人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)專題強(qiáng)化練3利用空間向量解決探索性問(wèn)題含答案

專題強(qiáng)化練3利用空間向量解決探索性問(wèn)題1.如圖,正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn),二面角A-DF-B的大小為60°.(1)求證:AM∥平面BDE;(2)試在線段AC上找一點(diǎn)P,使得PF與CD所成的角為60°.2.(2024北京豐臺(tái)期中)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=3,M,N分別為棱AB,B1C1的中點(diǎn),BC1與B1C交于點(diǎn)P.(1)求直線AA1與平面A1CM所成角的正弦值;(2)求直線BC1到平面A1CM的距離;(3)在線段A1N上是否存在點(diǎn)Q,使得PQ∥平面A1CM?若存在,求出A13.(2023重慶八中月考)如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,四邊形ABCE是邊長(zhǎng)為4的菱形,且∠BCE=60°.以BE為折痕將△BCE折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)C1的位置,且AC1=26,如圖2.(1)證明:平面BC1E⊥平面ABED;(2)在棱DC1上是否存在點(diǎn)P,使得P到平面ABC1的距離為2155?若存在,求出直線EP與平面ABC4.(2022北京師范大學(xué)第二附屬中學(xué)期末)在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,DC=AD=1,AB=2,∠PAD=45°,E是PA的中點(diǎn),F在線段AB上,且CF·(1)求證:DE∥平面PBC;(2)求二面角F-PC-B的余弦值;(3)在線段PA上是否存在點(diǎn)Q,使得FQ與平面FPC所成角的余弦值是635.(2024浙江名校聯(lián)盟模擬)如圖,在四面體A-BCD中,E,F分別是線段AD,BD的中點(diǎn),∠ABD=90°,EC=2,AB=BD=2CF=2.(1)證明:EF⊥平面BCD;(2)當(dāng)BC的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角A-EC-B的余弦值為136.(2023山東德州第一中學(xué)月考)如圖,P為圓錐的頂點(diǎn),O是圓錐底面的圓心,AC為底面直徑,△ABD為底面圓O的內(nèi)接正三角形,且邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)E在母線PC上,且AE=3,CE=1.(1)求證:PO∥平面BDE;(2)求證:平面BDE⊥平面ABD;(3)若點(diǎn)M為線段PO上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線DM與平面ABE所成角的正弦值最大時(shí),求點(diǎn)M到平面ABE的距離.

答案與分層梯度式解析專題強(qiáng)化練3利用空間向量解決探索性問(wèn)題1.解析(1)證明:設(shè)AC∩BD=N,連接NE,∵AC∥EF,AC=EF,M是線段EF的中點(diǎn),N是線段AC的中點(diǎn),∴AN∥EM,AN=EM,∴四邊形AMEN為平行四邊形,∴AM∥EN,又∵EN?平面BDE,AM?平面BDE,∴AM∥平面BDE.（2）易得CE,CB,CD兩兩互相垂直,故以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CD,CB(?t,0,0),BD易知AF⊥AB,AB⊥AD,又AF∩AD=A,AF,AD?平面ADF,∴AB⊥平面ADF,∴AB=(-t,0,0)為平面DAF的一個(gè)法向量.設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n令x=1,則y=1,z=-t,∴n=(1,1,-t).設(shè)二面角A-DF-B的大小為θ,則|cosθ|=n·AB|設(shè)P(a,a,0)(0≤a≤2),則PF=(又CD=(∴cos60°=2×(2-a∴當(dāng)P為線段AC的中點(diǎn)時(shí),直線PF與CD所成的角為60°.2.解析由題意得AA1,AB,AC兩兩相互垂直.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AC,AB,P1,(1)易得AA設(shè)平面A1CM的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n·A1所以cos<AA1,n>=所以直線AA1與平面A1CM所成角的正弦值為27(2)連接AC1,交A1C于點(diǎn)G,連接GM.易得G為AC1的中點(diǎn),又M為AB的中點(diǎn),所以GM是△AC1B的中位線,所以BC1∥GM,又GM?平面A1CM,BC1?平面A1CM,所以BC1∥平面A1CM.所以直線BC1到平面A1CM的距離等于點(diǎn)B到平面A1CM的距離.易得BA由(1)得平面A1CM的一個(gè)法向量為n=(3,6,2).所以點(diǎn)B到平面A1CM的距離d=|B所以直線BC1到平面A1CM的距離為67（3）設(shè)A1Q(λ,λ,0)=λ由(1)知平面A1CM的一個(gè)法向量為n=(3,6,2).因?yàn)镻Q∥平面A1CM,所以PQ·n=0,即3×(λ-1)+6×(λ-1)+2×32=0,解得λ=2所以線段A1N上存在點(diǎn)Q,使得PQ∥平面A1CM,此時(shí)A13.解析(1)證明:取BE的中點(diǎn)F,連接AF,C1F.