2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末模擬試題（人教A版（2019）必修第二冊(cè)）

2023-2024學(xué)年高一第二學(xué)期期末模擬考試（新人教A版）數(shù)學(xué)試題2024.61、滿分為150分，考試用時(shí)120分鐘。2．考試內(nèi)容：必修第二冊(cè)：第六章《平面向量及其應(yīng)用》，第七章《復(fù)數(shù)》，第八章《立體幾何初步》，第九章《統(tǒng)計(jì)》，第十章《概率》一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共40分）1、已知為虛數(shù)單位，若，則（）A. B.2 C. D.2、某同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)是班級(jí)第三名（假設(shè)測(cè)試成績(jī)兩兩不同），成績(jī)處于第90百分位數(shù)，則該班級(jí)的人數(shù)可能為（）A.15 B.25 C.30 D.353、在正方體中，下列關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.4、擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則與的關(guān)系為（）．A.互斥B.互為對(duì)立C.相互獨(dú)立D.相等5、某景區(qū)準(zhǔn)備在兩座山峰的山頂之間建設(shè)索道，要預(yù)先測(cè)量這兩個(gè)山頂之間的距離.設(shè)兩座山峰的山頂分別為，它們對(duì)應(yīng)的山腳位置分別為，在山腳附近的一塊平地上找到一點(diǎn)，（所在的平面與山體垂直），使得是以為斜邊的等腰直角三角形，現(xiàn)從處測(cè)得到兩點(diǎn)的仰角分和，若到的距離為1千米，則兩個(gè)峰頂?shù)闹本€距離為（）A.千米 B.千米 C.千米 D.千米6、已知是夾角為的兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則（）A. B.2 C. D.7、把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起，使得平面與平面所成二面角的大小為，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.8、為三角形內(nèi)部一點(diǎn)，??均為大于1的正實(shí)數(shù)，且滿足，若??分別表示??的面積，則為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9、國(guó)家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)了2024年1月全國(guó)多個(gè)大中城市二手住宅銷(xiāo)售價(jià)格的分類(lèi)指數(shù)，其中北方和南方各4個(gè)城市的90m2及以下二手住宅銷(xiāo)售價(jià)格的環(huán)比數(shù)據(jù)如下：北方城市環(huán)比（單位：%，上月=100）南方城市環(huán)比（單位：%，上月=100）北京99.5上海99.5天津99.6南京99.5石家莊99.6南昌99.6沈陽(yáng)99.7福州99.8則（）A.4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的極差小于4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的極差B.4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的均值小于4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的均值C.4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的方差大于4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的方差D.4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的中位數(shù)10、下列說(shuō)法正確的是（）A.，B.C.若，，則的最小值為1D.若是關(guān)于x的方程的根，則11、如圖，棱長(zhǎng)為的正方體中中，下列結(jié)論正確的是（）A.異面直線與所成的角為B.直線與平面所成的角為C.二面角平面角的正切值為D.點(diǎn)到平面的距離為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12、水平放置的平行四邊形,用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它的直觀圖,如右圖所示.此直觀圖恰好是個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形,則原平行四邊形的面積為.13、如圖，用，，三種不同元件連接成系統(tǒng)S，每個(gè)元件是否正常工作不受其他元件的影響.當(dāng)元件正常工作且，中至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)S正常工作.已知元件，，正常工作的概率分別為0.6，0.5，0.5，則系統(tǒng)S正常工作的概率為_(kāi)_____.14、已知為的外心，，，，則的面積為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15、（13分）已知，，如圖，在中，點(diǎn)，滿足，，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線．（1）用，來(lái)表示；（2）求的最小值．16．（15分）為分析某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)，現(xiàn)從參與本次考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，得到以分組的樣本頻率分布直方圖，如圖所示．（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）試估計(jì)本次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的平均數(shù)和第50百分位數(shù)；（3）從樣本分?jǐn)?shù)在，的兩組學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求選出的2名學(xué)生中恰有1人成績(jī)?cè)谥械母怕剩?7．（15分）如圖，在正方體中，，為上底面的中心.（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）判斷棱上是否存在一點(diǎn)，使得？并說(shuō)明理由.18、（17分）某市為提升城市形象，打造城市品牌，擬規(guī)劃建設(shè)一批富有地方特色、彰顯獨(dú)特個(gè)性的城市主題公園，某主題公園為五邊形區(qū)域ABCDE（如圖所示），其中三角形區(qū)域ABE為健身休閑區(qū)，四邊形區(qū)域BCDE為文娛活動(dòng)區(qū)，AB、BC、CD、DE、EA、BE為主題公園的主要道路（不考慮寬度），已知，，，.（1）求道路BE的長(zhǎng)度；（2）求道路AB、AE長(zhǎng)度之和的最大值.19、（17分）如圖1，在等腰梯形中，，，，為的中點(diǎn).將沿翻折，得到四棱錐（如圖2）.（1）若的中點(diǎn)為，點(diǎn)在棱上，且平面，求的長(zhǎng)度；（2）若四棱錐的體積等于2，求二面角的大小.參考答案1、B2、B3、D4、C5、A6、A7、D8、C7、【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，所以為平面與平面所成二面角的平面角，即，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，得，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：A8、【詳解】解：由，如圖設(shè)，即是的重心同理可得，所以．故選：C．9、AD10、ACD11、ACD12、13、14、14、由為的外心可得，，，故，又，可得，故，則的面積為15、（1）∵∴∴（2）∵，，∴，，∴，∴，∵，，三點(diǎn)共線，∴，∴，∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，的最小值為．16、（1）由頻率分布表知，成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率依次為，由，解得，所以.（2）由（1）知，，第50百分位數(shù)，則有，解得，所以本次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的平均數(shù)為107.4，第50百分位數(shù)105.7.（3）分?jǐn)?shù)在，的兩組學(xué)生的人數(shù)比為，因此用分層抽樣的方法抽取的5名學(xué)生中，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有4人，記為，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有1人，記為，從5名學(xué)生中隨機(jī)選取2人的結(jié)果有，共10個(gè)，選出的2名學(xué)生中恰有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)的結(jié)果有，共4個(gè)，所以選出的2名學(xué)生中恰有1人成績(jī)?cè)谥械母怕蕿?17、（1）連接，因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所?（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以，所以，則，所以.所以到平面距離為.（3）不存在,如下圖，作一個(gè)相同的正方體，取為上底面的中心，連接，易知是平行四邊形，所以，而與相交，所以棱上不存在一點(diǎn)，使得.18、（1）如圖，連結(jié)，在中，由余弦定理得，則，∵，則，又，∴，在中，，，由正弦定理，，∴，或（舍去），即，由，得，即的長(zhǎng)度是（2）設(shè)，由，得，在中，由正弦定理，，∴∴，又，∴，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，即道路長(zhǎng)度之和的最大值為19、解：（1）取的中點(diǎn),連接,因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；因?yàn)槠矫?，，平面，所以平面平面；因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面,所以，即為的中點(diǎn)，所以.（2）由圖1可知