概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) - 第一章 概率論的基本概念

授課章節(jié)第一章概率論的基本概念目的要求了解隨機(jī)試驗(yàn)，掌握隨機(jī)事件及其概率、全概率公式、獨(dú)立性。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：等可能概型，難點(diǎn)：貝葉斯公式。在自然界與人類社會(huì)生活中，存在著兩類截然不同的現(xiàn)象：確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象。確定性現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象。例如：早晨太陽(yáng)必然從東方升起；在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，純水加熱到100攝氏度必然沸騰；邊長(zhǎng)為a、b的矩形，其面積必為ab等。確定性現(xiàn)象的特征是條件完全決定結(jié)果，它們之間的數(shù)量關(guān)系可以用函數(shù)加以描述。隨機(jī)現(xiàn)象：在一定的條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，而在試驗(yàn)或觀察之前不能預(yù)知確切的結(jié)果。例如：某地區(qū)的年降雨量；打靶射擊時(shí)，彈著點(diǎn)離靶心的距離；投擲一枚均勻的硬幣，可能出現(xiàn)“正面”和“反面”情況等等。隨機(jī)現(xiàn)象的特征是條件不能完全決定結(jié)果，它們之間的數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述。隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量試驗(yàn)或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科?！?隨機(jī)試驗(yàn)我們遇到過各種試驗(yàn)。但在概率論中的試驗(yàn)是一個(gè)含義廣泛的術(shù)語(yǔ)，它包括各種各樣的科學(xué)試驗(yàn)，甚至對(duì)某一事物的某一特征的觀察也認(rèn)為是一種試驗(yàn)。下面舉一些試驗(yàn)的例子：E1：拋一枚硬幣，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況。E2：將一枚硬幣拋三次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況。E3：將一枚硬幣拋三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。E4：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。E5：記錄某城市120急救電話臺(tái)一晝夜接到呼叫的次數(shù)。E6：在一批燈泡中任意抽取一只，測(cè)試它的壽命。E7：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。這些試驗(yàn)都具有以下的特點(diǎn)：可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪個(gè)結(jié)果一定出現(xiàn)或一定不出現(xiàn)。在概率論中，我們將具有上述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)?！?樣本空間、隨機(jī)事件（一）樣本空間對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)，盡管在每次試驗(yàn)之前不能預(yù)知試驗(yàn)的結(jié)果，但試驗(yàn)的一切可能的結(jié)果是已知的，我們把隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果組成的集合稱為的樣本空間，記為。樣本空間的元素，即E的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)。例如，上面的7個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間分別為：E1：拋一枚硬幣，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況。；E2：將一枚硬幣拋三次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況。；E3：將一枚硬幣拋三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。；E4：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。