因?yàn)樵陬}圖1中,四邊形ABCE是邊長(zhǎng)為4的菱形,且∠BCE=60°,所以在題圖2中,△ABE,△BEC1均為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,所以AF⊥BE,C1F⊥BE,且AF=C1F=23.又AC1=26,所以AF2+C1F2=AC12,所以AF⊥C又因?yàn)锳F∩BE=F,AF,BE?平面ABE,所以C1F⊥平面ABED.因?yàn)镃1F?平面BEC1,所以平面BC1E⊥平面ABED.(2)由(1)得,AF,C1F,BE兩兩互相垂直.建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz,如圖所示:易得A(23,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2設(shè)DP=λDC所以C1設(shè)平面ABC1的一個(gè)法向量為v=(x,y,z),則v令x=1,則y=3,z=1,故v=(1,3,1),則點(diǎn)P到平面ABC1的距離d=|C1=2155,解得λ=12或λ=3設(shè)直線EP與平面ABC1所成的角為θ,則sinθ=|cos<EP,v>|=|EP所以直線EP與平面ABC1所成角的正弦值為1554.解析(1)證明:證法一:取PB的中點(diǎn)M,連接EM,CM.∵E是PA的中點(diǎn),∴EM∥AB,且EM=12又∵CD∥AB,且CD=12∴四邊形CDEM為平行四邊形,∴DE∥CM.∵CM?平面PBC,DE?平面PBC,∴DE∥平面PBC.證法二:∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥DC,PD⊥AD.∵AB∥DC,AB⊥AD,∴AD⊥DC.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.∵PD⊥AD,∠PAD=45°,AD=1,∴PD=1,∴D(0,0,0),B(1,2,0),C(0,1,0),P(0,0,1),E1DE=設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),則m·∴m=(-1,1,1).∵m·DE=0,DE?平面PBC,∴DE∥平面PBC.(2)由(1)知BD=(-1,-2,0).設(shè)點(diǎn)F(1,t,0),0≤t≤2,則CF=(1,t-1,0).∵CF·BD=0,∴-1-2(t-1)=0,解得t=∴F1,設(shè)平面FPC的一個(gè)法向量為n=(x',y',z'),則n·CP=由(1)知平面PBC的一個(gè)法向量為m=(-1,1,1),則|cos<m,n>|=|m由圖可知,二面角F-PC-B為銳二面角,∴二面角F-PC-B的余弦值為33(3)由(1)(2)知,A(1,0,0),P(0,0,1),F1,∴AP=(?1,0,1),設(shè)AQ=λ則FQ=由(2)知平面FPC的一個(gè)法向量為n=(1,2,2).若FQ與平面FPC所成角的余弦值是63則FQ與平面FPC所成角的正弦值為33∴λ-132λ2+∴在線段PA上存在點(diǎn)Q,使得FQ與平面FPC所成角的余弦值是63,此時(shí)AQ的長(zhǎng)為25.解析(1)證明:因?yàn)镋,F分別是線段AD,BD的中點(diǎn),所以EF∥AB且EF=12又∠ABD=90°,即AB⊥BD,所以EF⊥BD.因?yàn)镋F2+CF2=12+12=(2)2=EC2,所以EF⊥FC.因?yàn)锽D,FC?平面BCD,BD∩FC=F,所以EF⊥平面BCD.(2)因?yàn)辄c(diǎn)F是線段BD的中點(diǎn),且BD=2CF=2,所以△BCD是直角三角形,且BC⊥CD.由(1)知EF⊥平面BCD,所以以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CD,CB所在直線分別為x軸,y軸,過(guò)點(diǎn)C且與FE平行的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)∠BDC=θ0<θ<π易得C(0,0,0),B(0,2sinθ,0),A(0,2sinθ,2),E(cosθ,sinθ,1）,所以EC=(-cosθ,-sinθ,-1),EA=(-cosθ,sinθ,1),EB=(-cosθ,sinθ,-1).設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1),則n令z1=sinθ,得n1=(0,-1,sinθ).設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為n2=(x2,y2,z2),則n令z2=cosθ,得n2=(-1,0,cosθ).由題意得|cos<n1,n2>|=|n1·因?yàn)?<θ<π2,所以0<2θ<π,所以sin2θ=1,所以2θ=π2,所以θ=π4所以當(dāng)BC=2時(shí),二面角A-EC-B的余弦值為136.解析(1)證明:設(shè)AC交BD于點(diǎn)F,連接EF.易知PO⊥平面ABD,因?yàn)锳C?平面ABD,所以PO⊥AC.因?yàn)椤鰽BD是底面圓的內(nèi)接正三角形,AD=3,所以AF=ADsin60°=32又AE=3,CE=1,所以AC2=AE2+CE2,所以∠AEC=90°,即AE⊥PC.因?yàn)锳EAC又PO?平面BDE,EF?平面BDE,所以PO∥平面BDE.(2)證明:由(1)知PO∥EF,PO⊥平面ABD,所以EF⊥平面ABD,又EF?平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABD.(3)由(1)得PO=2EF=3.連接OD.以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn),FA,FB,FE所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