.已知圓內(nèi)一點P(2，1)，則過P點的最短弦所在的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)圓心，由圓的對稱性可知過點與垂直的直線被圓所截的弦長最短【詳解】由題意可知，當過圓心且過點時所得弦為直徑，當與這條直徑垂直時所得弦長最短，圓心為，，則由兩點間斜率公式可得，所以與垂直的直線斜率為，則由點斜式可得過點的直線方程為，化簡可得，故選：B9.點是圓上的不同兩點，且點關(guān)于直線對稱，則該圓的半徑等于（）A. B. C.3 D.1【答案】C【解析】【分析】圓上的點關(guān)于直線對稱，則直線經(jīng)過圓心，求出圓的圓心，代入直線方程，即可求出k，然后求出半徑．【詳解】圓的圓心坐標，因為點M，N在圓上，且點M，N關(guān)于直線l：x-y+1=0對稱，所以直線l：x-y+1=0經(jīng)過圓心，所以，k=4．所以圓的方程為：即，圓的半徑為3．故選C．【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的一般方程的應(yīng)用，考查計算實力．10.已知兩點，，過點的直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析：依據(jù)兩點間的斜率公式，利用數(shù)形結(jié)合即可求出直線斜率的取值范圍．詳解：∵點A（﹣3，4），B（3，2），過點P（1，0）的直線L與線段AB有公共點，∴直線l的斜率k≥kPB或k≤kPA，∵PA的斜率為=﹣1，PB的斜率為=1，∴直線l的斜率k≥1或k≤﹣1，故選D．點睛：本題主要考查直線的斜率的求法，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．直線的傾斜角和斜率的變更是緊密相聯(lián)的，tana=k,一般在分析角的變更引起斜率變更的過程時，是要畫出正切的函數(shù)圖像，再分析.11.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，分別求出，再依據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因為是的中點，所以，又，所以三點共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.12.如圖，四棱錐的底面為矩形，底面，，，點是的中點，過，，三點的平面與平面的交線為，則下列說法錯誤的是（）A.平面B.C.直線與所成角的正切值為D.平面截四棱錐所得的上下兩部分幾何體的體積之比為【答案】C【解析】【分析】依據(jù)線面平行的判定定理推斷A，由線面垂直的性質(zhì)推斷B，求出異面直線所成角的正切值推斷C，作出交線，依據(jù)組合體體積公式計算體積后推斷D．【詳解】因為，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，而平面，平面，所以平面，A正確；平面，平面，所以，所以，B正確；直線與所成角即，在中，C錯；取中點，因為是中點，則，所以，即為直線，連接，是矩形，，則，是的中位線，所以，所以，是的中線，，，所以，從而，所以．D正確．故選：C．二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知圓的方程為.則實數(shù)的取值范圍______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)即可.【詳解】解：由題意得，即，，故答案為：.【點睛】考查二元二次方程表示圓的條件，基礎(chǔ)題.14.直線的傾斜角為45°，則實數(shù)a=________.【答案】【解析】【分析】由題可得斜率為1，列出方程即可求出.【詳解】依題意可知，所以，且，解得或（舍去）.故答案為：.15.據(jù)監(jiān)測，在海濱某城市旁邊的海面有一臺風(fēng).臺風(fēng)中心位于城市的東偏南方向、距離城市的海面處，并以的速度向西偏北方向移動（如圖示）.假如臺風(fēng)侵襲范圍為圓形區(qū)域，半徑，臺風(fēng)移動的方向與速度不變，那么該城市受臺風(fēng)侵襲的時長為_____.【答案】小時【解析】【分析】當城市距離臺風(fēng)中心小于等于120km時，城市起先受到臺風(fēng)侵襲，所以只要城市距離臺風(fēng)移動方向大于等于120km即可；由題意，畫出圖形解三角形．【詳解】解：由題意如圖，設(shè)臺風(fēng)中心到達Q，起先侵襲城市，到達O則結(jié)束侵襲.△AQP中，AQ＝120km，AP＝120km，∠APQ＝30°，∠PAQ＝180°﹣30°﹣∠Q＝150°﹣∠Q，由正弦定理得到，所以∠＝120°,∠=60°，所以△AQO為等邊三角形.所以所以該城市會受到臺風(fēng)的侵襲時長為小時．【點睛】本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用；關(guān)鍵是由題意將問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題16.阿波羅尼斯是古希臘聞名的數(shù)學(xué)家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的探討，阿波羅尼斯圓就是他的探討成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點為軸上一點，且，若點，則的最小值為_______.【答案】【解析】【分析】先由阿波羅尼斯圓的定義求出定點坐標，再由結(jié)合三點共線求出最小值即可.【詳解】設(shè)，，所以，又，所以.因為且，所以，整理可得，又動點M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因為，所以的最小值為，當且僅當三點共線時取等.故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.求滿意下列條件的直線方程（1）經(jīng)過點(2，-3)，傾斜角是直線y=x傾斜角的2倍;（2）經(jīng)過點P(5，-2)，且與y軸平行;（3）過P(-2，3)，Q(5，-4)兩點.