；E5：記錄某城市120急救電話臺(tái)一晝夜接到呼叫的次數(shù)。；E6：在一批燈泡中任意抽取一只，測(cè)試它的壽命。；E7：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。；這里表示最低溫度，表示最高溫度。并設(shè)這一地區(qū)的溫度不會(huì)小于T0，也不會(huì)大于T1。（二）隨機(jī)事件實(shí)際上，在進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)，人們往往關(guān)心滿足某種條件的那些樣本點(diǎn)所組成的子集。例如，若規(guī)定某種燈泡的壽命（小時(shí)）少于500為次品，即在E5中，我們關(guān)心的結(jié)果是否發(fā)生。顯然，是的一個(gè)子集。我們就稱這樣的子集為隨機(jī)事件。隨機(jī)事件常用大寫字母表示，它是樣本空間的子集合。在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱事件發(fā)生。例如在E4中，如果用表示事件“擲出奇點(diǎn)數(shù)”，那么是一個(gè)隨機(jī)事件。由于在一次投擲中，當(dāng)且僅當(dāng)擲出的點(diǎn)數(shù)是1，3，5中的任何一個(gè)時(shí)才稱事件A發(fā)生了，所以我們把事件A表示為。同樣地，若用表示事件“擲出偶點(diǎn)數(shù)”，那么B也是一個(gè)隨機(jī)事件，。對(duì)于一個(gè)試驗(yàn)，在每次試驗(yàn)中必然發(fā)生的事件，稱為的必然事件；在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生的事件，稱為的不可能事件。例如在中，“擲出的點(diǎn)數(shù)不超過6”就是必然事件，用集合表示這一事件就是的樣本空間.而事件“擲出的點(diǎn)數(shù)大于6”是不可能事件，這個(gè)事件不包括的任何一個(gè)可能結(jié)果，所以用空集表示。對(duì)于一個(gè)試驗(yàn)，它的樣本空間是的必然事件；空集是不可能事件。必然事件與不可能事件雖已無隨機(jī)性可言，但在概率論中，常把它們當(dāng)作兩個(gè)特殊的隨機(jī)事件，這樣做是為了數(shù)學(xué)處理上的方便。（三）事件間的關(guān)系與運(yùn)算因?yàn)槭录且粋€(gè)集合，因而事件間的關(guān)系和運(yùn)算是按集合間的關(guān)系和運(yùn)算來處理的。下面給出這些關(guān)系和運(yùn)算在概率中的提法。并根據(jù)“事件發(fā)生”的含義，給出它們?cè)诟怕手械暮x。設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為，而是的子集。1°事件的包含與相等事件“若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生”稱事件B包含事件A，記為或者。若且，則稱事件A與事件B相等，記。2°事件的和事件“與至少有一個(gè)發(fā)生”稱為事件與事件的和，記為。事件發(fā)生意味著：或事件發(fā)生，或事件發(fā)生，或事件與事件都發(fā)生。事件的和可以推廣到多個(gè)事件的情景。設(shè)有個(gè)事件，定義它們的和事件{中至少有一個(gè)發(fā)生}為。3°事件的積事件“與都發(fā)生”稱為事件與事件的積事件，記為，也簡(jiǎn)記為。事件（或）發(fā)生意味著事件發(fā)生且事件也發(fā)生，即與都發(fā)生。類似的，可以定義個(gè)事件的積事件={都發(fā)生}。4°事件的差事件“發(fā)生而不發(fā)生”稱為事件與事件的差事件，記為。5°互不相容事件(互斥)若事件與事件不能同時(shí)發(fā)生，即，則稱事件與事件是互斥的，或稱它們是互不相容的。若事件中的任意兩個(gè)都互斥，則稱這些事件是兩兩互斥的。6°對(duì)立事件事件“不發(fā)生”稱為事件的對(duì)立事件，記為.和滿足：，，。事件運(yùn)算滿足的定律設(shè)為事件，則有交換律：；。結(jié)合律：；。分配律：；。德·摩根律：；?！?頻率與概率（一）頻率定義設(shè)為任一隨機(jī)試驗(yàn)，為其中任一事件，在相同條件下，把獨(dú)立的重復(fù)做次，表示事件在這次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)（稱為頻數(shù)）。比值稱為事件在這次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率。頻率滿足具有性質(zhì)：1°；2°；3°若A1、A2、…兩兩互斥的事件，則人們?cè)趯?shí)踐中發(fā)現(xiàn)：在相同條件下重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，某事件發(fā)生的頻率具有一定的“穩(wěn)定性”，就是說其值在某確定的數(shù)值上下擺動(dòng)。一般說，試驗(yàn)次數(shù)越大，事件發(fā)生的頻率就越接近那個(gè)確定的數(shù)值。因此事件發(fā)生的可能性的大小就可以用這個(gè)數(shù)量指標(biāo)來描述。（二）概率定義概率的統(tǒng)計(jì)定義設(shè)有隨機(jī)試驗(yàn)，若當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)充分大時(shí)，事件的發(fā)生頻率穩(wěn)定在某數(shù)附近擺動(dòng)，則稱數(shù)為事件的概率，記為P（A），即。概率的這種定義，稱為概率的統(tǒng)計(jì)定義，統(tǒng)計(jì)定義是以試驗(yàn)為基礎(chǔ)的，但這并不是說概率取決于試驗(yàn)。值得注意的是事件出現(xiàn)的概率是事件的一種屬性。也就是說完全決定于事件本身的結(jié)果，是先于試驗(yàn)客觀存在的。概率的統(tǒng)計(jì)定義只是描述性的，一般不能用來計(jì)算事件的概率。通常只能在充分大時(shí)，以事件出現(xiàn)的頻率作為事件概率的近似值。對(duì)于任意事件A，由頻率的三個(gè)性質(zhì)可得由它產(chǎn)生的概率P（A）也滿足這三個(gè)性質(zhì)，下面給出概率的公理化定義。設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S為它的樣本空間，給E的每一個(gè)事件A賦一個(gè)實(shí)數(shù)值，記做P（A），如果它滿足：（1）非負(fù)性。（2）規(guī)范性。（3）可列可加性，設(shè)A1、A2、…兩兩互斥的事件，則則稱P（A）為事件A的概率。概率的性質(zhì)：（1）.（2）設(shè)A1、A2、…、An兩兩互斥的事件，則此性質(zhì)稱為有限可加性。特殊的，若，則。（3）設(shè)A、B是兩個(gè)事件，若，則有，既有。（4）對(duì)于任意事件A，有。（5）（逆事件概率）對(duì)于任意事件A，有。（6）（加法公式）對(duì)任意兩個(gè)事件，有.這條性質(zhì)可以推廣到多個(gè)事件。設(shè)是任意個(gè)事件，則有。它符合“加奇減偶”法則。Example1.2設(shè)事件的概率分別為.在下列三種情況下分別求的值：（１）與互斥；（２）（３）．解：由性質(zhì)（5），=.因?yàn)榕c互斥，所以，=因?yàn)樗?====§4等可能概型（古典概型）“概型”是指某種概率模型?！肮诺涓判汀笔且环N最簡(jiǎn)單、最直觀的概率模型。在上節(jié)的概率模型中：E1：拋一枚硬幣，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況，。E2：將一枚硬幣拋三次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況。。E4：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，。它們相同的特點(diǎn)是，樣本點(diǎn)總數(shù)有限，出現(xiàn)每個(gè)樣本點(diǎn)的機(jī)會(huì)（概率）相同。我們把具有這種特點(diǎn)的概率模型稱為等可能概型或古典概型，一般地定義如下：E是隨機(jī)試驗(yàn)，S為樣本空間，如果滿足：1°樣本點(diǎn)總數(shù)有限，即，n為有限數(shù)。2°試驗(yàn)時(shí)，發(fā)生每個(gè)樣本點(diǎn)的機(jī)會(huì)相同。稱這樣的試驗(yàn)?zāi)Ｐ虴為等可能概型或古典概型。下面給出等可能概型中事件概率的計(jì)算公式。設(shè)等可能概型E有n個(gè)樣本點(diǎn)，即，A為事件，它包含k個(gè)樣本點(diǎn)，即。試驗(yàn)時(shí)，把發(fā)生每個(gè)樣本點(diǎn)看成事件、、…、，顯然，它們是互不相容的且滿足：，這樣就有，，所以，對(duì)每一個(gè)i，有。又，所以。這就是等可能概型中事件概率的計(jì)算公式。例1某企業(yè)有員工200人，其中男員工160人，女員工40人，現(xiàn)隨機(jī)抽取一人參加會(huì)議，問抽取到女員工的概率？解：將200人編號(hào)1～200號(hào)，其中男員工1～160號(hào)，女員工161～200號(hào)，樣本空間為，顯然這是等可能概型，設(shè)A={“抽取到女員工”}，則，從而，。例2袋中有五只大小形狀相同的球，其中三只黑色球，兩只白色球?，F(xiàn)從袋中隨機(jī)地取出兩只球，求取出的兩球都是黑色球的概率。解：將五只球編號(hào)1、2、③、④、⑤，帶圈的為黑球，樣本空間S={（1,2）,（1,③）,（1,④）,（1,⑤）,（2,③）,（2,④）,（2,⑤）,（③,④）,（③,⑤）,（④,⑤）}，顯然這是等可能概型，設(shè)A=“取出的兩球都是黑色球”，則A={（③,④）,（③,⑤）,（④,⑤）}，即。在例2中，球的個(gè)數(shù)只有5只，這使得我們可以將所有的樣本點(diǎn)一一地列出，顯然，當(dāng)球的個(gè)數(shù)很多時(shí)這種方法是不可取的。