【答案】（1）x-y-2-3=0；（2）x=5；（3）x+y-1=0.【解析】【分析】（1）由已知求得所求直線的傾斜角為60°，其斜率為，依據(jù)直線的點斜式可求得直線方程.（2）由于與y軸平行的直線，其斜率k不存在，由直線上的點的橫坐標可求得直線方程.（3）由兩點的坐標可求得直線斜率，依據(jù)直線的點斜式可求得直線方程.【詳解】解:（1）∵直線y=x的斜率為，∴其傾斜角為30°.∴所求直線的傾斜角為60°，其斜率為.∴所求直線方程為y+3=(x-2)，即x-y-2-3=0.（2）與y軸平行的直線，其斜率k不存在，不能用點斜式方程表示.但直線上點的橫坐標均為5，故直線方程可記為x=5.（3）過P(-2，3)，Q(5，-4)兩點的直線斜率kPQ==-1.∵直線過點P(-2，3)，∴由直線的點斜式方程可得直線方程為y-3=-(x+2)，即x+y-1=0.【點睛】本題考查依據(jù)已知條件選擇合適的方法求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題.18.分別依據(jù)下列條件，求圓的方程：（1）過兩點，，且圓心在直線上；（2）半徑為，且與直線切于點.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)圓心坐標為，再依據(jù)圓心到兩點，的距離相等，求出的值，可得圓心坐標和半徑，從而求得圓的標準方程；（2）設(shè)圓心坐標為，利用半徑為，且與直線切于點，建立方程組，求出圓心坐標，即可求得圓的方程.【小問1詳解】由于圓心在直線上，可設(shè)圓心坐標為，再依據(jù)圓過兩點，，可得，解得，可得圓心為，半徑為，故所求的圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)圓心坐標為，則∴，或，，∴圓的方程為或.19.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點.(1)求證：PA⊥BD；(2)求證：平面BDE⊥平面PAC；(3)當PA∥平面BDE時，求三棱錐E－BCD的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）要證明線線垂直，一般轉(zhuǎn)化為證明線面垂直；（Ⅱ）要證明面面垂直，一般轉(zhuǎn)化為證明線面垂直、線線垂直；（Ⅲ）由即可求解.試題解析:（I）因為，，所以平面，又因為平面，所以.（II）因為，為中點，所以，由（I）知，，所以平面.所以平面平面.（III）因為平面，平面平面，所以.因為為的中點，所以，.由（I）知，平面，所以平面.所以三棱錐的體積.【名師點睛】線線、線面的位置關(guān)系以及證明是高考的重點內(nèi)容，而其中證明線面垂直又是重點和熱點，要證明線面垂直，依據(jù)判定定理可轉(zhuǎn)化為證明線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，也可依據(jù)性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為證明面面垂直.20.已知M(x，y)圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上隨意一點，且點Q(－2,3).（1）求|MQ|的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值.【答案】（1）最大值為6，最小值為2；（2）最大值為2＋，最小值為2－.【解析】【分析】（1）求出圓心C的坐標為(2,7)，半徑r＝2，即得解；（2）可知表示直線MQ的斜率k.直線MQ的方程kx－y＋2k＋3＝0，解不等式≤2即得解.【詳解】（1）由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圓心C的坐標為(2,7)，半徑r＝2.又|QC|＝，∴|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.（2）可知表示直線MQ的斜率k.設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.∵直線MQ與圓C有交點，∴≤2，可得2－≤k≤2＋，∴的最大值為2＋，最小值為2－.21.已知圓的圓心在軸的正半軸上，與軸相切，并且被直線截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）過點作圓的兩條切線，切點分別為，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意設(shè)出方程，依據(jù)弦長即可求出；（2）可得在以為直徑的圓上，求出中點和即可得出圓的方程，和圓C聯(lián)立可求出直線的方程.【小問1詳解】設(shè)圓的方程為，因為到直線距離為，所以，解得，所以圓的方程為；【小問2詳解】因為是圓的切線，所以，所以在以為直徑的圓上.中點坐標為，，所以以與為直徑端點圓的方程為.聯(lián)立方程組，兩式相減得.所以直線的方程為.22.已知圓，直線，.（1）求證：對，直線與圓總有兩個不同的交點；（2）求弦的中點的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線；（3）是否存在實數(shù)，使得圓上有四點到直線的距離為？若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由.【答案】（1）見解析；（2）M的軌跡方程是，它是一個以為圓心，以為半徑的圓；（3）或.【解析】【分析】（1）依據(jù)題設(shè)可以運用圓心與直線的距離或考慮動直線過定點分析推斷；（2）借助題設(shè)條件運用圓心與弦中點的連線與直線垂直建立方程求解；（3）依據(jù)題設(shè)借助圖形的直觀，運用圓心距與直線的位置和數(shù)量關(guān)系建立不等式：【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為，所以圓心C到直線的距離．所以直線與圓C相交，即直線與圓總有兩個不同的交點；或：直線的方程可化為，無論m怎么變更，直線過定點，由于，所以點是圓C內(nèi)一點，故直線與圓總有兩個不同的交點．（2）設(shè)中點為，因為直線恒過定點，當直線的斜率存在