事實(shí)上，在計(jì)算概率時(shí)，我們不需要每個(gè)樣本點(diǎn)的具體結(jié)果，而只需知道樣本點(diǎn)總數(shù)和事件A包含樣本點(diǎn)數(shù)即可。再看樣本空間中的每個(gè)樣本點(diǎn)，它正是5個(gè)元素（1、2、③、④、⑤）取兩個(gè)元素組合的結(jié)果，因此應(yīng)共有不同的結(jié)果，而事件A包含樣本點(diǎn)正是三個(gè)元素（③、④、⑤）取兩個(gè)元素組合的結(jié)果，因此應(yīng)共有不同的結(jié)果，所以，。例3箱中裝有100個(gè)產(chǎn)品，其中有3個(gè)次品，為檢查產(chǎn)品質(zhì)量，從這箱產(chǎn)品中任意抽5個(gè)，求抽得5個(gè)產(chǎn)品中恰有一個(gè)次品的概率。解：從100個(gè)產(chǎn)品中任意抽取5個(gè)產(chǎn)品，共有種抽取方法，就是說樣本空間共有元素。設(shè)事件=“抽得5個(gè)產(chǎn)品中恰有一個(gè)次品”，則包含樣本點(diǎn)數(shù)個(gè)，故得事件的概率為例4將n個(gè)球隨機(jī)地放入N（N≥n）個(gè)盒子中，求每個(gè)盒子至多有一個(gè)球的概率（設(shè)盒子的容量不限）。解：這顯然也是等可能問題。先求n個(gè)球隨機(jī)地放入N個(gè)盒子的方法總數(shù)。因?yàn)槊總€(gè)球都可以落入N個(gè)盒子中的任何一個(gè)，有N種不同的放法，所以n個(gè)球放入N個(gè)盒子共有種不同的放法。設(shè)事件A=“每個(gè)盒子至多有一個(gè)球”，下面討論共有多少種放法。第一個(gè)球可以放進(jìn)N個(gè)盒子之一，有N種放法；第二個(gè)球只能放進(jìn)余下的N－1個(gè)盒子之一，有N－1種放法；．．．第n個(gè)球只能放進(jìn)余下的個(gè)盒子之一，有種放法；所以共有種不同的放法。故得事件的概率為。有許多實(shí)際問題與例4具有相同的數(shù)學(xué)模型。例如，假設(shè)每一個(gè)人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，即都等于1/365，那么，隨機(jī)選取n（≤365）個(gè)人，他們的生日各不相同的概率是：，因此，n個(gè)人中至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率是：。經(jīng)計(jì)算有：n202330405064100p0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997從表上可以看出，在一個(gè)64人的集體中，“至少有兩個(gè)人的生日在同一天”這件事的概率與1相差無幾。在實(shí)際調(diào)查中，幾乎總是會(huì)發(fā)生的，大家可以不妨一試。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，如果這件事沒發(fā)生，就有相當(dāng)?shù)睦碛烧J(rèn)為這個(gè)集體的人員是刻意構(gòu)造的。例4某接待站在一周內(nèi)曾接待過12位來訪者，已知這12位來訪者都是在周二和周四進(jìn)行，問是否可以推斷接待日是有規(guī)定的。解：假設(shè)接待日無規(guī)定，那么每位來訪者在一周內(nèi)的任一天上訪是等可能的，把12位來訪者看成12只球，一周7天理解為7只盒子，則12只球隨機(jī)放入7只盒子共有712種不同的放法。而事實(shí)上，12只球僅放入2只盒子（周二和周四）共有212種不同的放法。這樣，12位來訪者都是在周二和周四進(jìn)行的概率是。人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中得出一個(gè)實(shí)際推斷原理——“概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)時(shí)幾乎是不發(fā)生的”。由此，可以推斷出：“接待日是有規(guī)定的”。那么，接待日規(guī)定在哪些天呢?同樣的方法可以推斷接待日就是周二和周四?！?條件概率材色材色在實(shí)際問題中，常常會(huì)遇到這樣的問題：在得到某個(gè)信息以后（即在已知事件發(fā)生的條件下），求事件發(fā)生的概率。這時(shí)，因?yàn)榍蟮母怕适窃谝阎l(fā)生的條件下，所以稱為在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率，記為。同理稱為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率。例1袋中有球22只，其顏色和材質(zhì)分布如下：木質(zhì)玻璃白色57黑色46從中摸球一只，記A=“摸到木質(zhì)球”，B=“摸到白色球”，則，，如果求在摸到木質(zhì)球的條件下，該球?yàn)榘咨虻母怕?，即，同理，。在這個(gè)例子中，，這個(gè)結(jié)果具有普遍性，即對(duì)任意的事件A和B有：。它稱為條件概率公式。（二）乘法公式由條件概率公式，可得乘法公式：或。乘法公式還可以推廣到多個(gè)事件乘積的概率，如，還有其它順序的乘法公式。，……例2袋中有r只紅球，t只白球。每次自袋中摸球一只，觀察顏色后放回，并同時(shí)再放入同顏色的球a只。若在袋中連續(xù)摸球四次，試求第一、二次摸到紅球，第三、四次摸到白球的概率。解：設(shè)Ai=“第i次摸到紅球”，i=1、2、3、4，則所求概率為。（三）全概率公式和貝葉斯公式為了計(jì)算復(fù)雜事件的概率，經(jīng)常把一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互不相容的簡(jiǎn)單事件的和，通過分別計(jì)算簡(jiǎn)單事件的概率，來求得復(fù)雜事件的概率。首先給出劃分的定義。定義：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是樣本空間，B1、B2、…、Bn為E的一組事件，如果（i）B1、B2、…、Bn為兩兩互不相容，即BiBj=φ，（ii）B1∪B2∪…∪Bn=S，則稱B1、B2、…、Bn為樣本空間S的一個(gè)劃分。定理1設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是樣本空間，B1、B2、…、Bn為E的一組事件，A為E的事件，則此公式稱全概率公式。定理2設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是樣本空間，B1、B2、…、Bn為E的一組事件，A為E的事件，則此公式稱貝葉斯公式也稱逆概率公式。例3某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有如下數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供的份額10.020.1520.010.8030.030.05設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)中均勻混合放置的，且無區(qū)別的標(biāo)志。（1）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)抽取一只元件，求它是次品的概率。（2）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)抽取一只元件，若已知它是次品，求它是來自每個(gè)廠的概率。解：設(shè)A=“取到的是一只次品”，Bi=“取到的是第i廠制造的”，i=1、2、3。易知B1、B2、B3是樣本空間的一個(gè)劃分。（1）由全概率公式，（2）由貝葉斯公式由此可見，這只次品來自第2個(gè)廠家的概率最大。例4七人分得三張參觀票，采用輪流抓鬮的方式分配這張參觀票，問這種方式是否公平？解：設(shè)=“第人抓到參觀票”(i=1，2，…，7)，于是，，，……，。從這道題，我們可以看到，第一個(gè)人、第二個(gè)人、……抓到參觀票的概率一樣。這就是“抓鬮不分先后原理”。例5發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率0.6和0.4發(fā)出信號(hào)“·”和“—”，由于通訊系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“·”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)未必收到信號(hào)“·”，而是分別以0.8和0.2收到“·”和“—”；同樣，發(fā)出“—”時(shí)分別以0.9和0.1收到“—”和“·”。如果收?qǐng)?bào)臺(tái)收到“·”，問它沒收錯(cuò)的概率？解：設(shè)=“發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)·”，=“發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)—”，＝“收?qǐng)?bào)臺(tái)收到·”，＝“收?qǐng)?bào)臺(tái)收到—”；于是，，，，，，；按貝葉斯公式，有所以沒收錯(cuò)的概率為.例6根據(jù)以往的記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)有如下效果：若以A表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性”，以C表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有，。現(xiàn)在對(duì)自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為0.005，即，試求。解：，而，，所以，，即，本題的結(jié)果表明，雖然，，這兩個(gè)概率都很高。但若將此實(shí)驗(yàn)用于普查，則有，即其正確性只有8.7%.如果不注意